Vollst. Induktion, Ungleichung < Induktion < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:42 Di 13.10.2009 | | Autor: | ChopSuey |
| Aufgabe | ......
Hinweis: Zeigen Sie zunächst $\ (1+k) [mm] \le 2^k [/mm] $ , für $\ k [mm] \in \IN \backslash \{0\} [/mm] $ |
Hi 
es soll mit Hilfe oben genannter Ungleichung eine unwesentlich umfangreichere Aufgabe bewiesen werden, doch irgendwie klappt die vollst. Induktion bei $\ (1+k) [mm] \le 2^k [/mm] $ nicht.
Induktionsanfang:
$\ k = 1 $
$\ (1+1) [mm] \le 2^1 [/mm] $ ist wahr.
Induktionsschritt: $\ k [mm] \to [/mm] k+1 $
$\ (1+k) [mm] \le 2^k [/mm] $, $\ [mm] 2^{k+1} [/mm] = [mm] 2^k*2 [/mm] $
$\ 2(1+k) [mm] \le 2^{k+1} [/mm] $
$\ 2+2k [mm] \le 2^{k+1} [/mm] $
$\ 1+1+k+k [mm] \le 2^{k+1} [/mm] $
$\ [mm] (1+1+k)+\red{k} \le 2^{k+1} [/mm] $
Was mach ich falsch? Mich wundert das irgendwie, da die Aufgabe eher sehr harmlos wirkt und ich im Umgang mit vollst. Induktion eigtl sicher war, dachte ich.
Viele Grüße
ChopSuey
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> ......
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> Hinweis: Zeigen Sie zunächst [mm]\ (1+k) \le 2^k[/mm] , für [mm]\ k \in \IN \backslash \{0\}[/mm]
>
> Hi
>
> es soll mit Hilfe oben genannter Ungleichung eine
> unwesentlich umfangreichere Aufgabe beweisen, doch
> irgendwie klappt die vollst. Induktion bei [mm]\ (1+k) \le 2^k[/mm]
> nicht.
>
> Induktionsanfang:
>
> [mm]\ k = 1[/mm]
>
> [mm]\ (1+1) \le 2^1[/mm] ist wahr.
>
> Induktionsschritt: [mm]\ k \to k+1[/mm]
Hallo,
Zu zeigen ist also [mm] (2+k)\le 2^{k+1}
[/mm]
>
> [mm]\ (1+k) \le 2^k [/mm], [mm]\ 2^{k+1} = 2^k*2[/mm]
>
> [mm]\ 2(1+k) \le 2^{k+1}[/mm]
>
> [mm]\ 2+2k \le 2^{k+1}[/mm]
>
> [mm]\ 1+1+k+k \le 2^{k+1}[/mm]
>
> [mm]\ (1+1+k)+\red{k} \le 2^{k+1}[/mm]
>
> Was mach ich falsch?
Bisher eigentlich nichts.
es ist doch [mm] (1+1+k)+\red{k} [/mm] > (2+k), und damit hast Du's doch.
Gruß v. Angela
Mich wundert das irgendwie, da die
> Aufgabe eher sehr harmlos wirkt und ich im Umgang mit
> vollst. Induktion eigtl sicher war, dachte ich.
>
> Viele Grüße
> ChopSuey
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:53 Di 13.10.2009 | | Autor: | ChopSuey |
Hallo Angela,
> > ......
> >
> > Hinweis: Zeigen Sie zunächst [mm]\ (1+k) \le 2^k[/mm] , für [mm]\ k \in \IN \backslash \{0\}[/mm]
>
> >
> > Hi
> >
> > es soll mit Hilfe oben genannter Ungleichung eine
> > unwesentlich umfangreichere Aufgabe beweisen, doch
> > irgendwie klappt die vollst. Induktion bei [mm]\ (1+k) \le 2^k[/mm]
> > nicht.
> >
> > Induktionsanfang:
> >
> > [mm]\ k = 1[/mm]
> >
> > [mm]\ (1+1) \le 2^1[/mm] ist wahr.
> >
> > Induktionsschritt: [mm]\ k \to k+1[/mm]
>
> Hallo,
>
> Zu zeigen ist also [mm](2+k)\le 2^{k+1}[/mm]
>
> >
> > [mm]\ (1+k) \le 2^k [/mm], [mm]\ 2^{k+1} = 2^k*2[/mm]
> >
> > [mm]\ 2(1+k) \le 2^{k+1}[/mm]
> >
> > [mm]\ 2+2k \le 2^{k+1}[/mm]
> >
> > [mm]\ 1+1+k+k \le 2^{k+1}[/mm]
> >
> > [mm]\ (1+1+k)+\red{k} \le 2^{k+1}[/mm]
> >
> > Was mach ich falsch?
