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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:40 Do 06.12.2012 | | Autor: | silfide |
| Aufgabe | | Sei (X,d) ein metrischer Raum, A [mm] \subseteq [/mm] X vollständig. Dann ist A abgeschlossen. |
Hey Leute,
habe mir ne Lösung für die obige Aufgabe zusammengeschrieben und weiß nicht, ob ich das so machen kann und / oder ob noch etwas fehlt.
Beweis:
Sei (X,d) ein metrischer Raum, A [mm] \subseteq [/mm] X vollständig. Weiter sei a [mm] \in [/mm] X ein Häufungspunkt von A.
Dann exsistiert eine Folge die gegen a [mm] \in [/mm] X konvergiert.
Da diese Folge konvergent ist, ist sie eine Cauchyfolge und wegen der Vollständigkeit von A ist sie konvergent gegen einen Punkt b [mm] \in [/mm] A. Wegen der Eindeutigkeit des Grenzwertes, folgt a=b.
Also ist a [mm] \in [/mm] A und somit ist A abgeschlossen.
Kann bitte jemand drüber schauen und mir sagen, ob es stimmig ist oder mir Hinweise geben, wie ich es richtig machen kann....
Silfide
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:15 Fr 07.12.2012 | | Autor: | Marcel |
Hi silfide,
> Sei (X,d) ein metrischer Raum, A [mm]\subseteq[/mm] X vollständig.
> Dann ist A abgeschlossen.
>
>
>
> Hey Leute,
>
> habe mir ne Lösung für die obige Aufgabe
> zusammengeschrieben und weiß nicht, ob ich das so machen
> kann und / oder ob noch etwas fehlt.
>
> Beweis:
> Sei (X,d) ein metrischer Raum, A [mm]\subseteq[/mm] X vollständig.
> Weiter sei a [mm]\in[/mm] X ein Häufungspunkt von A.
warum betrachtest Du nur Häufungspunkte von [mm] $A\,$? [/mm]
> Dann [mm] ex$\red{\mathbf{\,\not}\text{s}}$istiert [/mm]
"existiert" - ohne das zusätzliche s nach dem x.
> eine Folge
Wichtig: Es existiert eine Folge in [mm] $A\,,$ [/mm] d.h. alle Folgenglieder sind
Elemente aus [mm] $A\,$
[/mm]
> die gegen a [mm]\in[/mm] X konvergiert.
> Da diese Folge konvergent ist, ist sie eine Cauchyfolge
> und wegen der Vollständigkeit von A ist sie konvergent
> gegen einen Punkt b [mm]\in[/mm] A. Wegen der Eindeutigkeit des
> Grenzwertes, folgt a=b.
>
> Also ist
wegen $b [mm] \in [/mm] A$ somit folglich
> a [mm]\in[/mm] A und somit ist A abgeschlossen.
>
> Kann bitte jemand drüber schauen und mir sagen, ob es
> stimmig ist oder mir Hinweise geben, wie ich es richtig
> machen kann....
Das ist absolut richtig. Und auch meine erste Frage kannst Du ja sicher
beantworten: Ich nehme an, dass ihr irgendwo stehen habt:
"$A [mm] \subseteq [/mm] X$ ist genau dann abgeschlossen, wenn alle
Häufungspunkte von [mm] $A\,$ [/mm] auch zu [mm] $A\,$ [/mm] gehören."
Deinen Beweis kannst Du also - mit der kleinen Ergänzung oben - so
lassen.
Ich hätte es anders gemacht, was aber im Endeffekt auch auf's gleiche
hinausläuft:
Es gilt: "$A [mm] \subseteq [/mm] X$ ist genau dann abgeschlossen, wenn für jede
Folge [mm] $(a_n) \in A^{\IN}\,,$ [/mm] die in [mm] $X\,$ [/mm] gegen ein $x [mm] \in [/mm] X$ konvergiert, folgt,
dass $x [mm] \in A\,.$"
[/mm]
Beweis:
Sei also [mm] $(a_n)_n$ [/mm] eine Folge mit [mm] $a_n \in [/mm] A [mm] \subseteq [/mm] X$ für alle [mm] $n\,,$ [/mm]
und es gelte [mm] $a_n \to [/mm] x$ für ein $x [mm] \in \red{X}\,.$ [/mm] Damit ist [mm] $(a_n)_n$ [/mm]
also insbesondere Cauchyfolge in [mm] $X\,,$ [/mm] denn sie ist in [mm] $X\,$ [/mm] konvergent.
