Vollst. Induktion < Induktion < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:29 So 22.11.2009 | | Autor: | Mattrim |
| Aufgabe | Zeigen Sie, dass für alle natürlichen Zahlen n€N gilt:
Die Summe aus k=1 bis Unendlich von [mm] 2/((4k^2)-1)=1-(1/2n+1) [/mm] |
An die Aufgabe bin ich ganz normal mit dem Induktionsprinzip rangegangen, stecke nun aber fest. Induktionsanfang für n=1 ist gemacht. Im Induktionsschritt bin ich bis: "Die Summe von k=1 bis Undendlich von [mm] (2/(4n^2 [/mm] -1+8n+4). Nun stehe ich ein wenig auf dem Schlauch da ich einfach nicht drauf komme, wie ich 8n+4 aus dem Bruch bekomme, damit ich die Induktionsvorraussetzung anweden kann.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Danke für die Hilfe
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:39 So 22.11.2009 | | Autor: | Dath |
Interessante Aufgabe! So wie ich deine Frage verstehe, hast du geschrieben:
[mm]\summe_{k=1}^{n}\bruch{2}{4k^{2}-1}=1-\bruch{1}{2n-1}[/mm]
Ich nehme an, so soll es lauten. Deine rechte Seite erscheint mir ein wenig seltsam, weil etwas negatives rauskäme, wenn sie weiterhin so dastünde.
Wie löst man das?
1. Induktionsanfang, hast du gemacht
2. Induktionsvoraussetzung aufschreiben, sollte man machen
3. Auf einem Nebenzettel notieren, was am Ende rauskommen soll (d.h. ursprüngliche Formel, aber statt [mm]n[/mm] einfach [mm]n+1[/mm] hinschreiben. Den Tipp habe ich mal bekommen, und er hat mir bislang immer geholfen!
4. Induktionsschritt. Da liegt dein Problem!
[mm]n\to n+1
\summe_{k=1}^{n+1}\bruch{2}{4k^{2}-1}=
\summe_{k=1}^{n}\bruch{2}{4k^{2}-1}+\bruch{2}{4(n+1)^{2}-1}=Induktionsvoraussetzung benutzen!=1-\bruch{1}{2n-1}+\bruch{2}{4(n+1)^{2}-1}[/mm]
Nun formt man so um, dass eine wahre Aussage entsteht, will heißen, dass genau das rauskommt, was du dir auf dem zweiten Zettel notiert hast! So geht man vor, wenn die Aufgabe richtig abgeschrieben ist, und lautet "zeigen Sie durch vollständige Induktion". Da muss nämlich am Ende das richtige rauskommen.
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