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| Aufgabe | | Überprüfen Sie folgende Aussage durch vollständige Induktion |
Hi Leute,
ich habe soeben eine Aufgabe zur vollständigen Induktion gerechnet.
Könntet ihr bitte einen Blick darauf werfen, wo mein Fehler liegt? (Ich denke, dass am Ende das gleiche Ergebnis rauskommen sollte, was bei mir nicht der Fall ist).
https://www.dropbox.com/s/iqtng9mnx7qfo1m/Foto%2002.01.15%2015%2034%2056.jpg?dl=0
Besten Dank.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:05 Fr 02.01.2015 | | Autor: | Loddar |
Hallo Michi!
Bitte tippe Deine Rechnung in Zukunft hier direkt ab. Denn so wälzt Du diese Arbeit auf die Helfer ab.
Wie kommst Du gleich zu Beginn auf die Zeile: [mm] $\bruch{n^3}{6}-\bruch{n^2}{2}+\bruch{n}{3} [/mm] \ = \ [mm] \red{n}$ [/mm] ?
Das ist schlicht Unfug.
Forme den Term [mm] $\bruch{(n+1)^3}{6}-\bruch{(n+1)^2}{2}+\bruch{n+1}{3}$ [/mm] solagneg um, dass Du die Induktionsvoraussetzung anwenden kannst.
Gruß
Loddar
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Oh, entschuldige, das war nicht meine Absicht, die Arbeit auf die Helfer abzugeben. Werde ich in Zukunft über den Formeleditor schreiben.
Auf das n komme ich, da in der Aufgabe steht:
... ist eine natürliche Zahl. Daher habe ich darauf geschlossen, dass, wenn ich n schreibe dies als natürliche Zahl interpretiert wird?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:31 Fr 02.01.2015 | | Autor: | Loddar |
Hallo!
> Auf das n komme ich, da in der Aufgabe steht:
> ... ist eine natürliche Zahl. Daher habe ich darauf
> geschlossen, dass, wenn ich n schreibe dies als natürliche
> Zahl interpretiert wird?
Dann musst Du aber einen andere Variable verwenden, damit es hier nicht zu Verwechslungen mit der Induktionsvariable $n_$ kommt.
Gruß
Loddar
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Oh, das ist gut zu wissen.
Dann könnte ich zum Beispiel schreiben:
[mm] \bruch{n^3}{6} [/mm] - [mm] \bruch{n^2}{2} [/mm] + [mm] \bruch{n}{3} [/mm] = k ?
Dann stelle ich mir jetzt aber die Frage, wie ich den Induktionsanfang prüfen kann? Da ich hierzu ja Werte für n einsetze und auf der rechten Seite dann keinen Wert bekomme?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:43 Fr 02.01.2015 | | Autor: | Loddar |
Hallo Michi!
> Dann könnte ich zum Beispiel schreiben:
> [mm]\bruch{n^3}{6}[/mm] - [mm]\bruch{n^2}{2}[/mm] + [mm]\bruch{n}{3}[/mm] = k ?
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Dann stelle ich mir jetzt aber die Frage, wie ich den
> Induktionsanfang prüfen kann? Da ich hierzu ja Werte für
> n einsetze und auf der rechten Seite dann keinen Wert
> bekomme?
Der (konkrete) Wert für $k_$ ist ja uninteressant, da schlicht und einfach gelten soll $k \ [mm] \in [/mm] \ [mm] \IN$ [/mm] .
Gruß
Loddar
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Dann könnte ich jetzt wie gehabt fortfahren mit n ersetzen durch n+1 und das am Ende berechnen?
(Und natürlich zwischendurch auch einmal ein Dankeschön für deine Hilfe 
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:13 Fr 02.01.2015 | | Autor: | DieAcht |
Hallo Michi4590!
Du sollst die Induktionsvoraussetzung benutzen!
Es gelte für ein beliebiges, aber festes, [mm] n\in\IN_{\ge 3}
[/mm]
[mm] \left(\frac{n^3}{6}-\frac{n^2}{2}+\frac{n}{3}\right)\in\IN.
[/mm]
Nun ist damit zu zeigen, dass
[mm] \left(\frac{(n+1)^3}{6}-\frac{(n+1)^2}{2}+\frac{(n+1)}{3}\right)\in\IN.
