Vollst. Induktion Summenformel < Induktion < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:00 Mo 27.04.2015 | | Autor: | Ceriana |
| Aufgabe | Beweisen Sie durch vollständige Induktion über n [mm] \in \IN:
[/mm]
[mm] \summe_{k=1}^{n}\bruch{1}{k(k+1)(k+2)} [/mm] = [mm] \bruch{n(n+3)}{4(n+1)(n+2)} [/mm] |
Hallo,
die o.g. Aufgabe bereitet mir Probleme. Eigentlich ist das nicht mein erster Induktionsbeweis, aber der erste seit Monaten, und beim Induktionsschritt komme ich diesmal einfach nicht weiter. Hier was ich bisher habe:
Beweis durch vollständige Induktion über n [mm] \in \IN.
[/mm]
Induktionsanfang: Sei n = 1. Dann gilt:
[mm] \summe_{k=1}^{1}\bruch{1}{k(k+1)(k+2)} [/mm] = [mm] \bruch{1}{1(1+1)(1+2)} [/mm] = [mm] \bruch{1}{1\cdot 2\cdot 3} [/mm] = [mm] \bruch{1}{6} [/mm] = [mm] \bruch{1(1+3)}{4(1+1)(1+2)} [/mm] = [mm] \bruch{4}{24}.
[/mm]
Damit gilt die Aussage für n = 1.
Induktionsschritt:
Voraussetzung: [mm] \summe_{k=1}^{n}\bruch{1}{k(k+1)(k+2)} [/mm] = [mm] \bruch{n(n+3)}{4(n+1)(n+2)}
[/mm]
Behauptung: [mm] \summe_{k=1}^{n+1}\bruch{1}{k(k+1)(k+2)} [/mm] = [mm] \bruch{(n+1)((n+1)+3)}{4((n+1)+1)((n+1)+2)} [/mm] = [mm] \bruch{(n+1)(n+4)}{4(n+2)(n+3)}
[/mm]
Beweis für ein beliebiges aber festes n [mm] \in \IN [/mm] > 1:
[mm] \summe_{k=1}^{n+1}\bruch{1}{k(k+1)(k+2)} [/mm] = [mm] (\summe_{k=1}^{n}\bruch{1}{k(k+1)(k+2)}) [/mm] + [mm] \bruch{1}{(k+1)((k+1)+1)((k+1)+2)}
[/mm]
= [mm] \bruch{n(n+3)}{4(n+1)(n+2)} [/mm] + [mm] \bruch{1}{(k+1)((k+1)+1)((k+1)+2)} [/mm] (Induktionsvoraussetzung)
= [mm] \bruch{n(n+3)}{4(n+1)(n+2)} [/mm] + [mm] \bruch{1}{(k+1)(k+2)(k+3)}
[/mm]
Ab hier komme ich nicht mehr weiter. Man könnte sagen dass ich wohl eher ein Additionsproblem statt einem Induktionsproblem habe. Ich habe das Ding gedreht und gewendet, die Terme ausmultipliziert und alles gemacht was mir einfiel, ich hatte am Ende ganz seltsame Ergebnisse die im entferntesten nichts mit [mm] \bruch{(n+1)(n+4)}{4(n+2)(n+3)} [/mm] zu tun hatten. Vorallem bekomme ich einfach nirgendwo ein n+4 her. Kann mir jemand einen Schubser in die richtige Richtung geben?
Liebe Grüße und danke,
Ceriana
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:30 Mo 27.04.2015 | | Autor: | chrisno |
> ....
> Beweis für ein beliebiges aber festes n [mm]\in \IN[/mm] > 1:
>
> [mm]\summe_{k=1}^{n+1}\bruch{1}{k(k+1)(k+2)}[/mm] =
> [mm](\summe_{k=1}^{n}\bruch{1}{k(k+1)(k+2)})[/mm] +
> [mm]\bruch{1}{(k+1)((k+1)+1)((k+1)+2)}[/mm]
Hier hast Du übersehen, dass der letzte Term der Summand ist, in dem n+1 eingesetzt wird und nicht k+1.
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Hallo
> = [mm]\bruch{n(n+3)}{4(n+1)(n+2)}[/mm] + [mm]\bruch{1}{(k+1)(k+2)(k+3)}[/mm]
Wenn hier statt k im letzten Term des Summanden n steht, wie chrisno geschrieben hat, folgt:
[mm] \bruch{n(n+3)}{4(n+1)(n+2)}+ \bruch{1}{(n+1)(n+2)(n+3)}
[/mm]
= [mm] \bruch{n(n+3)(n+3)}{4(n+1)(n+2)(n+3)}+\bruch{4}{4(n+1)(n+2)(n+3)}
[/mm]
= [mm] \bruch{4+n(n+3)(n+3)}{4(n+1)(n+2)(n+3)}.
[/mm]
An der Stelle den Zähler ausmultiplizieren, eine Polynomdivision mit (n+1) machen, kürzen und du bist so gut wie fertig.
Viele Grüße
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:49 Di 28.04.2015 | | Autor: | Ceriana |
Guten Morgen und danke für eure Antworten.
Dass das k mit dem n vertauscht war ist eigentlich nur ein Schreibfehler gewesen, auf meinen Papieren sind die Variablen korrekt.
Ausmultipliziert sieht der Bruch nun so aus
[mm] \bruch{4+n^{3}+6n^{2}+9n}{4(n+1)(n+2)(n+3)}
[/mm]
Führe ich nun eine Polynomdivision mit (n+1) auf den Zähler aus, komme ich auf [mm] n^{2}+5n+4. [/mm] Das könnte man dann noch zu (n+1)(n+4) umstellen, perfekt!
€dit: gerade was entdeckt, wird bearbeitet
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Hallo,
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> Ich komme nicht ganz hinter deine Polynomdivision:
> Ausmultipliziert sieht der Bruch nun so aus
>
> [mm]\bruch{4+n^{3}+6n^{2}+9n}{4(n+1)(n+2)(n+3)}[/mm]
>
> Mir ist klar dass ich die (n+1) aus dem Nenner rausbekommen
> muss. Aber Da im Bruch später
> [mm]\bruch{(n+1)(n+4)}{4(n+2)(n+3)}[/mm] stehen muss...
,was wiederum [mm] \bruch{n^{2}+5n+4}{4(n+2)(n+3)} [/mm] ist.
und genau [mm] n^{2}+5n+4 [/mm] erhälst du, wenn du [mm] (n^{3}+6n^{2}+9n+4):(n+1) [/mm] mit einer Polynomdivision ausrechnest. Du musst also nur noch Zähler und Nenner mit (n+1) mittels Polynomdivision kürzen und dann im Zähler klammern - fertig.
Viele Grüße
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:06 Di 28.04.2015 | | Autor: | Ceriana |
Hallo,
kurz nach meiner Antwort bin ich dahintergestiegen. Wollte gerade meine Lösung reineditieren, aber dann hast du dir den Post schon zum bearbeiten gekrallt ;)
Mein Fehler lag in der Polynomdivision die ich zuletzt in der Oberstufe vor 3 Jahren gemacht habe und ein par Fehler eingebaut hatte. Außerdem habe ich die Division nur im Zähler durchgeführt, nicht im Nenner..
Vielen Dank, ich habe es nun verstanden :D
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