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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:35 Fr 10.05.2013 | | Autor: | Paivren |
N'Abend,
sitze vor einer Aufgabe zum Virialsatz und versuche gerade, die Materie ein wenig zu durchdringen.
Gegeben war ein Potential [mm] V(\vec{r_{1}},\vec{r_{2}}). [/mm] Es wurde gezeigt, dass jenes Potential durch ein homogenes Polynom dargestellt werden kann, sodass man den vereinfachten Virialsatz benutzen kann.
Es soll nun bewiesen werden, dass dieser wirklich gilt.
1) Warum hängt ein Potential von zwei Ortsvektoren ab? Das ist völlig neu für mich.
2) Für den Beweis wird einmal [mm] \bruch{d}{d\lambda} \lambda^{2} V(\vec{r_{1}},\vec{r_{2}}) [/mm] gebildet, was ich verstehe, und einmal
[mm] \bruch{d}{d\lambda} V(\lambda\vec{r_{1}},\lambda\vec{r_{2}}). [/mm]
Es ist [mm] \bruch{d}{d\lambda} V(\lambda\vec{r_{1}},\lambda\vec{r_{2}}) [/mm] = [mm] \bruch{dV}{dr_{1,x}} *r_{1,x} [/mm] + .... + [mm] \bruch{dV}{dr_{2,z}} *r_{2,z}
[/mm]
Aber diesen Schritt verstehe ich nicht. V ist doch ein Polynom. Wieso kann ich nicht ganz normal nach [mm] \lambda [/mm] ableiten, sondern muss da die Kettenregel verwenden??
Wäre für ein paar Tipps sehr dankbar!
Gruß
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:02 Sa 11.05.2013 | | Autor: | notinX |
Hallo,
> N'Abend,
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> sitze vor einer Aufgabe zum Virialsatz und versuche gerade,
> die Materie ein wenig zu durchdringen.
>
> Gegeben war ein Potential [mm]V(\vec{r_{1}},\vec{r_{2}}).[/mm] Es
> wurde gezeigt, dass jenes Potential durch ein homogenes
> Polynom dargestellt werden kann, sodass man den
> vereinfachten Virialsatz benutzen kann.
ich kenne keinen vereinfachten Virialsatz, was sagt dieser denn aus?
> Es soll nun bewiesen werden, dass dieser wirklich gilt.
>
> 1) Warum hängt ein Potential von zwei Ortsvektoren ab? Das
> ist völlig neu für mich.
Warum soll es nicht von zwei Variablen anhängen? Unsere Welt ist nunmal mindestens dreidimensional. Abhängigkeiten von bis zu drei Variablen (pro Teilchen) sollten Dir also nicht spanisch vorkommen.
Potentiale können sogar von [mm] $10^{20}$ [/mm] und mehr Variablen abhängen.
>
> 2) Für den Beweis wird einmal [mm]\bruch{d}{d\lambda} \lambda^{2} V(\vec{r_{1}},\vec{r_{2}})[/mm]
> gebildet, was ich verstehe, und einmal
> [mm]\bruch{d}{d\lambda} V(\lambda\vec{r_{1}},\lambda\vec{r_{2}}).[/mm]
> Es ist [mm]\bruch{d}{d\lambda} V(\lambda\vec{r_{1}},\lambda\vec{r_{2}})[/mm]
> = [mm]\bruch{dV}{dr_{1,x}} *r_{1,x}[/mm] + .... +
> [mm]\bruch{dV}{dr_{2,z}} *r_{2,z}[/mm]
> Aber diesen Schritt verstehe
> ich nicht. V ist doch ein Polynom. Wieso kann ich nicht
> ganz normal nach [mm]\lambda[/mm] ableiten, sondern muss da die
> Kettenregel verwenden??
>
> Wäre für ein paar Tipps sehr dankbar!
Wäre nett wenn Du uns den Beweis nicht vorenthältst, denn wie sollen wir Dir einen Beweis erklären, ohne zu wissen um welchen es sich handelt.