[/mm]
Gruß
DieAcht
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Soll heißen, dass für n jetzt ein Wert größer oder gleich 3 eingesetzt wird und sobald eine natürliche Zahl rauskommt die Aufgabe bewiesen ist?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:49 Fr 02.01.2015 | | Autor: | Rocky14 |
Induktionsschluss n [mm] \to [/mm] n+1:
[mm] a_{n+1} [/mm]
= (n+1)/6 + [mm] (n+1)^2/2 [/mm] + [mm] (n+1)^3/3 [/mm]
= (n+1)/6 + [mm] (n^2+2n+1)/2 [/mm] + [mm] (n^3+3n^2+3n+1)/3
[/mm]
= n/6 + [mm] n^2/2 [/mm] + [mm] n^3/3 [/mm] + [mm] (6n+6n^2+6n)/6 [/mm] + 1/6 + 1/2 + 1/3
Induktionsvoraussetzung einsetzen
= [mm] a_{n} [/mm] + [mm] n^2 [/mm] + 2n + 1
Nach der Induktionsvoraussetzung ist [mm] a_{n} [/mm] eine natürliche Zahl.
Ausserdem sind wegen [mm] n\in \IN [/mm] auch [mm] n^2 [/mm] und 2n natürliche Zahlen.
Folglich ist auch [mm] a_{n+1} [/mm] eine natürliche Zahl, was zu beweisen war.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:52 Sa 03.01.2015 | | Autor: | Michi4590 |
Besten Dank an alle
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Ich muss dieses Thema leider noch einmal aufgreifen, da ich mit folgender Aussage nicht klar komme:
Induktionsvoraussetzung einsetzen
= [mm] a_{n} [/mm] + [mm] n^2 [/mm] + 2n + 1
Nach der Induktionsvoraussetzung ist [mm] a_{n} [/mm] eine natürliche Zahl.
Ausserdem sind wegen [mm] n\in \IN [/mm] auch [mm] n^2 [/mm] und 2n natürliche Zahlen.
Folglich ist auch [mm] a_{n+1} [/mm] eine natürliche Zahl, was zu beweisen war.
Bis zu oben genannten Punkt kann ich die Schritte nachvollziehen, danach würde ich bitte noch einmal Eure Hilfe benötigen.
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> Ich muss dieses Thema leider noch einmal aufgreifen, da ich
> mit folgender Aussage nicht klar komme:
>
> Induktionsvoraussetzung einsetzen
> = [mm]a_{n}[/mm] + [mm]n^2[/mm] + 2n + 1
>
> Nach der Induktionsvoraussetzung ist [mm]a_{n}[/mm] eine
> natürliche Zahl.
> Ausserdem sind wegen [mm]n\in \IN[/mm] auch [mm]n^2[/mm] und 2n
> natürliche Zahlen.
> Folglich ist auch [mm]a_{n+1}[/mm] eine natürliche Zahl, was zu
> beweisen war.
>
>
> Bis zu oben genannten Punkt kann ich die Schritte
> nachvollziehen, danach würde ich bitte noch einmal Eure
> Hilfe benötigen.
Hallo,
mir ist nicht ganz klar, wo Dein Problem liegt.
Verstehst Du nicht, weshalb man die Induktionsvoraussetzung einsetzt,
oder verstehst Du die darauffolgende Argumentation nicht?
Nochmal der Ablauf einer Induktion:
Man hat eine Aussage, die für alle [mm] n\in \IN [/mm] (oder für alles [mm] n\in \IN [/mm] mit [mm] n\ge [/mm] irgendeine Zahl) zu beweisen ist.
Die Induktion läuft in 3 Schritten:
1.
Im [u]Induktionsanfang[/] zeigt man, daß die Aussage für n=1 (bzw. für n= die erste Zahl, für die's gelten soll) gilt.
Damit hat man für die Kette, die anschließend aufgebaut wird, einen Anker geworfen.
2.
In der Induktionsvoraussetzung nimmt man an, daß die Aussage für ein festes n bewiesen wurde.
Man schreibt: "(Die Aussage)" gelte für ein [mm] n\in \IN. [/mm] (Bzw. "für ein festes [mm] n\in \IN [/mm] mit [mm] n\ge [/mm] die angegebene Zahl")
3.
Im Induktionsschluß rechnet man dann vor, daß unter der in 2. gemachten Voraussetzung die Aussage auch für die nächste natürliche Zahl, also für n+1 gilt.
Damit ist die Aussage dann bewiesen, denn:
man hat gezeigt, daß dsie für n=1 gilt.
Der Induktionsschluß garantiert, daß sie auch für n=2 gilt,
der Induktionsschluß garantiert nun, daß sie auch für n=3 gilt,
und wegen des Induktionsschlusses gilt sie deshalb auch für n=4 usw.