>
> Bisher eigentlich nichts.
>
> es ist doch [mm](1+1+k)+\red{k}[/mm] > (2+k), und damit hast Du's
> doch.
Ah, verstehe. So wird also argumentiert. Mein erster Gedanke war allerdings sofort:
Wieso folgt aus [mm](1+1+k)+\red{k} > (2+k)[/mm] unmittelbar, dass
[mm](2+k)\le 2^{k+1}[/mm] sein soll?
Aber wegen [mm]\ (1+1+k)+\red{k} \le 2^{k+1}[/mm] muss ja folglich [mm]\ (2+k) \le 2^{k+1}[/mm] sein.
>
> Gruß v. Angela
>
> Mich wundert das irgendwie, da die
> > Aufgabe eher sehr harmlos wirkt und ich im Umgang mit
> > vollst. Induktion eigtl sicher war, dachte ich.
> >
> > Viele Grüße
> > ChopSuey
>
Super, vielen Dank!
Grüße
ChopSuey
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:49 Fr 16.10.2009 | | Autor: | melisa1 |
Hallo;
ich habe die selbe Aufgabe in der ersten Übung bekommen und bin totaaal überfordert :S
hast du denn Rest auch schon gemacht? Wenn ja kannst du mir da vlt einwenig helfen ich kapier nähmlich gar nichts......
Der erste schritt denn du hier gemacht hast ist ja noch ok aber danach verstehe ich noch nicht mal was sie von mir wollen :S
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:59 Fr 16.10.2009 | | Autor: | melisa1 |
Vielleicht können mir auch andere helfen
die aufgabe lautet:
Es seien a1,......,am [mm] \in \IN [/mm] {0}. Beweisen Sie: Gilt für ein n [mm] \in \IN [/mm] {0}
[mm] \produkt_{i=1}^{m} [/mm] (1+ai) > [mm] 2^n [/mm] , so folgt [mm] \summe_{i=1}^{m} [/mm] ai >n
Hinweis: Zeigen sie zunächst $ \ (1+k) [mm] \le 2^k [/mm] $ für k [mm] \in \IN [/mm] {0}
ok als erstes muss ich das was im Hinweis steht mit hilfe der Induktion beweisen und dann? Ich verstehe gar nicht was man hier von mir will :S
kann mir bitte bitte bitte jemand weiter helfen ich will nicht in der ersten Übung schon null punkte :S
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:34 Fr 16.10.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
Wenn man ne Aufgabe nicht versteht, bastelt man sich ein Beispiel a1=1,a2=3,a3=5 a4=2 also m=4
jetzt Bildet man das Produkt
(1+1)*(3+1)*(5+1)*(2+1)=144
[mm] 144>128=2^7 [/mm] (7 ist das n, das findet man immer!)
jetzt ist die Behauptung a1+a2+a3+a4>7 (das sollman natuerlich nicht beweisen indem man einfach die Zahlen im Bsp addiert, sondern eben aus der Eigenschaft, dass das Produkt [mm] >2^7 [/mm] ist.
So jetzt solltest du gesehen haben was von dir verlangt ist.
und du hast auch den Hinweis, mit welcher Formel du gute Erfolgsaussichten hast. (alle natuerlichen Zahlen kann man als 1+k schreiben!
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:58 Sa 17.10.2009 | | Autor: | melisa1 |
Hallo,
ich habe nun damit angefangen das was im Hinweis steht mit hilfe der Induktion zu beweisen
Induktionsanfang: k=1 (1+1) [mm] \le 2^1 [/mm] ist wahr
Induktionsvoraussetzung :
$ \ (1+k) [mm] \le 2^k [/mm] $ für $ \ k [mm] \in \IN \backslash \{0\} [/mm] $
Induktionsschritt:
k [mm] \to [/mm] (k+1)
Zu zeigen ist das stimmt:
(1+(k+1)) [mm] \le 2^{k+1}
[/mm]
(2+k) [mm] \le 2^{k+1}
[/mm]
So und ab hier wird es bei mir schwierig :S
Ich habe es so verstanden das ich den rechten Teil erst abschreibe + das k wird eins weiter geführt
d.h
(1+k)+(1+k)= 2+2K
auf der linken Seite mach ich dann das selbe, so dass da steht
[mm] 2^k [/mm] +(k+1)
d.h. ich hab hier jetzt stehen
2+2k [mm] \le 2^k+(k+1)
[/mm]
stimmt das bis hierhin? Wenn ja wie muss ich fortfahren, also wie kann ich von [mm] 2^k+(k+1) [/mm] auf [mm] 2^{k+1} [/mm] kommen?
