Vierfeldertafel < Wahrscheinlichkeit < Stochastik < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:31 So 21.05.2006 | | Autor: | Liliput |
| Aufgabe | In dem kino sind 70% der Besucher höchstens 30 Jahre (J).
60% von den Besuchern dieser Altersgruppe kaufen sich Popcorn; insgesamt essen 46% aller Besucher kein Popcorn.
Stellen Sie eine Vierfeldertafel auf und bestimmen sie die Wahrscheinlickeit des Eregnisses, dass ein Kinobesucher über 30 Jahre ist und ein Popcorn konsumiert! |
Hallo!
Die Schwierigkeit der Frage liegt für mich daran, dass ich mit diesen 60% nichts anfangen kann.
Hat vielleicht jemand eine Idee?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
Hallo Liliput,
> Stellen Sie eine Vierfeldertafel auf
Leider weiß ich jetzt auf Anhieb nicht, was das ist (ist doch aus der deskriptiven Statistik, oder?), aber vielleicht geht's auch ohne... .
Ich denke hier muß man nur alle Informationen aus der Aufgabe systematisch aufschreiben. Der Grundraum hier besteht aus allen Kinobesuchern [mm]\Omega := \left\{B_1,\dotsc,B_n\right\}[/mm]
Sei [mm]X_a:\Omega \to \mathbb{R}^+[/mm] eine Zufallsvariable, die das Alter eines Besuchers angibt. Ferner sei [mm]X_e:\Omega \to \{0,1\}[/mm] eine Zufallsvariable, die angibt, ob ein Besucher Popcorn isst ("1"), oder nicht ("0"). Und [mm]X_k:\Omega \to \{0,1\}[/mm] gibt uns analog an, ob ein Besucher sich Popkorn gekauft hat, oder nicht. Dann wissen wir:
> In dem kino sind 70% der Besucher höchstens 30 Jahre (J).
[mm]P\left(X_a \le 30\right) := 0.7[/mm]
> 60% von den Besuchern dieser Altersgruppe
... also von den Leuten mit [mm]X_a \le 30[/mm] ...
> kaufen sich Popcorn;
Es muß also gelten:
(1) Person aus dieser Altersgruppe.
(2) Person kauft sich Popkorn.
Formal aufgeschrieben:
[mm]P\left(\left.X_k = 1\right|X_a \le 30\right) := 0.6[/mm]
> insgesamt essen 46% aller(!) Besucher kein Popcorn.
[mm]P\left(X_e = 0\right) := 0.46[/mm]
> bestimmen sie die
> Wahrscheinlickeit des Eregnisses, dass ein Kinobesucher
> über 30 Jahre ist
> und ein Popcorn konsumiert!
Gesucht ist also die Wahrscheinlichkeit:
[mm]P\left(\left\{X_a > 30\right\}\cap\left\{X_e = 1\right\}\right) = ?[/mm]
Hmm ... also ich weiß nicht, ob man die Aufgabe lösen kann, wenn man nicht vorraussetzt, daß jeder Besucher, der sich Popkorn gekauft hat, Dieses auch isst. Jedenfalls setze ich das jetzt vorraus. Damit gilt dann wohl [mm]X_k = X_e[/mm].
Es gilt nach Definition bedingter Wahrscheinlichkeiten:
[mm]P\left(\left\{X_a > 30\right\}\cap\left\{X_e = 1\right\}\right) =
P\left(\left.X_e = 1\right|X_a > 30\right)P\left(X_a > 30\right)[/mm]
Dann gilt nach dem Satz zur totalen Wahrscheinlichkeit:
[mm]P\left(X_e = 1\right) = 1-P\left(X_e = 0\right) = P\left(\left.X_e = 1\right|X_a \le 30\right)P\left(X_a \le 30\right) + P\left(\left.X_e = 1\right|X_a > 30\right)P\left(X_a > 30\right)[/mm]
Umformen liefert:
[mm]P\left(\left\{X_a > 30\right\}\cap\left\{X_e = 1\right\}\right) = 1-P\left(X_e = 0\right) - P\left(\left.X_e = 1\right|X_a \le 30\right)P\left(X_a \le 30\right)[/mm]
Grüße
Karl
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:50 Mo 22.05.2006 | | Autor: | Karl_Pech |
> [mm]P\left(\left\{X_a > 30\right\}\cap\left\{X_e = 1\right\}\right) = 1-P\left(X_e = 0\right) - P\left(\left.X_e = 1\right|X_a \le 30\right)P\left(X_a \le 30\right)[/mm]
Eigentlich könnte man auch sofort darauf kommen, es können halt nicht all die Besucher in Betracht kommen, die kein Popkorn essen, oder aber zwar Popkorn essen, aber nicht ins Altersprofil passen... hehe ![[bonk]](/images/smileys/bonk.gif "[bonk]")
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:16 Mo 22.05.2006 | | Autor: | Sigrid |
Hallo Liliput,
> In dem kino sind 70% der Besucher höchstens 30 Jahre (J).
> 60% von den Besuchern dieser Altersgruppe kaufen sich
> Popcorn; insgesamt essen 46% aller Besucher kein Popcorn.
