Vollst. Induktion Gleichung < Induktion < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:53 So 18.10.2009 | | Autor: | Preed |
| Aufgabe | Beweise die folgende Behauptung mittels völlständiger Induktion:
[mm] \summe_{k=0}^{n} x^{k} [/mm] = [mm] \bruch{1-x^{(n+1)}}{1-x}, n\in\IN, x\not=1 [/mm] |
Hi zusammen,
ich habe diese Aufgabe und finde keinen wirklichen Lösungsansatz. Als Hilfe habe ich von einem Freund
http://www.youtube.com/watch?v=y8B8fl_usm0
gezeigt bekommen, aber das hilft mir auch nicht recht weiter.
In dem Video hat er den letzten Sumanten "herausgezigen" und i=n+1 gesetzt. Aber wenn ich mir jetzt meine linke Seite anschaue [mm] \summe_{k=0}^{n} x^{k} [/mm] habe ich da ja garkein i oder irgendetwas wo ich das n+1 einsetzen kann. Mir fehlt jeglicher Ansatz wie ich zu rechnen habe.
Vielen Dank im Vorraus
Preed
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
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> Beweise die folgende Behauptung mittels völlständiger
> Induktion:
> [mm]\summe_{k=0}^{n} x^{k}[/mm] = [mm]\bruch{1-x^{(n+1)}}{1-x}, n\in\IN, x\not=1[/mm]
>
> Hi zusammen,
>
> ich habe diese Aufgabe und finde keinen wirklichen
> Lösungsansatz.
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
Einen Lösungsansatz mußt Du Dir ja gar nicht selbst überlegen, es steht ja schon geschrieben, daß das mit vollständiger Induktion zu lösen ist.
Ist Dir das Prinzip der vollständigen Induktion klar?
Wenn ja, dann poste mal, wie weit Du bisher gekommen bist.
Wenn nein, schau Dir z.B. in dem Link an, wie vollständige Induktion geht und arbeite die Beispiele durch.
Unternimm danach einen eigenen Lösungsansatz, welchn Du gerne hier posten kannst.
> Als Hilfe habe ich von einem Freund
> http://www.youtube.com/watch?v=y8B8fl_usm0
> gezeigt bekommen,
'nen Video wollte ich mir jetzt nicht so gern angucken...
Falls es um den Induktionsschluß geht:
Zu zeigen ist hier unter der Induktionsvoraussetzung, daß [mm]\summe_{k=0}^{n+1} x^{k}[/mm] [mm] =\bruch{1-x^{(n+2)}}{1-x} [/mm] richtig ist.
Hierfür ist folgendes zu tun:
[mm]\summe_{k=0}^{n} x^{k}[/mm] = [ [mm]\summe_{k=0}^{n} x^{k}[/mm] ] + [mm] x^{n+1} [/mm] = ???
Die eckige Klammer wird nun durch die Induktionsvoraussetzung ersetzt, und dann rechnest Du vor, daß am Ende [mm] \bruch{1-x^{(n+2)}}{1-x} [/mm] herauskommt.
Gruß v. Angela
P.S.: das Summenzeichen ist Dir klar?
Es ist z.B. [mm] \summe_{i=1}^5(i+1)^i:=(1+1)^1 [/mm] + [mm] (2+1)^2 [/mm] + [mm] (3+1)^3 [/mm] + [mm] (4+1)^4 [/mm] + [mm] (5+1)^5.
[/mm]
Überlege Dir dies: [mm] \summe_{i=1}^5(i+1)^i=[\summe_{i=1}^4(i+1)^i] [/mm] + [mm] (5+1)^5
[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:32 So 18.10.2009 | | Autor: | Preed |
Schonmal danke für die Antwort, ich rechne jetzt gerade die Aufgaben aus dem Link nach.
Aber damit ich die Induktion richtig verstanden habe, es bedeutet doch dass eine Aussage dann richtig ist wenn ich für n n+1 einsetzen kann und die Aussage dann auch wahr ist. Mehr sagt doch die vollständige Induktion nicht aus oder liege ich dmait auch falsch?
Preed
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Hallo Preed,
> Schonmal danke für die Antwort, ich rechne jetzt gerade
> die Aufgaben aus dem Link nach.
