matheraum.de
Raum für Mathematik
Offene Informations- und Nachhilfegemeinschaft

Für Schüler, Studenten, Lehrer, Mathematik-Interessierte.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Mathe
  Status Schulmathe
    Status Primarstufe
    Status Mathe Klassen 5-7
    Status Mathe Klassen 8-10
    Status Oberstufenmathe
    Status Mathe-Wettbewerbe
    Status Sonstiges
  Status Hochschulmathe
    Status Uni-Analysis
    Status Uni-Lin. Algebra
    Status Algebra+Zahlentheo.
    Status Diskrete Mathematik
    Status Fachdidaktik
    Status Finanz+Versicherung
    Status Logik+Mengenlehre
    Status Numerik
    Status Uni-Stochastik
    Status Topologie+Geometrie
    Status Uni-Sonstiges
  Status Mathe-Vorkurse
    Status Organisatorisches
    Status Schule
    Status Universität
  Status Mathe-Software
    Status Derive
    Status DynaGeo
    Status FunkyPlot
    Status GeoGebra
    Status LaTeX
    Status Maple
    Status MathCad
    Status Mathematica
    Status Matlab
    Status Maxima
    Status MuPad
    Status Taschenrechner

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Dt. Schulen im Ausland: Mathe-Seiten:Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
StartseiteMatheForenZahlentheorieVollständige Induktion
Foren für weitere Schulfächer findest Du auf www.vorhilfe.de z.B. Informatik • Physik • Technik • Biologie • Chemie
Forum "Zahlentheorie" - Vollständige Induktion
Vollständige Induktion < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Zahlentheorie"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Vollständige Induktion: Aufgabe
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:34 Mi 17.01.2018
Autor: LeFlair

Aufgabe
Zeigen Sie:
[mm] \summe_{i=0}^{n} \pmat{ i + k-1 \\ k - 1 } [/mm] = [mm] \pmat{ n + k \\ k } [/mm]  k,n [mm] \in \IN [/mm]

i) Induktionsanfang:

[mm] \summe_{i=0}^{0} \pmat{0 + k-1 \\ k - 1 } [/mm] = [mm] \pmat{ 0 + k \\ k } [/mm]
ist das richtig das für k keine 0 eingesetzt wird?
=
(0+k-1)! / [(0+k-1)!-(k-1)!] [mm] \* [/mm] (k-1)! = (0+k)! / [(0+k)!-k!] [mm] \* [/mm] k!

Ist das bis hier ohne Denkfehler? Ich trau mich nicht weiter zu machen, da ich das Gefühl habe Ich geh die Sache falsch an
Lieben Gruß

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
Bezug
Vollständige Induktion: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:14 Mi 17.01.2018
Autor: Diophant

Hallo,

> Zeigen Sie:
> [mm]\summe_{i=0}^{n} \pmat{ i + k-1 \\ k - 1 }[/mm] = [mm]\pmat{ n + k \\ k }[/mm]
> k,n [mm]\in \IN[/mm]
> i) Induktionsanfang:

>

> [mm]\summe_{i=0}^{0} \pmat{0 + k-1 \\ k - 1 }[/mm] = [mm]\pmat{ 0 + k \\ k }[/mm]

>

Das ist ein wenig knapp, aber richtig. Die Langversion wäre:

[mm] \sum_{i=0}^{0}{i+k-1 \choose k-1}={0+k-1 \choose k-1}={k-1 \choose k-1}=1={k \choose k}={0+k \choose k}\qquad\square [/mm]

> ist das richtig das für k keine 0 eingesetzt wird?

Ja. Die Laufvariable ist ja i, und es gibt hier nur einen Summanden, nämlich den für i=0.

> =
> (0+k-1)! / [(0+k-1)!-(k-1)!] [mm]\*[/mm] (k-1)! = (0+k)! /
> [(0+k)!-k!] [mm]\*[/mm] k!

Das hier kann man nicht verstehen, aber ich denke, es war ein Holzweg.

> Ist das bis hier ohne Denkfehler?

Der Induktionsanfang mit n=0 war schon die richtige Idee.

> Ich trau mich nicht
> weiter zu machen, da ich das Gefühl habe Ich geh die Sache
> falsch an

Nun, da hilft alles nix. Jetzt fängt der Spaß ja erst an! :-)

Für den Induktionsschluss n->n+1 musst du jetzt als obere Grenze für den Summationsindex n+1 setzen. Das ist erst einmal nicht schwierig, denn da setzt du rechts für n ebenfalls n+1 ein. Um jetzt die Induktionsvoraussetzung (also die zu beweisende Summe) ins Spiel zu bringen, musst du die Identität

[mm]{n \choose k}+{n \choose k+1}={n+1 \choose k+1}[/mm]

geschickt anwenden, damit am Ende bewiesen ist, dass

[mm] \sum_{i=0}^{n+1}{i+k-1 \choose k-1}=\sum_{i=0}^{n}{i+k-1 \choose k-1}+{n+1+k-1 \choose k-1}=\sum_{i=0}^{n}{i+k-1 \choose k-1}+{n+k \choose k-1} [/mm]

gilt.


