Vollst. Ind. und Teleskopsumme < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Sei a [mm] \in \IR [/mm] mit a>0. Sei [mm] \IN_{0}:=\IN\cup\{0\}. [/mm] Beh.: Fur alle n [mm] \in \IN_{0} [/mm] gilt: [mm] \sum_{k=0}^{n}\frac{1}{(a+k)(a+k+1)}=\frac{n+1}{a(a+n+1)} [/mm]
a) Beweisen Sie obige Behauptung mit vollstandiger Induktion.
b) Schreiben Sie den k-ten Summanden der obigen Summe als Differenz zweier Bruche und berechnen Sie die Summe, ohne das Ergebnis aus der Behauptung zu benutzen. Hinweis: Der `Trick' in b) wird haufig als Teleskopsumme bezeichnet. |
Hallo,
Es ist ziemlich dringen. Morgen bis 11.30 muss ich die Lösung der Aufgabe (wie auch die der anderen zwei Aufgaben, die ich heute Abend ins Forum stelle) abgeben. Also:
a) Induktionsanfang: n = 0: [mm] \bruch{1}{(a + 0)(a + 0 + 1)} [/mm] = [mm] \bruch{1}{a(a + 1)}. [/mm] Stimmt.
Induktionsvoraussetzung: Es gelte [mm] \sum_{k=0}^{n}\frac{1}{(a+k)(a+k+1)}=\frac{n+1}{a(a+n+1)} [/mm] für ein n [mm] \in \IN.
[/mm]
Induktionsschritt:
n [mm] \to [/mm] n + 1:
zu zeigen: [mm] \bruch{1}{(a + n)(a + n + 1)} [/mm] + [mm] \bruch{1}{(a + n + 1)(a + n +2)} [/mm] = [mm] \bruch{2}{a(a + n + 2)}
[/mm]
Ich habe die beiden Terme auf einen gemeinsamen Nenner gebracht:
[mm] \bruch{(a + n + 2) + (a + n)}{(a + n)(a + n + 1)(a + n + 2)}
[/mm]
Weiter kommt aber immer wieder irgendwas Kompliziertes heraus, schaffe die Kürzung nicht und komme nicht weiter. Was verpasse ich denn?
b) Die Teleskopsumme begegne ich zum erstenmal. Habe bei Wikipedia nachgeschaut (http://de.wikipedia.org/wiki/Teleskopsumme) und bekomme folgendes:
[mm] \sum_{k=0}^{n}(\frac{1}{(a+k)(a+k+1)}- \frac{1}{(a+k+1)(a+k+2)}) [/mm] = [mm] \bruch{1}{a(a + 1)} [/mm] - [mm] \bruch{1}{(a+n+1)(a+n+2)} [/mm] = ...
Was soll ich damit? Wieder auf'n gemeinsamen Nenner bringen? Da schaffe ich aber die Kürzung wieder nicht... Oder gibt es einen anderen Weg zur Lösung dieser Aufgaben?
Danke für jede Hilfe
Gruß
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
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Hiho,
Bei a) helf ich dir mal fix, bei b) musst dann aber schon nen bissl selbst rechnen 
zu a)
Ind-Anf. hast du schon:
Ind-Schritt:
[mm]\sum_{k=0}^{n+1}\frac{1}{(a+k)(a+k+1)}=\sum_{k=0}^{n}\frac{1}{(a+k)(a+k+1)} + \bruch{1}{(a+n+1)(a+n+2)}[/mm]
[mm] = \bruch{n+1}{a(a+n+1)} + \bruch{1}{(a+n+1)(a+n+2)} = \bruch{(n+1)(a+n+2) + a}{a(a+n+1)(a+n+2)} = \bruch{na+n^2+2n+a+n+2+a}{a(a+n+1)(a+n+2)} [/mm]
[mm]= \bruch{n^2+3n+na+2a+2}{a(a+n+1)(a+n+2)} = \bruch{(n+2)(a+n+1)}{a(a+n+1)(a+n+2)} = \bruch{n+1}{a(a+n+2)}[/mm]
Fertig^^
zu b) sag ich dir die Schritte, sie machen musst du selbst 
1. Partialbruchzerlegung, d.h. [mm] \bruch{1}{(a+k)(a+k+1)} [/mm] = [mm] \bruch{A}{a+k} [/mm] + [mm] \bruch{B}{a+k+1} [/mm]
Bestimme A und B
2. Summe dann auseinandernehmen, Indexverschiebung bei der zweiten Summe. Dann wird dir auffallen, das nur der erste Summand der ersten Summe und der letzte Summand der zweiten Summe stehen bleibt, alle kürzen sich raus, darum Teleskopsumme genannt
Wenn du sie ausschreibst, würde es dann so aussehen:
[mm] s_0 [/mm] + [mm] s_1 [/mm] - [mm] s_1 [/mm] + [mm] s_2 [/mm] - [mm] s_2 [/mm] + ...... + [mm] s_n
[/mm]
Daher der Name, du kannst die Summe zusammenschieben wie ein Teleskop.
Gruß,
Gono.
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