> Aber damit ich die Induktion richtig verstanden habe, es
> bedeutet doch dass eine Aussage dann richtig ist wenn ich
> für n n+1 einsetzen kann und die Aussage dann auch wahr
> ist. Mehr sagt doch die vollständige Induktion nicht aus
> oder liege ich dmait auch falsch?
Beim Beweisen mit Hilfe der vollständigen Induktion zeigt man, dass eine Aussage für ein $\ n [mm] \in \IN [/mm] $ (in der Regel für $\ n = 1 $) gilt und vermutet dann, dass die Aussage für alle $\ n [mm] \in \IN [/mm] $ gelten muss.
Die natürlichen Zahlen sind doch so definiert, dass jede natürliche Zahl $\ n $ einen, und nur einen, natürlichen Nachfolger $\ n' = n+1$ hat.
Wenn du also zeigen kannst, dass die Aussage für $\ n +1 $ wahr ist, kannst du darauf schliessen, dass sie für alle natürlichen Zahlen gilt.
Dabei ist es i.d.R. nötig, erstmal zu erkennen, wie der Ausdruck überhaupt so umgeformt werden kann, dass $\ n +1 $ die Rolle übernimmt, die vorher von $\ n $ besetzt war.
Ich hoffe, dass ich das irgendwie gut überbringen konnte.
Ich kann im Übrigen den Link, den Angela gepostet hat, sehr empfehlen.
Nimm dir ruhig ein bisschen Zeit, um die Idee der vollständigen Induktion zu verstehen. Das Ganze ist in dem Beispiel auf der Mathebank sehr gut erklärt.
>
> Preed
Grüße
ChopSuey
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:10 So 18.10.2009 | | Autor: | Preed |
Ok, dann hab ich schonmal so halbwegs verstanden was also die vollst. Induktion machen soll.
Danke für die Hilfe.
Da ich leider nicht alle Schritte in diesem "Tutorial" verstehe, habe ich es jetzt mal versucht analog auf meine Aufgabe anzuwenden. Soweit bin ich jetzt mal gekommen:
-Induktionsanfang-
[mm] \summe_{k=0}^{n+1} x^{0} [/mm] = [mm] \bruch{1-x^{(0+1)}}{1-x}
[/mm]
[mm] \summe_{k=0}^{n+1} x^{0} [/mm] = [mm] \bruch{1-x^{1}}{1-x}
[/mm]
[mm] \summe_{k=0}^{n+1} x^{0} [/mm] = 0
-Induktionsschritt- n [mm] \to [/mm] n+1
[mm] \summe_{k=0}^{n+1} x^{k} [/mm] = [mm] \bruch{1-x^{(n+2)}}{1-x}
[/mm]
[mm] \summe_{k=0}^{n+1} x^{k} [/mm] = [mm] \bruch{1-x^{n}-x^{2}}{1-x}
[/mm]
Aber ich bezweifel irgendwie dass das richtig ist :-(
Die Beispiele in dem Tutorial sind leider ganz andere als das was ich hier machen muss, daher kann ich das nicht so direkt übertragen. Zudem weiß ich jetzt auch nicht wie es weitergeht falls es doch richtig ist.
Vlt hat ja nochmal jemand einen kleinen Tipp für den nächsten Schritt.
Schonmal vielen Danke an euch beiden für die Hilfe.
Preed
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| Aufgabe | Beweise die folgende Behauptung mittels vollständiger Induktion:
[mm] \summe_{k=0}^{n} x^{k} [/mm] = [mm] \bruch{1-x^{(n+1)}}{1-x}, n\in\IN, x\not=1 [/mm] |
Hallo,
vollständige Induktion macht man oft, wenn Aussagen für alle [mm] n\in \IN [/mm] oder auch für [mm] k\in \{5,6,7,8,...\} [/mm] zu beweisen sind.
Eine Indunktion läuft immer gleich ab:
-Induktionsanfang-
Man beweist, daß die Aussage für das kleinste n gilt, meist ist das n=1 oder n=0.