>
> Gruß
Gruß,
notinX
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:12 Sa 11.05.2013 | | Autor: | notinX |
> N'Abend,
>
> sitze vor einer Aufgabe zum Virialsatz und versuche gerade,
> die Materie ein wenig zu durchdringen.
>
> Gegeben war ein Potential [mm]V(\vec{r_{1}},\vec{r_{2}}).[/mm] Es
> wurde gezeigt, dass jenes Potential durch ein homogenes
> Polynom dargestellt werden kann, sodass man den
> vereinfachten Virialsatz benutzen kann.
Meinst Du vielleicht ![[]](/images/popup.gif) diesen Satz?
Gruß,
notinX
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:05 So 12.05.2013 | | Autor: | Paivren |
Hallo Notinx,
mit "vereinfachtem Virialsatz" meinte ich
2<T>=K<V>, nicht die allgemeine Variante. Die kann man wohl immer dann anwenden, wenn das Potential eine homogene Funktion ist.
Zu meinen Fragen:
Ein Potential ist ja in Abhängigkeit eines Ortes definiert, also von einem Ortsvektor, bestehend aus 3 Koordinaten. In meinem Beispiel sind es zwei Ortsvektoren, was hat es denn mit dem zweiten auf sich?
Und das zweite: Im Beweis wurde genau diese Zeile gepostet. Es ist dieser mathematische Schritt, den ich nicht verstehe. Den ganzen Beweis hier in Code zu schreiben, würde Stunden dauern.
Da soll V nach [mm] \lambda [/mm] abgeleitet. V ist ein Polynom.
[mm] \bruch{d}{d\lambda}V(\lambda \vec{r_{1}}, \lambda \vec{r_{2}})= \bruch{d}{d\lambda}V(\lambda r_{1x}, \lambda r_{1y}, \lambda r_{1z}, \lambda r_{2x}, \lambda r_{2y}, \lambda r_{2z}) [/mm] = [mm] \bruch{dV}{dr_{1x}} r_{1x} [/mm] + .... + [mm] \bruch{dV}{dr_{2z}}\vec{r_{2}}= Nabla_{\vec{r_{1}}} V(\lambda \vec{r_{1}}, \lambda \vec{r_{2}}) \vec{r_{1}} [/mm] + [mm] Nabla_{\vec{r_{2}}} V(\lambda \vec{r_{1}}, \lambda \vec{r_{2}})\vec{r_{2}}
[/mm]
Wieso man nicht einfach nach [mm] \lambda [/mm] ableiten kann und der solche Formeln benutzt, verstehe ich nicht. Also das zweite Gleichheitszeichen, da wird anscheinend Kettenregel verwendet, warum auch immer...
Gruß
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:40 So 12.05.2013 | | Autor: | Paivren |
Zu Deiner Mitteilung:
Dieser "Satz von Euler" ist mir komplett neu, ich nehm ihn einfach mal hin.
Dann stellt er die Funktion so dar, also mit den Produkten von partialen Ableitungen und Koordinaten.
Aber wohin verschwindet dann das [mm] \bruch{d}{d\lambda}?
[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:18 So 12.05.2013 | | Autor: | notinX |
> Hallo Notinx,
>
> mit "vereinfachtem Virialsatz" meinte ich
> 2<T>=K<V>, nicht die allgemeine Variante. Die kann man
> wohl immer dann anwenden, wenn das Potential eine homogene
> Funktion ist.
>
> Zu meinen Fragen:
> Ein Potential ist ja in Abhängigkeit eines Ortes
> definiert, also von einem Ortsvektor, bestehend aus 3
Das ist oft so, muss aber nicht sein.
> Koordinaten. In meinem Beispiel sind es zwei Ortsvektoren,
> was hat es denn mit dem zweiten auf sich?
Woher soll ich das wissen? Du hast bisher nicht viel zu dem Potential verraten. Ich gehe aber davon aus, dass es sich um ein System von zwei Teilchen handelt. Deshalb zwei Ortsvektoren.
>
> Und das zweite: Im Beweis wurde genau diese Zeile gepostet.
> Es ist dieser mathematische Schritt, den ich nicht
> verstehe. Den ganzen Beweis hier in Code zu schreiben,
> würde Stunden dauern.
