Vollständige Induktion < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
Hallo
Hab folgendes Beispiel:
[mm] a_{n+1}= \wurzel{3a_{n}-2} a_{0}=\bruch{3}{2} [/mm] man soll zeigen ob die Folge konvergent ist und den Grenzwert bestimmen.
1.Monotonie zu zeigen [mm] a_{n+1} \gea_{n}
[/mm]
[mm] \wurzel{3a_{n}-2}\gea_{n}
[/mm]
[mm] 3a_{n}-2\gea_{n}^{2}
[/mm]
0 [mm] \gea_{n}^{2}-3a_{n}+2 [/mm] ist wahr wenn [mm] a_{n} \in[1;2]
[/mm]
jetzt muss ich mit Induktion beweisen das [mm] a_{n} \le2 [/mm] und [mm] a_{n+1} \le2 [/mm] ist
Induktionsanfang für n=0
[mm] a_{0}=\bruch{3}{2}\le2 [/mm] wahr
Induktionsbehauptung
[mm] a_{n} \le2 [/mm] und [mm] a_{n+1} \le2
[/mm]
Induktionsschluss
[mm] a_{n+1}= \wurzel{3a_{n}-2}
[/mm]
[mm] a_{n+1}= \wurzel{3*2-2} [/mm] wegen [mm] a_{n} \le2
[/mm]
[mm] a_{n+1}= \wurzel{4}
[/mm]
[mm] a_{n+1}= [/mm] 2
und für [mm] a_{n}\ge1 [/mm] würde ich das analog machen
stimmt die Induktion so oder hab ich was falsch gemacht
Danke
Stevo
|
|
|
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]"){kind=small}
Richtig!
![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]"){kind=small}
Genau!