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> Hallo,
>
> ich habe nun damit angefangen das was im Hinweis steht mit
> hilfe der Induktion zu beweisen
>
> Induktionsanfang: k=1 (1+1) [mm]\le 2^1[/mm] ist wahr
>
> Induktionsvoraussetzung :
>
>
>
> [mm]\ (1+k) \le 2^k[/mm] für [mm]\ k \in \IN \backslash \{0\}[/mm]
>
>
> Induktionsschritt:
>
> k [mm]\to[/mm] (k+1)
>
> Zu zeigen ist das stimmt:
>
> (1+(k+1)) [mm]\le 2^{k+1}[/mm]
>
> (2+k) [mm]\le 2^{k+1}[/mm]
Hallo,
Du mußt nun auf eine Ungleichungskette zusteuern, an deren Anfang (2+k) steht und an deren Ende [mm] 2^{k+1}.
[/mm]
Also etwa so: (2+k) = ... [mm] \le ...\le [/mm] ... = ... = ... [mm] \le ...=2^{k+1}
[/mm]
Unterwegs muß man die Induktionsvoraussetzung verwenden.
Legen wir mal los:
(2+k)=1 + [mm] (1+k)\le [/mm] 1 + [mm] ...\le [/mm] ???
Gruß v. Angela
>
>
> So und ab hier wird es bei mir schwierig :S
>
> Ich habe es so verstanden das ich den rechten Teil erst
> abschreibe + das k wird eins weiter geführt
>
> d.h
>
> (1+k)+(1+k)= 2+2K
>
> auf der linken Seite mach ich dann das selbe, so dass da
> steht
>
> [mm]2^k[/mm] +(k+1)
>
> d.h. ich hab hier jetzt stehen
>
> 2+2k [mm]\le 2^k+(k+1)[/mm]
>
> stimmt das bis hierhin? Wenn ja wie muss ich fortfahren,
> also wie kann ich von [mm]2^k+(k+1)[/mm] auf [mm]2^{k+1}[/mm] kommen?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:57 Sa 17.10.2009 | | Autor: | melisa1 |
Hallo;
stimmt das bis hierhin:
[mm] (2+k)=1+(1+k)\le ....\le.......\le [/mm] 2+2k=(1+k)+(1+k)= [mm] 2*(1+k)\le 2*2^k [/mm] = [mm] 2^{k+1} [/mm]
Lg melisa
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:04 Sa 17.10.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
ausser den vielen unoetigen angedeuteten Schritten ist das richtig, wenn auch sehr umstaendlich. Wichtig ist, dass du sagst, wo du die Induktionsvors. benutzt.
also [mm] 2*(1+k)<2*2^k [/mm] nach Induktionsvors. [mm] 1+k<2^k
[/mm]
gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:15 Sa 17.10.2009 | | Autor: | melisa1 |
hallo;
heißt das jz, dass ich noch [mm]1+k<2^k[/mm]
in die kette einbringen muss? Wenn nein wie fahre ich jz fort?
Ist damit der Beweis zu ende?
Lg Melisa
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> hallo;
>
> heißt das jz, dass ich noch [mm]1+k<2^k[/mm]
> in die kette einbringen muss?
Hallo,
das hast Du doch schon verwendet. Du solltest es bloß im Beweis notieren, wenn Du die I.V. einsetzt.
> Ist damit der Beweis zu ende?
Ja.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:03 Sa 17.10.2009 | | Autor: | melisa1 |
hallo,
jetzt habe ich ja endlich den Hinweis beweisen können.
Jetzt wollte ich erstmal fragen, ob ich die Aufgabenstellung richtig verstanden habe.
Muss ich jetzt $ [mm] \produkt_{i=1}^{m} [/mm] $ (1+ai) > [mm] 2^n [/mm] beweisen und dann kommt $ [mm] \summe_{i=1}^{m} [/mm] $ ai >n raus oder was ist hier mit "so folgt" gemeint und was bringt mir hier der Beweis vom Hinweis.