Eine Verlinkung zu einer Seite auf der der Beweis steht hätte es auch getan.
> Da soll V nach [mm]\lambda[/mm] abgeleitet. V ist ein Polynom.
> [mm]\bruch{d}{d\lambda}V(\lambda \vec{r_{1}}, \lambda \vec{r_{2}})= \bruch{d}{d\lambda}V(\lambda r_{1x}, \lambda r_{1y}, \lambda r_{1z}, \lambda r_{2x}, \lambda r_{2y}, \lambda r_{2z})[/mm]
> = [mm]\bruch{dV}{dr_{1x}} r_{1x}[/mm] + .... +
> [mm]\bruch{dV}{dr_{2z}}\vec{r_{2}}= Nabla_{\vec{r_{1}}} V(\lambda \vec{r_{1}}, \lambda \vec{r_{2}}) \vec{r_{1}}[/mm]
> + [mm]Nabla_{\vec{r_{2}}} V(\lambda \vec{r_{1}}, \lambda \vec{r_{2}})\vec{r_{2}}[/mm]
>
> Wieso man nicht einfach nach [mm]\lambda[/mm] ableiten kann und der
> solche Formeln benutzt, verstehe ich nicht. Also das zweite
Genau das wird dort gemacht - einfach nach [mm] $\lambda$ [/mm] ableiten.
Was meinst Du mit 'solche Formeln'?
Eigentlich müsste da stehen:
[mm] $\frac{\mathrm{d}V}{\mathrm{d}\lambda}=\frac{\partial V}{\partial r_{1x}}r_{1x}\ldots\frac{\partial V}{\partial r_{2z}}r_{2z}$ [/mm]
Also partielle statt totale Ableitungen.
> Gleichheitszeichen, da wird anscheinend Kettenregel
> verwendet, warum auch immer...
Die wird angewendet weil es sich um eine Verkettung von Funktionen handelt: [mm] $V=V(r_{1x}(\lambda),\ldots,r_{2z}(\lambda))$
[/mm]
Lies Dir das hier mal durch.
>
> Gruß
Gruß,
notinX
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 15:49 So 12.05.2013 | | Autor: | Paivren |
Ich weiß selber nicht, was das für ein Potential sein soll, es ist irgendein Potential mit zwei Ortsvektoren, das aber als Polynomfunktion darstellbar ist. Die Vorlesung und das Skript sind einfach grottig, kein Schwein weiß, worum es bei diesem Virialsatz überhaupt geht.
Du hast vollkommen Recht, das sind auch die partiellen Ableitungen, mein Fehler.
Ok, ich glaube, ich verstehe es ein wenig:
[mm] V(\lambda r_{1x}, \lambda r_{1y}...\lambda r_{2z})= (\lambda r_{1x})^{k} [/mm] +....
Dann ist [mm] \bruch{dV}{d\lambda}= k(\lambda r_{1x})^{k-1} r_{1x} [/mm] +....
[mm] =\bruch{\partial V}{\partial r_{1x}}*r_{1x}+...
[/mm]
So weit so gut. Und die zwei Ortsvektoren stehen für zwei Orte, zwischen denen die potentielle Energie definiert ist?
Bisher war es immer so, dass das Potential an einem Ort in Bezug zu einem vorher gewählten Nullpunkt angegeben ist, aber so wird es vermutlich auch gehen.
Jetzt, da ich die Herleitung ein wenig besser nachvollziehen kann, geht es an die konkrete Aufgabe:
Eine Staubwolke im Weltall, fernab von jeder anderen Masse, befinde sich in Ruhe und ziehe sich dann aufgrund ihrer Schwerkraft zusammen. Ich soll zeigen, dass für die Bewegung der Teilchen der Virialsatz gilt und diesen für jenen Fall herleiten. Es sind keinerlei Daten angegeben.
Das ist doch Astrophysik sowas, ich hab doch keine Ahnung, was da oben gilt, wie die Energien sich verhalten...