Wegen $A [mm] \subseteq X\,,$ [/mm] und weil "die Metrik auf [mm] $A\,$ [/mm] 'die gleiche' ist,
wie die Metrik auf [mm] $X\,$" [/mm] (das ist nicht ganz korrekt: die Metrik auf [mm] $A\,$
[/mm]
ist ja die Metrik auf [mm] $X\,,$ [/mm] wenn man sie auf $A [mm] \times [/mm] A$ einschränkt!)
ist also [mm] $(a_n)_n$ [/mm] Cauchyfolge in [mm] $A\,.$ [/mm] Wegen der Vollständigkeit von
[mm] $A\,$ [/mm] folgt dann [mm] $a_n \to [/mm] a$ für ein $a [mm] \in A\,.$ [/mm] Im metrischen Raum
$(X,d)$ sind aber Grenzwerte eindeutig:
Aus $X [mm] \ni a_n \to [/mm] a [mm] \in [/mm] A [mm] \subseteq [/mm] X$ und $X [mm] \ni a_n \to [/mm] x [mm] \in [/mm] X$ folgt somit sodann [mm] $x=a\,$ [/mm]
und damit ergibt sich wegen $a [mm] \in [/mm] A$ sofort $x [mm] \in A\,,$ [/mm] wie gewünscht.
Wie gesagt: Das, was man machen will, ist minimal anders (verpackt),
aber die Art, wie man es macht, ist die gleiche wie bei Dir.
Von daher: Dein Beweis ist so, wenn Du nicht nur schreibst, dass eine
Folge existiert, die gegen [mm] $x\,$ [/mm] konvergiert, sondern an der Stelle
schreibst:
"Es existiert eine Folge in [mm] $\mathbf{\red{A}}\,,$ [/mm] die gegen [mm] $x\,$ [/mm] konvergiert"
absolut ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") !
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 07:17 Fr 07.12.2012 | | Autor: | silfide |
Hallo Marcel,
erstmal danke fürs Drüberschauen.
>
> > Sei (X,d) ein metrischer Raum, A [mm]\subseteq[/mm] X vollständig.
> > Dann ist A abgeschlossen.
> >
> >
> >
>
> warum betrachtest Du nur Häufungspunkte von [mm]A\,[/mm]?
Mmmh, bei uns im Skript steht:
Sei [mm] (a_{n})_{n\in\} [/mm] eine Folge in (X,d).
E [mm] \subseteq [/mm] X und a [mm] \in [/mm] X Häufungspunkt, von E, dann exsistiert eine konvergente Folge [mm] (a_{k})_{k \in \} [/mm] mit [mm] a_{k} \not= [/mm] a [mm] \in [/mm] E für alle k [mm] \in \IN [/mm] und [mm] \limes_{k\rightarrow\infty} a_{k}=a.
[/mm]
Deshalb kam ich auf Häufungspunkt... falsche Begründung??
>
> > Dann ex[mm]\red{\mathbf{\,\not}\text{s}}[/mm]istiert
>
> "existiert" - ohne das zusätzliche s nach dem x.
Weiß ich eigentlich, ist aber so ne Macke... mache ich ständig...
Silfide
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Hiho,
> > warum betrachtest Du nur Häufungspunkte von [mm]A\,[/mm]?
>
> Mmmh, bei uns im Skript steht:
> Sei [mm](a_{n})_{n\in\}[/mm] eine Folge in (X,d).
>
> E [mm]\subseteq[/mm] X und a [mm]\in[/mm] X Häufungspunkt, von E, dann
> exsistiert eine konvergente Folge [mm](a_{k})_{k \in \}[/mm] mit
> [mm]a_{k} \not=[/mm] a [mm]\in[/mm] E für alle k [mm]\in \IN[/mm] und
> [mm]\limes_{k\rightarrow\infty} a_{k}=a.[/mm]
>
> Deshalb kam ich auf Häufungspunkt... falsche Begründung??
in dem Fall ja.
Marcel wollte auf folgendes hinaus:
Du sollst ja die Abgeschlossenheit der Menge A zeigen.
Wieso betrachtest du dann einen beliebigen Häufungspunkt [mm] $a\in [/mm] A$?
Bisher hast du nur gezeigt, dass jeder Häufungspunkt in A auch zu A gehört. Du hast mit noch keiner Silbe erwähnt, warum A nun abgeschlossen sein sollte...