Willst Du die Gültigkeit der Aussage für n=0 zeigen, mußt Du
[mm]\summe_{k=0}^{\red{0}} x^{n}[/mm] und [mm] \bruch{1-x^{(0+1)}}{1-x} [/mm] ausrechnen, und die Ergebnisse vergleichen.
Das tun wir nun:
Es ist
[mm] \summe_{k=0}^{\red{0}} x^{n} =x^0 [/mm] = ...,
und es ist
[mm] \bruch{1-x^{(0+1)}}{1-x}= \bruch{1-x^{1}}{1-x} [/mm] = ...
(Letzteres hattest Du unten falsch gerechnet. Was ist [mm] \bruch{a}{a} [/mm] ?)
Wenn beide Ergebnisse übereinstimmen, dann kann man weitermachen.
Es folgt die
-Induktionsvoraussetzung-
Hier ist nicht viel zu tun. Man nimmt hier einfach an, daß die Aussage für ein n gezeigt ist.
Hier schreibt man:
es gelte [mm] \summe_{k=0}^{n} x^{k} [/mm] = [mm] \bruch{1-x^{(n+1)}}{1-x} [/mm] für ein [mm] n\in \IN.
[/mm]
Nun kommt der Teil, in dem meist ein bißchen was zu rechnen ist, der
-Induktionsschritt- n [mm]\to[/mm] n+1
Hier zeigt man unter der Voraussetzung, daß die zuvor gemachte Annahme stimmt, daß die zu bbeweisende Aussage dann auch für die auf n folgende nat. Zahl, also für n+1, gilt.
Zu zeigen ist also das, was dasteht, wenn man in der Induktionsannahme jedes n durch n+1 ersetzt.
Hier ist zu zeigen:
Dann gilt [mm] \summe_{k=0}^{\red{n+1}} x^{k} [/mm] = [mm] \bruch{1-x^{((\red{n+1})+1)}}{1-x}=\bruch{1-x^{(n+2)}}{1-x}
[/mm]
Beweis:
Man startet mit der einen Seite, formt so um, daß man an irgendeiner Stelle die Induktionsvoraussetzung einbauen kann, rechnet fleißig, und am anderen Ende soll dann die zweite Seite der Gleichung stehen. Damit ist man fertig.
Also:
Es ist
[mm] \summe_{k=0}^{\red{n+1}} x^{k}=[\summe_{k=0}^{\green{n}} x^{k} [/mm] ] + [mm] x^{\red{n+1}}= [/mm] [ [mm] \text{Ind. vor.}] [/mm] + [mm] x^{\red{n+1}}= [/mm] ... =... =... =... [mm] =\bruch{1-x^{(n+2)}}{1-x}.
[/mm]
>
> [mm]\bruch{1-x^{(n+2)}}{1-x}[/mm]= [mm]\bruch{1-x^{n}-x^{2}}{1-x}[/mm]
>
> Aber ich bezweifel irgendwie dass das richtig ist :-(
Das ist grauenhaft! Du trittst die Potenzgesetze mit Füßen.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:16 Mo 19.10.2009 | | Autor: | Preed |
Nachdem ich mir das ganze gestern noch mehrmals angeschaut hatte und versucht hatte was zu verstehen hatte ich es gestern Abend vorerst aufgegeben.
Heute morgen hatte ich es nochmal geöffnet un es erschien mir doch wieder recht logisch.
[mm] \summe_{k=0}^{n+1} x^{k} [/mm] = [mm] [\summe_{k=0}^{n} x^{k}] [/mm] + [mm] x^{(n+1)}
[/mm]
[mm] \summe_{k=0}^{n+1} x^{k} [/mm] = [mm] \bruch{1-x^{(n+1)}}{1-x} [/mm] + [mm] x^{(n+1)}
[/mm]
[mm] \summe_{k=0}^{n+1} x^{k} [/mm] = [mm] \bruch{1-x^{(n+2)}}{1-x}
[/mm]
Und dann wäre doch die Behauptung bewiesen.
Vielen Dank euch beiden für die Hilfe, ich hoffe dass ich es jetzt soweit verstanden habe und keine weiteren Fehler gemacht habe.