Um zu zeigen, dass er gilt, muss ich vermutlich eine Funktion des Potentials finden und zeigen, dass es eine homogene Polynomfunktion ist.
Ich bin wirklich planlos bei dieser Geschichte...
Danke schonmal für deinen Einsatz, meine mit wenig Informationen gespickten Fragen zu beantworten.
Gruß
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:20 So 12.05.2013 | | Autor: | notinX |
> Ich weiß selber nicht, was das für ein Potential sein
> soll, es ist irgendein Potential mit zwei Ortsvektoren,
> das aber als Polynomfunktion darstellbar ist. Die Vorlesung
> und das Skript sind einfach grottig, kein Schwein weiß,
> worum es bei diesem Virialsatz überhaupt geht.
Das kann man auch im Buch bzw. Internet nachlesen.
>
> Du hast vollkommen Recht, das sind auch die partiellen
> Ableitungen, mein Fehler.
> Ok, ich glaube, ich verstehe es ein wenig:
> [mm]V(\lambda r_{1x}, \lambda r_{1y}...\lambda r_{2z})= (\lambda r_{1x})^{k}[/mm]
> +....
Nein! Die Homogenität von V bedeutet: [mm] $V(\lambda r_{1x}, \lambda r_{1y},\ldots,\lambda r_{2z})=\lambda^kV(r_{1x},r_{1y},\ldots,r_{2z})$
[/mm]
>
> Dann ist [mm]\bruch{dV}{d\lambda}= k(\lambda r_{1x})^{k-1} r_{1x}[/mm]
> +....
>
> [mm]=\bruch{\partial V}{\partial r_{1x}}*r_{1x}+...[/mm]
>
> So weit so gut. Und die zwei Ortsvektoren stehen für zwei
> Orte, zwischen denen die potentielle Energie definiert
> ist?
Nein, die potentielle Energie eines System aus zwei Teilchen hängt natürlich von 2 Koordinaten ab. Stell Dir zwei Aufzüge vor, die sind voneinander völlig unabhängig aber die Energie von beiden zusammen hängt von zwei Ortskoordinaten ab.
> Bisher war es immer so, dass das Potential an einem Ort in
> Bezug zu einem vorher gewählten Nullpunkt angegeben ist,
> aber so wird es vermutlich auch gehen.
Genauso ist es auch in diesem Fall, nur hängt die gesamte potentielle Energie eben von zwei Koordinaten ab.
Gruß,
notinX
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(Frage) überfällig | | Datum: | 19:50 So 12.05.2013 | | Autor: | Paivren |
Ok, dann geht es nicht um zwei Orte, zwischen denen die potentielle Energie definiert ist, sondern um zwei Teilchen, die zusammen für die potentielle Energie in Bezug auf ein festes Nullniveau sorgen.
Was ich allerdings doch nicht so richtig verstehe:
[mm] V(\lambda \vec{r_{1}}, \lambda \vec{r_{2}}) [/mm] ist ja ein Polynom k+ten Grades. Wenn ich das jetzt erstmal ausschreibe (ohne das [mm] \lambda^{k} [/mm] direkt auszuklammern), dann sieht es doch ungefähr so aus:
[mm] V(\lambda \vec{r_{1}}, \lambda \vec{r_{2}})= (\lambda r_{1x})^{k} [/mm] +....+ [mm] (\lambda r_{2z})^{k}
[/mm]
Und, wie oben schon geschrieben:
[mm] \bruch{dV}{d \lambda}= k(\lambda r_{1x})^{k-1} r_{1x} [/mm] +... [mm] k(\lambda r_{2z})^{k-1} r_{2z}
[/mm]
Das ist doch aber nicht dasselbe wie [mm] \bruch{\partial V}{\partial r_{1x}}r_{1x}+...+\bruch{\partial V}{\partial r_{2z}}r_{2z}
[/mm]
[mm] k(\lambda r_{1x})^{k-1} r_{1x}\not=\bruch{\partial V}{\partial r_{1x}}r_{1x} =k(\lambda r_{1x})^{k-1} \lambda r_{1x}
[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:20 Di 14.05.2013 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:20 Di 14.05.2013 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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