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Also die Aufgabe heißt so:
Für alle n ≥ 0 und alle reellen Zahlen q gilt:
[mm] \summe_{k=0}^{n} [/mm] a+kq = ((n+1) * (2a+nq) ) /2
Ich weiß, wie ich vorgehe. Ich mache den Beweis für A(1) und stelle dann A(n) => A(n+1) auf. Doch dann muss ich ja eine Gleichung aufstellen. Auf diese komme ich nicht. Wir haben es in der Vorlesung gemacht, aber da habe ich es noch nicht verstanden. Wie komme ich auf diese Gleichung?? Danle
# Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:32 So 30.10.2005 | | Autor: | Pollux |
Der Induktionsanfang ist klar:
Wenn du n=0 setzt steht auf beiden Seiten a=a, und das ist richtig.
Für den Schritt setzt du in deine Gleichung (n+1) erstmal ein und versuchst, deine Induktionsvoraussetzung einzubringen. Du hast dann die Summe von 0 bis n+1. Betrachte die Summe von 0 bis n, die kannst du durch deine Ind.Voraussetzung ersetzen. Der Rest sollte klar sein...
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Ich habe das jetzt mal so gemacht, wie du es gesagt hast.
Nun steht da:
[mm] \summe_{i=k}^{n+1} [/mm] (a) = ((n+2)*2a+q+qn)/2
Aber was nun??
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Hallo Eddie,
> Für alle n ≥ 0 und alle reellen Zahlen q, a gilt:
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> [mm]\summe_{k=0}^{n}[/mm] a+kq = ((n+1) * (2a+nq) ) /2
Es reicht zu zeigen, daß [mm] $\textstyle\sum_{k=0}^{n}{k} [/mm] = [mm] \frac{n\left(n+1\right)}{2}$ [/mm] ist, was mit vollständiger Induktion (oder direkt) geht (such mal ein Bißchen im Forum oder im Internet danach.) Hast Du das erstmal gezeigt, benutzt Du diese Beziehung:
[mm] $\sum_{k=0}^{n}{\left(a+kq\right)} [/mm] = [mm] \left(\sum_{k=0}^{n}{a}\right)+q\left(\sum_{k=0}^{n}{k}\right) [/mm] = [mm] \underbrace{a+\dotsb+a}_{n+1\text{ mal}}+q\heartsuit$
[/mm]
Für [mm] $\heartsuit$ [/mm] setzt Du die obige durch Induktion bewiese Beziehung ein; Jetzt nur noch in die passende Form bringen.
(Oder hat man euch diese Vorgehensweise explizit verboten?)
Viele Grüße
Karl
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Ich kann doch nicht einfach die Aufgabenstellung verändern...
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:24 So 30.10.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo Eddie!
Du veränderst ja die Aufgabenstellung nicht.
Du wendest lediglich einige Rechenregeln mit dem Summenzeichen an, so dass ich Karl's Tipp als legitim ansehe (es sei denn, es wurde ausdrücklich gemäß Aufgabenstellung untersagt).
Gruß
Loddar
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Naja aus a+kq wird auf einmal k. Aus 2a+nq wird n. Das verstehe ich nicht, warum ihr da einfach die Aufgabe so macht, wie ihr wollt.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:40 So 30.10.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo Eddie!
Machen wir das mal schrittweise ...
[mm] $\summe_{k=0}^{n}\left(a + k*q\right) [/mm] \ = \ [mm] \summe_{k=0}^{n}a [/mm] + [mm] \summe_{k=0}^{n}\left(k*q\right) [/mm] \ = \ [mm] \summe_{k=0}^{n}a [/mm] + [mm] q*\summe_{k=0}^{n}k$
[/mm]
Bis hierher haben wir lediglich das Summenzeichen in mehrere Summen(zeichen) zerlegt sowie das $q_$ vor das Summenzeichen gezogen (ausgeklammert).
Und nun betrachten wir uns die erste Summe etwas genauer.
Hier addieren wir insgesamt $n+1_$-mal ($k \ =\ 0, 1, 2, ..., n$) den Wert $a_$ auf. Es gilt also:
[mm] $\summe_{k=0}^{n}a [/mm] \ = \ [mm] \underbrace{a+ a+a +a ... + a}_{(n+1)-mal} [/mm] \ = \ (n+1)*a$
Und nun brauchst Du lediglich den Ausdruck [mm] $\summe_{k=0}^{n}k$ [/mm] betrachten bzw. nachzuweisen:
[mm] $\summe_{k=0}^{n}k [/mm] \ = \ 0 + 1 + 2 + 3 + ... + n \ = \ [mm] \bruch{n*(n+1)}{2}$
[/mm]
Gruß
Loddar
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