LG
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:54 Sa 17.10.2009 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> hallo,
>
> jetzt habe ich ja endlich den Hinweis beweisen können.
>
> Jetzt wollte ich erstmal fragen, ob ich die
> Aufgabenstellung richtig verstanden habe.
>
> Muss ich jetzt [mm]\produkt_{i=1}^{m}[/mm] (1+ai) > [mm]2^n[/mm] beweisen und
> dann kommt [mm]\summe_{i=1}^{m}[/mm] ai >n raus oder was ist hier
> mit "so folgt" gemeint und was bringt mir hier der Beweis
> vom Hinweis.
Die Aussage die du beweisen sollst, ist diese: wenn für die Zahlen [mm] $a_1,\dots,a_m$ [/mm] und die Zahl n gilt, dass
(*) [mm]\produkt_{i=1}^{m} (1+a_i) > 2^n[/mm],
dann gilt [mm] \summe_{i=1}^{m} a_i > n [/mm].
Du musst also von (*) ausgehen. Der Hinweis sagt dir, dass für alle [mm] $a_i$ [/mm] gilt: [mm] $(1+a_i) \le 2^{a_i}$.
[/mm]
Was passiert, wenn du versuchst, dies in das Produkt [mm]\produkt_{i=1}^{m} (1+a_i) [/mm] einzusetzen?
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:15 Sa 17.10.2009 | | Autor: | melisa1 |
ich steh total auf´m schlauch wie soll ich das denn in das produkt einsetzen :S
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:22 Sa 17.10.2009 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> ich steh total auf´m schlauch wie soll ich das denn in das
> produkt einsetzen :S
Faktor für Faktor. Jeden Faktor der Form [mm] $(1+a_i)$ [/mm] kannst du nach oben durch [mm] $2^{a_i}$ [/mm] abschätzen.
Zum Beispiel für m=3:
[mm] \produkt_{i=1}^{3} (1+a_i) = (1+a_1)(1+a_2)(1+a_3) \le 2^{a_1}*(1+a_2)(1+a_3) \le 2^{a_1}*2^{a_2}*(1+a_3) \le 2^{a_1}*2^{a_2}*2^{a_3} = 2^{a_1+a_2+a_3} [/mm].
Jetzt siehst du, dass ganz rechts im Exponenten die Summe
[mm]a_1+a_2+a_3 = \summe_{i=1}^3 a_i [/mm]
steht.
Verallgemeinere das für beliebige Werte von m. Was steht dann da?
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:49 Sa 17.10.2009 | | Autor: | melisa1 |
Hallo;
das habe ich jetzt raus:
[mm]\produkt_{i=1}^{m} (1+a_i) = (1+a_1)(1+a_2).....(1+a_m) \le 2^{a_1}*2^{a_2}......*2^{a_m} = 2^{a_1+a_2+.....+a_m} [/mm].
[mm]a_1+a_2+.....+a_m = \summe_{i=1}^m a_i[/mm]
stimmt das so?
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Hi melisa,
> Hallo;
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> das habe ich jetzt raus:
>
> [mm]\produkt_{i=1}^{m} (1+a_i) = (1+a_1)(1+a_2).....(1+a_m) \le 2^{a_1}*2^{a_2}......*2^{a_m} = 2^{a_1+a_2+.....+a_m} [/mm].
>
>
>
>
> [mm]a_1+a_2+.....+a_m = \summe_{i=1}^m a_i[/mm]
>
>
> stimmt das so?
Du hast jetzt [mm]\produkt_{i=1}^{m} (1+a_i) \le 2^{a_1}*2^{a_2}......*2^{a_m} = 2^{a_1+a_2+.....+a_m} [/mm].
Es ist $\ [mm] 2^{a_1}*2^{a_2}......*2^{a_m} [/mm] = [mm] \produkt_{i=1}^{m}2^{a_i} [/mm] $
und $\ [mm] 2^{a_1+a_2+.....+a_m} [/mm] = [mm] 2^{\summe_{i=1}^m a_i} [/mm] $
Nun mache Gebrauch von der Aussage $\ [mm] \produkt_{i=1}^{m} (1+a_i) [/mm] > [mm] 2^n [/mm] $
Dann ist $\ [mm] 2^n [/mm] < [mm] \produkt_{i=1}^{m} (1+a_i) \le 2^{\summe_{i=1}^m a_i} [/mm] $
Und man sieht sofort, es ist $\ [mm] 2^n \le 2^{\summe_{i=1}^m a_i} [/mm] $
Jetzt musst du nur noch erkennen, was unmittelbar aus der letzten Zeile folgt.