MFG,
Gono.
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:59 Fr 07.12.2012 | | Autor: | silfide |
> Hiho,
>
>
> > > warum betrachtest Du nur Häufungspunkte von [mm]A\,[/mm]?
> >
> > Mmmh, bei uns im Skript steht:
> > Sei [mm](a_{n})_{n\in\}[/mm] eine Folge in (X,d).
> >
> > E [mm]\subseteq[/mm] X und a [mm]\in[/mm] X Häufungspunkt, von E, dann
> > exsistiert eine konvergente Folge [mm](a_{k})_{k \in \}[/mm] mit
> > [mm]a_{k} \not=[/mm] a [mm]\in[/mm] E für alle k [mm]\in \IN[/mm] und
> > [mm]\limes_{k\rightarrow\infty} a_{k}=a.[/mm]
> >
> > Deshalb kam ich auf Häufungspunkt... falsche
> Begründung??
>
> in dem Fall ja.
>
> Marcel wollte auf folgendes hinaus:
> Du sollst ja die Abgeschlossenheit der Menge A zeigen.
> Wieso betrachtest du dann einen beliebigen Häufungspunkt
> [mm]a\in A[/mm]?
>
> Bisher hast du nur gezeigt, dass jeder Häufungspunkt in A
> auch zu A gehört. Du hast mit noch keiner Silbe erwähnt,
> warum A nun abgeschlossen sein sollte...
>
> MFG,
> Gono.
Hallo Gono,
teilweise bin ich verwirrt... teilweise entwirrt... komischer Zustand.
Ich denke, aber du hast Recht und Marcel auch...
Habe aber nochmal ins Skript geguckt und die entsprechende Definition (welche Marcel angesprochen hat) gefunden.
Sei (X,d) metrischer Raum und [mm] E\subseteqX
[/mm]
Menge E abgeschlossen in X, wenn jeder HP von E selbst in E liegt.
Wenn ich also den Satz noch "dazu packe". Bin ich dann fertig. Oder ist der Beweis, dann immer noch falsch??
Silfide
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:42 Fr 07.12.2012 | | Autor: | fred97 |
> > Hiho,
> >
> >
> > > > warum betrachtest Du nur Häufungspunkte von [mm]A\,[/mm]?
> > >
> > > Mmmh, bei uns im Skript steht:
> > > Sei [mm](a_{n})_{n\in\}[/mm] eine Folge in (X,d).
> > >
> > > E [mm]\subseteq[/mm] X und a [mm]\in[/mm] X Häufungspunkt, von E, dann
> > > exsistiert eine konvergente Folge [mm](a_{k})_{k \in \}[/mm] mit
> > > [mm]a_{k} \not=[/mm] a [mm]\in[/mm] E für alle k [mm]\in \IN[/mm] und
> > > [mm]\limes_{k\rightarrow\infty} a_{k}=a.[/mm]
> > >
> > > Deshalb kam ich auf Häufungspunkt... falsche
> > Begründung??
> >
> > in dem Fall ja.
> >
> > Marcel wollte auf folgendes hinaus:
> > Du sollst ja die Abgeschlossenheit der Menge A zeigen.
> > Wieso betrachtest du dann einen beliebigen
> Häufungspunkt
> > [mm]a\in A[/mm]?
> >
> > Bisher hast du nur gezeigt, dass jeder Häufungspunkt in A
> > auch zu A gehört. Du hast mit noch keiner Silbe erwähnt,
> > warum A nun abgeschlossen sein sollte...
> >
> > MFG,
> > Gono.
>
>
> Hallo Gono,
>
>
> teilweise bin ich verwirrt... teilweise entwirrt...
> komischer Zustand.
>
> Ich denke, aber du hast Recht und Marcel auch...
>
> Habe aber nochmal ins Skript geguckt und die entsprechende
> Definition (welche Marcel angesprochen hat) gefunden.
>
> Sei (X,d) metrischer Raum und [mm]E\subseteqX[/mm]
> Menge E abgeschlossen in X, wenn jeder HP von E selbst in
> E liegt.
>
> Wenn ich also den Satz noch "dazu packe". Bin ich dann
> fertig. Oder ist der Beweis, dann immer noch falsch??
Wenn Du den meinst, so ist er korrekt, bis auf die Stelle, die ich mit ++++++ gekennzeichnet habe. Da gehört noch hin: .... in A ...