Vielen Dank
Preed
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> Nachdem ich mir das ganze gestern noch mehrmals angeschaut
> hatte und versucht hatte was zu verstehen hatte ich es
> gestern Abend vorerst aufgegeben.
> Heute morgen hatte ich es nochmal geöffnet un es erschien
> mir doch wieder recht logisch.
>
> [mm]\summe_{k=0}^{n+1} x^{k}[/mm] = [mm][\summe_{k=0}^{n} x^{k}][/mm] +
> [mm]x^{(n+1)}[/mm]
> [mm]\summe_{k=0}^{n+1} x^{k}[/mm] = [mm]\bruch{1-x^{(n+1)}}{1-x}[/mm] +
> [mm]x^{(n+1)}[/mm]
> [mm]\summe_{k=0}^{n+1} x^{k}[/mm] = [mm]\bruch{1-x^{(n+2)}}{1-x}[/mm]
>
> Und dann wäre doch die Behauptung bewiesen.
Hallo,
ja.
Noch zweierlei.
1.Für die Abgabe solltest Du unbedingt notieren, wo Du die Induktionsvoraussetzung einsetzt.
2. Wenn Du das so schrei bst, wie Du es tust, dann gehören zwischen die einzelnen Zeilen Äquivalenzumformungen.
Ich bevorzuge eine Gleichungskette:
[mm] \summe_{k=0}^{n+1} x^{k}[/mm] [/mm] =... =... =... =... = [mm]\bruch{1-x^{(n+2)}}{1-x}[/mm].
Erstens muß man etwas weniger schreiben, zwetens bekommt man so auch Ungleichungen bewiesen, ohne allzuviele Fehler zu machen.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:35 Mo 19.10.2009 | | Autor: | Preed |
Aufgabenstellung
Beweise die folgende Behauptung mittels vollständiger Induktion:
$ [mm] \summe_{k=0}^{n} x^{k} [/mm] $ = $ [mm] \bruch{1-x^{(n+1)}}{1-x}, n\in\IN, x\not=1 [/mm] $
Induktionsanfang
$ [mm] \summe_{k=0}^{{0}} x^{n} [/mm] $ = [mm] x^{0} [/mm] = $ [mm] \bruch{1-x^{(0+1)}}{1-x} [/mm] $ = [mm] \bruch{1-x^{1}}{1-x}
[/mm]
Induktionsvorraussetung
$ [mm] \summe_{k=0}^{n} x^{k} [/mm] $ = $ [mm] \bruch{1-x^{(n+1)}}{1-x} [/mm] $ für ein $ [mm] n\in \IN. [/mm] $
Induktionsschritt n [mm] \to [/mm] n+1
Zeige dass:
$ [mm] \summe_{k=0}^{{n+1}} x^{k} [/mm] $ = $ [mm] \bruch{1-x^{(({n+1})+1)}}{1-x}=\bruch{1-x^{(n+2)}}{1-x} [/mm] $
Durch:
$ [mm] \summe_{k=0}^{{n+1}} x^{k}=[\summe_{k=0}^{{n}} x^{k} [/mm] $ ] + $ [mm] x^{{(n+1)}}= [/mm] $ [mm] \bruch{1-x^{(n+1)}}{1-x} [/mm] + [mm] x^{(n+1)} [/mm] = [mm] \bruch{1-x^{n+1}+(1-x)*x^{n+1}}{1-x} [/mm] = [mm] \bruch{1 \overbrace{-x^{n+1}+x^{n+1}}^{gekuerzt} -x^{n+2}}{1-x} [/mm] = [mm] \bruch{1-x^{(n+2)}}{1-x}
[/mm]
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Ich habe gerade nochmal den Schritt des Kürzens eingefügt nachdem es heute ein Freund dem ich es gezeigt habe nicht verstanden hatte wie der letzte Schritt war, so sollte es jeder erkennen der in der selben Situation ist wie ich war 
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So dass sollte nun die komplette Lösung der Aufgabe sein wenn ich alles richtig verstanden habe. Nochmals vielen Dank an ChopSuey und besonders an angela.h.b!
Preed
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:48 Mo 19.10.2009 | | Autor: | ChopSuey |
Hallo Preed,
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") schön aufgeschrieben!
Grüße
ChopSuey
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