Viele Grüße
ChopSuey
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:07 Sa 17.10.2009 | | Autor: | melisa1 |
Hallo CopSuey,
mal ne blöde frage zum verständnis woher taucht die 2 unterm Summen Zeichen vor 1 auf
also bei [mm] \summe_{2i=1}^m a_i [/mm] $
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Hi melisa,
ist keine blöde Frage  Das sieht nur merkwürdig aus.
Du weisst ja sicher, dass $\ [mm] a_1+a_2+....a_n$ [/mm] geschrieben werden kann als $\ [mm] \summe_{i=1}^{n}a_i [/mm] $.
Wir haben halt in diesem Fall das Ganze im Exponenten stehen, damit meine ich
$\ [mm] 2^{ a_1+a_2+....a_n } [/mm] $ und ich hab das Summenzeichen in den Exponenten gesetzt.
Jetzt klarer? Falls du auch bei Professor Kohlenbach hörst, können wir uns auch morgen Treffen und das zusammen machen. Habe die Aufgabe heute Mittag gelöst.
Grüße
ChopSuey
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:18 Sa 17.10.2009 | | Autor: | melisa1 |
Das wäre echt super aber morgen ist leider sehr schlecht bei mir
lieb von dir danke schön! An welcher Übungsgruppe nimmst du eigentlich teil? Und darf ich fragen wie du heißt?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:25 Sa 17.10.2009 | | Autor: | melisa1 |
muss man das summenzeichen so schreiben also im exponenten?
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Hi,
nein, musst du nicht. Aber mir hat es geholfen, das wesentliche zu "sehen".
Gruß
ChopSuey
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:35 Sa 17.10.2009 | | Autor: | melisa1 |
alsooo ich habe jetzt geschrieben:
[mm]\produkt_{i=1}^{m} (1+a_i) \le 2^{a_1}*2^{a_2}......*2^{a_m} = 2^{a_1+a_2+.....+a_m} [/mm].
>
> Es ist [mm]\ 2^{a_1}*2^{a_2}......*2^{a_m} = \produkt_{i=1}^{m}2^{a_i}[/mm]
>
> und [mm]\ a_1+a_2+.....+a_m = \summe_{i=1}^m a_i[/mm]
>
> Nun mache Gebrauch von der Aussage [mm]\ \produkt_{i=1}^{m} (1+a_i) > 2^n[/mm]
>
> Dann ist [mm]\ 2^n < \produkt_{i=1}^{m} (1+a_i) \le \summe_{i=1}^m a_i[/mm]
>
$ \ [mm] 2^n \le \summe_{i=1}^m a_i [/mm] $
Kann ich das so stehen lassen oder sind da wieder Fehler drin?
Und was folgt aus der letzten Zeile????
Kannst du mir das bitteeee verraten.... ich sitze schon den ganzen Tag an der Aufgabe und bin fix und fertig :(
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:40 Sa 17.10.2009 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> alsooo ich habe jetzt geschrieben:
>
> [mm]\produkt_{i=1}^{m} (1+a_i) \le 2^{a_1}*2^{a_2}......*2^{a_m} = 2^{a_1+a_2+.....+a_m} [/mm].
>
> >
> > Es ist [mm]\ 2^{a_1}*2^{a_2}......*2^{a_m} = \produkt_{i=1}^{m}2^{a_i}[/mm]
>
> >
> > und [mm]\ a_1+a_2+.....+a_m = \summe_{i=1}^m a_i[/mm]
> >
> > Nun mache Gebrauch von der Aussage [mm]\ \produkt_{i=1}^{m} (1+a_i) > 2^n[/mm]
>
> >
> > Dann ist [mm]\ 2^n < \produkt_{i=1}^{m} (1+a_i) \le \summe_{i=1}^m a_i[/mm]
Fast richtig. Rechts steht nicht [mm] $\summe_{i=1}^m a_i [/mm] = [mm] a_1+a_2+\dots+a_m$, [/mm] sondern
[mm] 2^{a_1+a_2+\dots+a_m} = 2^{\left(\summe_{i=1}^m a_i\right)} [/mm]
> Kann ich das so stehen lassen oder sind da wieder Fehler
> drin?