"Beweis:
Sei (X,d) ein metrischer Raum, A $ [mm] \subseteq [/mm] $ X vollständig. Weiter sei a $ [mm] \in [/mm] $ X ein Häufungspunkt von A.
Dann exsistiert eine Folge ++++++ die gegen a $ [mm] \in [/mm] $ X konvergiert.
Da diese Folge konvergent ist, ist sie eine Cauchyfolge und wegen der Vollständigkeit von A ist sie konvergent gegen einen Punkt b $ [mm] \in [/mm] $ A. Wegen der Eindeutigkeit des Grenzwertes, folgt a=b.
Also ist a $ [mm] \in [/mm] $ A und somit ist A abgeschlossen."
FRED
>
> Silfide
>
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:01 Fr 07.12.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo Fred,
> > > Hiho,
> > >
> > >
> > > > > warum betrachtest Du nur Häufungspunkte von [mm]A\,[/mm]?
> > > >
> > > > Mmmh, bei uns im Skript steht:
> > > > Sei [mm](a_{n})_{n\in\}[/mm] eine Folge in (X,d).
> > > >
> > > > E [mm]\subseteq[/mm] X und a [mm]\in[/mm] X Häufungspunkt, von E, dann
> > > > exsistiert eine konvergente Folge [mm](a_{k})_{k \in \}[/mm] mit
> > > > [mm]a_{k} \not=[/mm] a [mm]\in[/mm] E für alle k [mm]\in \IN[/mm] und
> > > > [mm]\limes_{k\rightarrow\infty} a_{k}=a.[/mm]
> > > >
> > > > Deshalb kam ich auf Häufungspunkt... falsche
> > > Begründung??
> > >
> > > in dem Fall ja.
> > >
> > > Marcel wollte auf folgendes hinaus:
> > > Du sollst ja die Abgeschlossenheit der Menge A
> zeigen.
> > > Wieso betrachtest du dann einen beliebigen
> > Häufungspunkt
> > > [mm]a\in A[/mm]?
> > >
> > > Bisher hast du nur gezeigt, dass jeder Häufungspunkt in A
> > > auch zu A gehört. Du hast mit noch keiner Silbe erwähnt,
> > > warum A nun abgeschlossen sein sollte...
> > >
> > > MFG,
> > > Gono.
> >
> >
> > Hallo Gono,
> >
> >
> > teilweise bin ich verwirrt... teilweise entwirrt...
> > komischer Zustand.
> >
> > Ich denke, aber du hast Recht und Marcel auch...
> >
> > Habe aber nochmal ins Skript geguckt und die entsprechende
> > Definition (welche Marcel angesprochen hat) gefunden.
> >
> > Sei (X,d) metrischer Raum und [mm]E\subseteqX[/mm]
> > Menge E abgeschlossen in X, wenn jeder HP von E selbst
> in
> > E liegt.
> >
> > Wenn ich also den Satz noch "dazu packe". Bin ich dann
> > fertig. Oder ist der Beweis, dann immer noch falsch??
>
>
> Wenn Du den meinst, so ist er korrekt, bis auf die Stelle,
> die ich mit ++++++ gekennzeichnet habe. Da gehört noch
> hin: .... in A ...
>
> "Beweis:
> Sei (X,d) ein metrischer Raum, A [mm]\subseteq[/mm] X vollständig.
> Weiter sei a [mm]\in[/mm] X ein Häufungspunkt von A.
> Dann exsistiert eine Folge ++++++ die gegen a [mm]\in[/mm] X
> konvergiert.
> Da diese Folge konvergent ist, ist sie eine Cauchyfolge
> und wegen der Vollständigkeit von A ist sie konvergent
> gegen einen Punkt b [mm]\in[/mm] A. Wegen der Eindeutigkeit des
> Grenzwertes, folgt a=b.
>
> Also ist a [mm]\in[/mm] A und somit ist A abgeschlossen."
das kannst Du nicht wissen, wenn Du meinen Post nicht gelesen hast, aber
genau die Hinweise, die hier nun gegeben wurden, stehen eigentlich in
meiner Antwort drin.
Jetzt ist die Frage: Habe ich das so undeutlich geschrieben, oder hat
Silfide das überlesen?
Sollte das nicht klar aus meiner Antwort hervorgehen - ich weiß: ich
schreibe manchmal einfach zu viel des Guten, vor allem auch "drumherum" -
so sollte ich vielleicht nach meiner Antwort ein kurzes Fazit in Stichworten
packen?