>
> Stellen Sie eine Vierfeldertafel auf und bestimmen sie die
> Wahrscheinlickeit des Eregnisses, dass ein Kinobesucher
> über 30 Jahre ist und ein Popcorn konsumiert!
> Hallo!
>
> Die Schwierigkeit der Frage liegt für mich daran, dass ich
> mit diesen 60% nichts anfangen kann.
>
> Hat vielleicht jemand eine Idee?
Die 60% der unter 30-jährigen kaufen sich Popcorn, d.h. die bedingte Wahrscheinlichkeit $ [mm] P_{höchstens 30 Jahre alt}(kaufen [/mm] Popcorn) = 0,6 $
Es ergibt sich folgende Vierfeldertafel:
Alter
$ [mm] \le [/mm] 30 $ $ >30 $ gesamt
______________________________________________
mit Popcorn $ 0,6 [mm] \cdot [/mm] 0,7 $
ohne Popcorn $ 0,46 $
______________________________________________
gesamt $ 0,7 $
>
Kannst du den Rest jetzt ausfüllen?
Im übrigen hat Karl natürlich recht. Die Aufgabe ist nur lösbar, wenn man davon ausgehen darf, dass die die Popcorn kaufen, dieses auch essen.
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 08:58 Mo 22.05.2006 | | Autor: | Liliput |
Mit dem Rest ist es kein Problem, danke!
Allerdings bleibt es für mich ein Rätsel, wieso man 0.60 mit 0.70 mittiplizieren muss. Könnt ihr mir auch bitte erklären, was der Begriff " bedingte Wahrscheinlichkeit" in diesem Zusammenhang bedeutet?
Danke für eure Hilfe!
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:02 Mo 22.05.2006 | | Autor: | Sigrid |
Hallo Liliput,
> Mit dem Rest ist es kein Problem, danke!
>
> Allerdings bleibt es für mich ein Rätsel, wieso man 0.60
> mit 0.70 mittiplizieren muss.
Ich nenne mal A das Ereignis: die Person ist höchstens 30 Jahre alt
und B das Ereignis: Die Person kauft Popcorn
Dann kommt in das erste Feld die Wahrscheinlichkeit $ P(A [mm] \cap [/mm] B) $
Es gilt aber:
$ P(A [mm] \cap [/mm] B) = [mm] P_A(B) \cdot [/mm] P(A) $ (Bayes'sche Regel)
> Könnt ihr mir auch bitte
> erklären, was der Begriff " bedingte Wahrscheinlichkeit" in
> diesem Zusammenhang bedeutet?
Wenn du eine Person heraussuchst, von der du weißt, dass sie höchstens 30 Jahre alt ist, dann ist die Wahrscheinlichkeit, dass sie Popcorn kauft 0,6.
Trifft das deine Frage?
Gruß
Sigrid
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:58 Mo 22.05.2006 | | Autor: | Liliput |
Wenn ich es richtig verstanden habe, gehört in das erste Feld P(A) mal P(B) , A ist die Anzahl der Leite unter 30 , und B sind diejenige, die Popcorn essen. Kann man dann B als ein Gegenereignis betrachten, d.h. 1-0.46= 0.54? Dann ist die Schnittmenge 0.70 mal 0.54, oder?
Gruß, Liliput
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:39 Mo 22.05.2006 | | Autor: | Sigrid |
Hallo Liliput,
> Wenn ich es richtig verstanden habe, gehört in das erste
> Feld P(A) mal P(B) ,
Ins erste Feld kommt $ P(A [mm] \cap [/mm] B) $ (Alter unter 30 und Popcorn kaufen), und es ist
$ P(A [mm] \cap [/mm] B) = [mm] P_A(B) \cdot [/mm] P(A) $
Vielleicht habt ihr eine andere Schreibweise für die bedingte Wahrscheinlichkeit $ [mm] P_A(B) [/mm] $?
> A ist die Anzahl der Leite unter 30 ,
> und B sind diejenige, die Popcorn essen. Kann man dann B
> als ein Gegenereignis betrachten, d.h. 1-0.46= 0.54?
Das ist die Wahrscheinlichkeit, dass irgendein Kinobesucher Popcorn isst.
Ich habe den Wert mal in die Vierfeldertafel reingschrieben.
> Dann
> ist die Schnittmenge 0.70 mal 0.54, oder?
Welche Schnittmenge meinst du?
Ich habe dir in die Tafel hineingeschrieben, was du noch rechnen musst. Mach dir aber bitte unbedingt den Aufbau der Tafel klar, und welche Bedutung die einzelnen Werte haben.
Alter
$ [mm] \le [/mm] 30 $ $ >30 $ gesamt
______________________________________________
mit Popcorn $ 0,6 [mm] \cdot [/mm] 0,7 $ $P( [mm] \overline{A} \cap [/mm] B) $ $ 0,54 $
ohne Popcorn $P( A [mm] \cap \overline{B}) [/mm] $ $P( [mm] \overline{A} \cap \overline{B}) [/mm] $ $ 0,46 $
______________________________________________
gesamt $ 0,7 $
>
>
Gruß
Sigrid
|
|
|
|