> Und was folgt aus der letzten Zeile????
Naja, wenn du die Summe in der Mitte weglässt, steht da
[mm] 2^n < 2^{\left(\summe_{i=1}^m a_i\right)} [/mm]
Was du zeigen sollst, ist
[mm] n <\summe_{i=1}^m a_i [/mm]
Siehst du, wie du von Einen zum Anderen kommst?
Viele Grüße
Rainer
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:51 Sa 17.10.2009 | | Autor: | melisa1 |
indem ich log nehme vlt :S
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Hi melisa,
Nein, so weit geht das garnicht. Du musst doch nur noch die Basis $\ 2 $ kürzen.
Rainer schrieb:
$ [mm] 2^{\red{n}} [/mm] < [mm] 2^{\red{\left(\summe_{i=1}^m a_i\right)}} [/mm] $
Und aus dieser Zeile folgt:
$\ [mm] \red{n} [/mm] < [mm] \red{\left(\summe_{i=1}^m a_i\right)} [/mm] $
Fertig. Damit ist die Aufgabe bewiesen. Die Aufgabe ist jetzt bloß so dermaßen zerteilt, dass es wahrscheinlich nicht einfach ist, zu sehen, warum wir hier fertig sind.
Wir haben die Voraussetzung, aus der die Ungleichung $\ n < [mm] \summe_{i=1}^m a_i [/mm] $ folgen soll benutzt um auf dieses Ergebnis zu kommen. Folglich muss die Voraussetzung stimmen und damit ist die Aufgabe bewiesen.
Hab dir übrigens eine Nachricht geschickt
Gruß
ChopSuey
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:12 Sa 17.10.2009 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> indem ich log nehme vlt :S
Ja, das geht. Aber nur deswegen, weil der Logarithmus eine streng monoton wachsende Funktion ist. Nur deshalb kannst du folgern:
[mm] a< b \implies \log a < \log b [/mm].
Viele Grüße
Rainer
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:16 Sa 17.10.2009 | | Autor: | melisa1 |
boahhh ich glaub es nicht endlich fertig :D
vielen vielen dank an alleee die mir geholfen habeen :D
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:01 Do 22.10.2009 | | Autor: | melisa1 |
Hallo;
letztens habe ich ja mit eurer hilfe die Aufgabe lösen können, jedoch war dies so zerstückelt, dass ich jetzt nicht weiß, ob ich das alles richtig zusammen geschrieben habe. Ich wäre sehr dankbar, wenn jemand mal drüber schauen kann, ob ich das so abgeben kann.
Alsooo:
$ \ (1+k) [mm] \le 2^k [/mm] $ für $ \ k [mm] \in \IN \backslash \{0\} [/mm] $
Induktionsanfang:
K= 1 [mm] (1+1)\le 2^1 [/mm] ist wahr
Induktionsvoraussetzung:
[mm] (1+k)\le 2^k [/mm] für $ \ k [mm] \in \IN \backslash \{0\} [/mm] $
Induktionsschritt: (hier bin ich mir nicht sicher ob ich das so stehen lassen kann)
k $ [mm] \to [/mm] $ k+1
(1+(k+1)) [mm] \le [/mm] 2^(k+1)
(2+k) [mm] \le [/mm] 2^(k+1)
nun ist zu beweisen das dies gilt:
[mm] (2+k)=1+(1+k)\le [/mm] 2+2k= (1+k)+(1+k)= [mm] 2(1+k)\le 2*2^k=2*2^{k+1}
[/mm]
wenn für die Zahlen a1,.....am und die Zahl n gilt, dass
$ [mm] \produkt_{i=1}^{m} (1+a_i) [/mm] > [mm] 2^n [/mm] $ dann gilt: $ [mm] \summe_{i=1}^{m} a_i [/mm] > n $
Der Hinweis sagt, dass für alle ai gilt:
$ [mm] (1+a_i) \le 2^{a_i} [/mm] $
$ [mm] \produkt_{i=1}^{m} (1+a_i) \le 2^{a_1}\cdot{}2^{a_2}......\cdot{}2^{a_m} [/mm] = [mm] 2^{a_1+a_2+.....+a_m} [/mm] $