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:58 Fr 07.12.2012 | | Autor: | silfide |
Hallo Marcel,
nein, du hast das super gemacht.
Hatte aber die Beweisidee auf einen Satz begründet, der hierfür nicht geeignet ist und Gono hat mich darauf hingewiesen... natürlich völlig korrekt... nur lasse ich mich von ihm öfter verwirren.
So dass ich dann meistens alles nochmal in Frage stelle...
Das mit der Gleichheit der Metrik habe ich nicht ganz verstanden... aber sonst... alles gut.
Brauche öfter bis es sackt...
Also danke!!
Silfide
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:05 So 09.12.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo Marcel,
>
> nein, du hast das super gemacht.
>
> Hatte aber die Beweisidee auf einen Satz begründet, der
> hierfür nicht geeignet ist und Gono hat mich darauf
> hingewiesen... natürlich völlig korrekt... nur lasse ich
> mich von ihm öfter verwirren.
>
> So dass ich dann meistens alles nochmal in Frage stelle...
>
>
> Das mit der Gleichheit der Metrik habe ich nicht ganz
> verstanden... aber sonst... alles gut.
sowas kennst Du, und das wird meist auch nicht "streng" notiert:
Sei [mm] $(G,\*)$ [/mm] Gruppe. Dann ist [mm] $(U,\*)$ [/mm] genau dann Untergruppe, wenn
... gelten (für die ... stehen da Untergruppenaxiome)!
Nun schau' mal genau hin: [mm] $\*$ [/mm] ist eine Abbildung [mm] $\*:\;G \times [/mm] G [mm] \to G\,.$
[/mm]
Für eine Abbildung gilt, dass sie für alle Elemente des Definitionsbereichs
definiert sein muss. Der Definitionsbereich von [mm] $\*$ [/mm] ist also $G [mm] \times G\,.$
[/mm]
In [mm] $U\,$ [/mm] müßte aber die Verknüpfung, nennen wir sie mal [mm] $\*_U\,,$ [/mm] auf
$U [mm] \times [/mm] U$ definiert sein:
[mm] $\*_U:\;U \times [/mm] U [mm] \to [/mm] U$
(In dem [mm] $\to [/mm] U$ steckt hier schon die Forderung
[mm] $$(\star)\;\;\;u_1 \*_{U} u_2 \in U\;\;\;\text{ für alle }u_1,\,u_2 \in [/mm] U$$
mit drin!)
Also kann man nicht mehr [mm] $\*_U:=\*$ [/mm] wählen,
denn die Abbildung [mm] $\*$ [/mm] linkerhand hat i.a. den "größeren"
Definitionsbereich $G [mm] \times G\,,$ [/mm] die Abbildug [mm] $\*_U$ [/mm] hat i.a. einen
anderen, nämlich $U [mm] \times U\,.$ [/mm] (Beachte: Abbildungen sind per
Definitionem genau dann gleich, wenn sie die folgenden drei
Eigenschaften haben: sie haben denselben Definitionsbereich, sie haben
denselben Zielbereich und sie stimmen an allen Stellen des
Definitionsbereichs miteinander überein!)
Man kann also, wie gesagt, nicht [mm] $\*_U:=\*$ [/mm] definieren. Was aber geht:
Man benutz [mm] $\*_U:=\*_{|U \times U}$ [/mm] (beachte: Aus $U [mm] \subseteq [/mm] G$
folgt $U [mm] \times [/mm] U [mm] \subseteq [/mm] G [mm] \times G\,,$ [/mm] und i.a. sagt man ja:
Ist $f: D [mm] \to [/mm] Z$ eine Abbildung, so heißt für $T [mm] \subseteq [/mm] D$ die Abbildung
[mm] $$f_{|T}: [/mm] T [mm] \to [/mm] Z [mm] \;\;\;\;\;\text{ mit } [/mm] T [mm] \ni [/mm] x [mm] \mapsto f_{|T}(x):=f(x) \in [/mm] Z$$
die Einschränkung von [mm] $f\,$ [/mm] auf [mm] $T\,.$)
[/mm]
Anders gesagt: Ist [mm] $(G,\*)$ [/mm] eine Gruppe, so ist strenggenommen nicht
[mm] $(U,\*)$ [/mm] eine Untergruppe, wenn die ... gelten, sondern es ist
[mm] $(U,\*_{|U \times U})$ [/mm] Untergruppe, wenn die ... gelten. Nur:
Bei der "Operation [mm] $\*$" [/mm] ändert sich ja in [mm] $U\,$ [/mm] eben nichts, wir rechnen
mit Elementen in [mm] $U\,$ [/mm] bzgl. [mm] $\*_{|U \times U}$ [/mm] genauso wie, wenn wir
(beachte $U [mm] \subseteq [/mm] G$) in [mm] $G\,$ [/mm] mit denen bzgl. [mm] $\*$ [/mm] rechnen.