Nochmal Deine Aufgabe:
Du sollst zeigen, daß
[mm] \bruch{n^3}{6}-\bruch{n^2}{2}+\bruch{n}{3} [/mm] für jedes [mm] n\in \IN [/mm] mit [mm] n\ge [/mm] 3 eine natürliche Zahl ist.
1. Induktionsanfang: n=3
es ist [mm] \bruch{3^3}{6}-\bruch{3^2}{2}+\bruch{3}{3}=1,
[/mm]
[mm] 1\in \IN, [/mm] also ist der Induktionsanfang in trockenen Tüchern.
2. Induktionsvoraussetzung:
für ein [mm] n\in \IN [/mm] mit [mm] n\ge [/mm] 3 gelte, daß
[mm] \bruch{n^3}{6}-\bruch{n^2}{2}+\bruch{n}{3} [/mm] eine natürliche Zahl ist.
3. Induktionsschluß:
hier ist zu zeigen, daß unter der Voraussetzung 2. auch
[mm] \bruch{(n+1)^3}{6}-\bruch{(n+1)^2}{2}+^\bruch{(n+1)}{3}
[/mm]
eine natürliche Zahl ist.
Beweis:
es ist
[mm] \bruch{(n+1)^3}{6}-\bruch{(n+1)^2}{2}+\bruch{(n+1)}{3}
[/mm]
[mm] =\bruch{n^3+3n^2+3n+1}{6}-\bruch{n^2+2n+1}{2}+\bruch{n+1}{3}
[/mm]
[mm] =\bruch{n^3}{6}-\bruch{n^2}{2}+\bruch{n}{3} +\bruch{3n^2+3n+1}{6}-3\bruch{2n+1}{6}+\bruch{2}{6}
[/mm]
[mm] =\red{\bruch{n^3}{6}-\bruch{n^2}{2}+\bruch{n}{3} }+\blue{\bruch{1}{2}n(n-1)}
[/mm]
Ah, Rocky 14 hatte einen Fehler drin, weil er ein Pluszeichen hatte, wo ein Minus hingehört.
Vielleicht war ja das Dein Problen?
Jedenfalls geht es jetzt so weiter:
das rote ist nach Voraussetzung eine natürliche Zahl,
und das Blaue ist eine natürliche Zahl, weil entweder n-1 oder n gerade ist.
Also ist [mm] \bruch{(n+1)^3}{6}-\bruch{(n+1)^2}{2}+\bruch{(n+1)}{3} [/mm] eine natürliche Zahl,
und damit ist die Aussage bewiesen.
LG Angela
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:42 So 11.01.2015 | | Autor: | Michi4590 |
Vielen Dank
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> Induktionsschluss n [mm]\to[/mm] n+1:
> [mm]a_{n+1}[/mm]
> = (n+1)/6 [mm] \red{+}[/mm] [mm](n+1)^2/2[/mm] + [mm](n+1)^3/3[/mm]
Hallo,
an der markierten Stelle muß ein Minuszeichen stehen.
Dadurch ändern sich die Details in der Rechnung - was nichts daran ändert, daß Du das Prinzip richtig darstellst.
LG Angela
> = (n+1)/6 + [mm](n^2+2n+1)/2[/mm] + [mm](n^3+3n^2+3n+1)/3[/mm]
> = n/6 + [mm]n^2/2[/mm] + [mm]n^3/3[/mm] + [mm](6n+6n^2+6n)/6[/mm] + 1/6 + 1/2 + 1/3
> Induktionsvoraussetzung einsetzen
> = [mm]a_{n}[/mm] + [mm]n^2[/mm] + 2n + 1
>
> Nach der Induktionsvoraussetzung ist [mm]a_{n}[/mm] eine natürliche
> Zahl.
> Ausserdem sind wegen [mm]n\in \IN[/mm] auch [mm]n^2[/mm] und 2n natürliche
> Zahlen.
> Folglich ist auch [mm]a_{n+1}[/mm] eine natürliche Zahl, was zu
> beweisen war.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:07 Fr 02.01.2015 | | Autor: | Loddar |
Hallo!
Die obige Behauptung lässt sich auch schnell ohne vollständige Induktion nachweisen, da gilt:
[mm] $\bruch{n^3}{6}-\bruch{n^2}{2}+\bruch{n}{3} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{6}*(n-2)*(n-1)*n$
[/mm]
Nun benötigt man nur noch die Fallunterscheidung für $n_$ gerade bzw. ungerade.
Gruß
Loddar
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