Es ist: $ \ [mm] 2^{a_1}\cdot{}2^{a_2}......\cdot{}2^{a_m} [/mm] = [mm] \produkt_{i=1}^{m}2^{a_i} [/mm] $
$ \ [mm] 2^{a_1+a_2+.....+a_m} [/mm] = [mm] 2^{\summe_{i=1}^m a_i} [/mm] $
Wenn wir von der Aussage $ \ [mm] \produkt_{i=1}^{m} (1+a_i) [/mm] > [mm] 2^n [/mm] $ gebrauch machen dann ist:
$ \ [mm] 2^n [/mm] < [mm] \produkt_{i=1}^{m} (1+a_i) \le 2^{\summe_{i=1}^m a_i} [/mm] $
$ \ [mm] 2^n \le 2^{\summe_{i=1}^m a_i} [/mm] $
Wir kürzen die Basis 2
n [mm] \le {\summe_{i=1}^m a_i}
[/mm]
Ich bedanke mich im voraus
Lg Melisa
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:37 Do 22.10.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
Ich korrigier mal dein Aufschreiben:
Satz 1:
> [mm]\ (1+k) \le 2^k[/mm] für [mm]\ k \in \IN \backslash \{0\}[/mm]
>
> Induktionsanfang:
>
> K= 1 [mm](1+1)\le 2^1[/mm] ist wahr
>
> Induktionsvoraussetzung:
es gilt:
>
> [mm](1+k)\le 2^k[/mm] für [mm]\ k \in \IN \backslash \{0\}[/mm]
>
> Induktionsschritt: (hier bin ich mir nicht sicher ob ich
> das so stehen lassen kann)
> k [mm]\to[/mm] k+1
>
> (1+(k+1)) [mm]\le[/mm] 2^(k+1)
> (2+k) [mm]\le[/mm] 2^(k+1)
> nun ist zu beweisen das dies gilt:
jetzt ist die Reihenfolge schlecht, weil man nicht richtig sieht wo die Indvors eingeht. also besser:
aus [mm](1+k)\le 2^k[/mm]
folgt [mm] 2*(1+k)\le 2*2^k [/mm] <=>
[mm] 2k+2\le 2^{k+1}
[/mm]
=> [mm] k+2<2k+2\le 2^{k+1}
[/mm]
also die Behauptung
[mm] k+2\le 2^{k+1}
[/mm]
>
> [mm](2+k)=1+(1+k)\le[/mm] 2+2k= (1+k)+(1+k)= [mm]2(1+k)\le 2*2^k=2*2^{k+1}[/mm]
was du gemacht hast ist nicht falsch, nur ungeschickt, weil man nicht deutlich sieht, wo und wie due die INd. Vors. benutzt hast.
Jetzt kommt Satz 2.
> wenn für die Zahlen a1,.....am und die Zahl n gilt,
> dass
>
> [mm]\produkt_{i=1}^{m} (1+a_i) > 2^n[/mm] dann gilt:
> [mm]\summe_{i=1}^{m} a_i > n[/mm]
>
>
> Der Hinweis sagt, dass für alle ai gilt:
> [mm](1+a_i) \le 2^{a_i}[/mm]
Hier nicht Hinweis sagen, sondern Satz 1. sagt: [mm](1+a_i) \le 2^{a_i}[/mm]
Besser noch:
Aus Satz 1 folgt
> [mm]\produkt_{i=1}^{m} (1+a_i) \le 2^{a_1}\cdot{}2^{a_2}......\cdot{}2^{a_m} = 2^{a_1+a_2+.....+a_m}[/mm]
>
> Es ist: [mm]\ 2^{a_1}\cdot{}2^{a_2}......\cdot{}2^{a_m} = \produkt_{i=1}^{m}2^{a_i}[/mm]
>
> [mm]\ 2^{a_1+a_2+.....+a_m} = 2^{\summe_{i=1}^m a_i}[/mm]
>
> Wenn wir von der Aussage [mm]\ \produkt_{i=1}^{m} (1+a_i) > 2^n[/mm]
> gebrauch machen dann ist:
Hier einfacher: wegen der Vors. [mm] \produkt_{i=1}^{m} (1+a_i) [/mm] > [mm] 2^n[/mm] [/mm] gilt
> [mm]\ 2^n < \produkt_{i=1}^{m} (1+a_i) \le 2^{\summe_{i=1}^m a_i}[/mm]
>
> [mm]\ 2^n \le 2^{\summe_{i=1}^m a_i}[/mm]
>
> Wir kürzen die Basis 2
ungeschickter Ausdruck, (kuerzen kann man offiziell nur in Bruechen.
besser: entweder einfach daraus folgt ,
oder weil Exponentialfunktionen monoton sind folgt
>
> n [mm]\le {\summe_{i=1}^m a_i}[/mm]
>
Nochmal, du hast nix falsch gemacht, nur ist es besser gleich von anfang an immer genau zu sagen, was man benutzt, und wo man nur umrechnet.