Deswegen erspart man es sich, für die Untergruppe [mm] $(U,\*_{|U \times U})$
[/mm]
oder sowas zu schreiben, und schreibt "einfach" [mm] $(U,\*)$ [/mm] dafür.
Zusammengefasst:
Man sagt oft kurz, dass eine nichtleere Menge [mm] $G\,$ [/mm] mit [mm] $\*$ [/mm] eine Gruppe
sei, wenn gewisse Eigenschaften erfüllt sind. Für eine nichtleere Teilmenge
$U [mm] \subseteq [/mm] G$ sagt man dann, dass [mm] $U\,$ [/mm] mit [mm] $\*$ [/mm] versehen eine
Untergruppe sei, wenn ... .
Aber strenggenommen müßte da stehen, dass [mm] $U\,$ [/mm] nicht mit [mm] $\*$ [/mm]
versehen sei, sondern mit [mm] $\*_{|U \times U}\,.$ [/mm] Aber beachte:
Wenn [mm] $(G,\*)$ [/mm] Gruppe ist, dann wird i.a. nur [mm] $\*_{|U \times U}:\;U \times [/mm] U [mm] \to \red{G}$
[/mm]
gelten - d.h., wenn Du irgendwo liest:
... Untergruppe, wenn gilt:
(1) [mm] $\*_{|U \times U}:\;U \times [/mm] U [mm] \to \red{U}$
[/mm]
.
.
.
dann steckt in (1) in dem roten [mm] $\red{U}$ [/mm] die Forderung [mm] $(\star)$ [/mm] drin!
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Korrektur) kleiner Fehler  | | Datum: | 14:05 Fr 07.12.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo Gono,
> Hiho,
>
>
> > > warum betrachtest Du nur Häufungspunkte von [mm]A\,[/mm]?
> >
> > Mmmh, bei uns im Skript steht:
> > Sei [mm](a_{n})_{n\in\}[/mm] eine Folge in (X,d).
> >
> > E [mm]\subseteq[/mm] X und a [mm]\in[/mm] X Häufungspunkt, von E, dann
> > exsistiert eine konvergente Folge [mm](a_{k})_{k \in \}[/mm] mit
> > [mm]a_{k} \not=[/mm] a [mm]\in[/mm] E für alle k [mm]\in \IN[/mm] und
> > [mm]\limes_{k\rightarrow\infty} a_{k}=a.[/mm]
> >
> > Deshalb kam ich auf Häufungspunkt... falsche
> Begründung??
>
> in dem Fall ja.
>
> Marcel wollte auf folgendes hinaus:
> Du sollst ja die Abgeschlossenheit der Menge A zeigen.
> Wieso betrachtest du dann einen beliebigen Häufungspunkt
> [mm]a\in A[/mm]?
es ist schon blöd', dass ich das "als kleiner Fehler in der Antwort" markiere:
Aber sie betrachtet einen Häufungspunkt [mm] $a\,$ [/mm] von [mm] $A\,,$ [/mm] und dieser liegt
bei ihr - richtigerweise - auch erstmal in [mm] $X\,,$ [/mm] also nicht $a [mm] \in A\,,$ [/mm]
sondern $a [mm] \in X\,.$ [/mm]
Für einen Häufungspunkt $a [mm] \in [/mm] A$ zu zeigen, dass $a [mm] \in [/mm] A:$ Da braucht
man ja nun nix mehr zu zeigen. 
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Korrektur) richtig (detailiert geprüft)  | | Datum: | 20:57 Fr 07.12.2012 | | Autor: | Gonozal_IX |
Hallo Marcel,
du hast natürlich recht. Da war die Kurzschreibweise wieder schneller als der Kopf. Ein Häufungspunkt einer beliebigen Menge muss natürlich nicht notwendigerweise ein Element der Menge sein.
Vielen Dank für die Korrektur.
MFG,
Gono.
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