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:32 Do 22.10.2009 | | Autor: | melisa1 |
hey super danke =)
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> Hallo;
>
> ich habe die selbe Aufgabe in der ersten Übung bekommen
> und bin totaaal überfordert :S
> hast du denn Rest auch schon gemacht? Wenn ja kannst du mir
> da vlt einwenig helfen ich kapier nähmlich gar
> nichts......
>
> Der erste schritt denn du hier gemacht hast ist ja noch ok
> aber danach verstehe ich noch nicht mal was sie von mir
> wollen :S
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
Das, was Du schreibst, klingt so, als hättest Du das Prinzip der vollständigen Induktion nicht verstanden.
Vielleicht klickst Du erstmal  Induktion, und rechnest mit Stift und Papier die dortigen Beispiele mit.
Wenn Du den Artikel durchgearbeitet hast, solltest Du so weit sein, daß Du hier einen eigenen Lösungsversuch vorstellen kannst.
Es hilft Dir dann bestimmt jemand weiter.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:07 Sa 17.10.2009 | | Autor: | melisa1 |
Hallo,
ich habe jetzt das gemacht, was du mir vorgeschlagen hast.
Ich habe gerade mit der ersten Aufgabe angefangen, jedoch verstehe ich bei der letzten Zeile etwas nicht so ganz:
$ [mm] 2^0 [/mm] + [mm] 2^1 [/mm] + [mm] 2^2 [/mm] + {....} + [mm] 2^k [/mm] + [mm] 2^{k+1} [/mm] = [mm] (2^{k+1}-1)+2^{k+1}=2\cdot{}2^{k+1} [/mm] - 1 = [mm] 2^{(k+1)+1}-1 [/mm] = [mm] 2^{k+2}-1 [/mm] $
Wie kommt man hier von [mm] 2\cdot{}2^{k+1} [/mm] - 1 auf [mm] 2^{(k+1)+1}-1
[/mm]
ich würde da jetzt einfach [mm] 4^{k+1} [/mm] - 1 aufschreiben woher taucht jetzt das [mm] 2^{(k+1)+1}-1 [/mm] auf :S
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Hallo melisa1,
> Hallo,
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> ich habe jetzt das gemacht, was du mir vorgeschlagen hast.
> Ich habe gerade mit der ersten Aufgabe angefangen, jedoch
> verstehe ich bei der letzten Zeile etwas nicht so ganz:
>
> [mm]2^0 + 2^1 + 2^2 + {....} + 2^k + 2^{k+1} = (2^{k+1}-1)+2^{k+1}=2\cdot{}2^{k+1} - 1 = 2^{(k+1)+1}-1 = 2^{k+2}-1[/mm]
>
> Wie kommt man hier von [mm]2\cdot{}2^{k+1}[/mm] - 1 auf
> [mm]2^{(k+1)+1}-1[/mm]
Na, durch Anwendung eines elementaren Potenzgesetzes: [mm] $a^m\cdot{}a^n=a^{m+n}$
[/mm]
Also [mm] $2\cdot{}2^{k+1}-1=2^1\cdot{}2^{k+1}-1=2^{k+1+1}-1=2^{(k+1)+1}-1$
[/mm]
>
> ich würde da jetzt einfach [mm]4^{k+1}[/mm] - 1 aufschreiben woher
> taucht jetzt das [mm]2^{(k+1)+1}-1[/mm] auf :S
Na, du musst schon im Auge behalten, was du zeigen willst, woraufhin du also steuerst.
Zu zeigen ist doch, dass für alle [mm] $\red{n}\in\IN$ [/mm] die Summe linkerhand sich schreiben lässt als [mm] $2^{\red{n}+1}-1$
[/mm]
Und dann ist im Induktionsschritt unter der gegebenen Induktionsvoraussetzung zu zeigen, dass für [mm] $\red{n=k+1}$ [/mm] sich die Summe [mm] $2^0+2^1+...+2^k+2^{k+1}$ [/mm] ebenso darstellen lässt, also als [mm] $2^{\red{k+1}+1}-1$ [/mm] und das ist [mm] $2^{(k+1)+1}-1$
[/mm]
Gruß
schachuzipus
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