Gruß, Diophant

Bezug
                
Bezug
Vollständige Induktion: Rückfrage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:00 Do 18.01.2018
Autor: LeFlair

Aufgabe
[mm] \pmat{ 0 + k -1 \\ k - 1 } [/mm]

nur zum Verständnis, im nächsten Schritt haben sie bereits [mm] \vektor{k-1 \\ k-1} [/mm]
stehen.
Theoretisch könnte ich doch Folgenden Zwischenschritt noch machen!? :
Bruch:
Zähler :  1 + k! -1
Nenner:  [mm] k!-1\*(1+k!-1-k!+1) [/mm]
welches dann zu k! / k! führt, was gleich 1 ist!?
oder wieder ein Holzweg?
Gruß LeFlair> Hallo,


Bezug
                        
Bezug
Vollständige Induktion: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:08 Do 18.01.2018
Autor: Diophant

Hallo,

> nur zum Verständnis, im
> nächsten Schritt haben sie bereits [mm]\vektor{k-1 \\ k-1}[/mm]

>

> stehen.
> Theoretisch könnte ich doch Folgenden Zwischenschritt noch
> machen!? :
> Bruch:
> Zähler : 1 + k! -1
> Nenner: [mm]k!-1\*(1+k!-1-k!+1)[/mm]
> welches dann zu k! / k! führt, was gleich 1 ist!?
> oder wieder ein Holzweg?

auch hier erschließt sich mir nicht wirklich, was du machst.

Der 'Holzweg' besteht schon darin, dass du offensichtlich der Meinung bist, die Definition des Binomialkoeffizienten

[mm]{n \choose k}= \frac{n!}{k!*(n-k)!}[/mm]

zu benötigen. Für den Induktionsanfang benötigt man diese Definition nicht. Und für den weiteren Beweis, also für den Induktionsschluss auch nicht (wenn die von mir oben angebene Identität schon eingeführt bzw. bewiesen ist, wovon an dieser Stelle ausgegangen werden kann).

Mache also irgendetwas zwischen deiner 'knappen Version' und meiner 'Langversion'.


Gruß, Diophant

Bezug
                                
Bezug
Vollständige Induktion: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:22 Do 18.01.2018
Autor: LeFlair


> Der 'Holzweg' besteht schon darin, dass du offensichtlich
> der Meinung bist, die Definition des Binomialkoeffizienten

Ich denke genau das war mein Fehler!
Links:
[mm] \summe_{i=}^{n+1} \pmat{ i + k - 1 \\ k - 1 } [/mm] =
[mm] \summe_{i=0}^{n} \pmat{ i + k - 1 \\ k - 1 } [/mm] + [mm] \pmat{ n + 1 + k - 1 \\ k - 1 } [/mm] = [mm] \pmat{ n + k \\ k } [/mm] + [mm] \pmat{ n + k \\ k - 1 } [/mm]
= [mm] \pmat{ n + 1 + k \\ k } [/mm]
Rechts:
[mm] \pmat{ n + 1 + k \\ k } \Box [/mm]

Richtig?
Ich Danke dir schonmal!
LG LeFlair

Bezug
                                        
Bezug
Vollständige Induktion: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:32 Do 18.01.2018
Autor: Diophant

Hallo,

> > Der 'Holzweg' besteht schon darin, dass du offensichtlich
> > der Meinung bist, die Definition des Binomialkoeffizienten

>

> Ich denke genau das war mein Fehler!
> Links:
> [mm]\summe_{i=}^{n+1} \pmat{ i + k - 1 \\ k - 1 }[/mm] =
> [mm]\summe_{i=0}^{n} \pmat{ i + k - 1 \\ k - 1 }[/mm] + [mm]\pmat{ n + 1 + k - 1 \\ k - 1 }[/mm]
> = [mm]\pmat{ n + k \\ k }[/mm] + [mm]\pmat{ n + k \\ k - 1 }[/mm]
> = [mm]\pmat{ n + 1 + k \\ k }[/mm]

>

> Rechts:
> [mm]\pmat{ n + 1 + k \\ k } \Box[/mm]

>

> Richtig?

Ja, richtig! [ok]

(Das TeXen übst du noch ein bissschen? ;-) )

> Ich Danke dir schonmal!

Gern geschehen. Jetzt weißt du ja eine Adresse für alle weiteren mathematischen Anliegen. :-)


Gruß, Diophant

Bezug
                                                
Bezug
Vollständige Induktion: Danke!
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 15:36 Do 18.01.2018
Autor: LeFlair

Hallo,
> (Das TeXen übst du noch ein bissschen? ;-) )

Wie meinst du das?

> Gern geschehen. Jetzt weißt du ja eine Adresse für alle
> weiteren mathematischen Anliegen. :-)

Gerne komm ich Drauf zurück!
Hast mir wirklich weiterholfen! Super Forum hier!

Danke Danke Danke! :D

Bezug
                                                        
Bezug
Vollständige Induktion: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 15:41 Do 18.01.2018
Autor: Diophant

Hallo,

> > (Das TeXen übst du noch ein bissschen? ;-) )
> Wie meinst du das?

[]LaTeX. Das Textsatzsystem schlechthin, daher basiert die Darstellung mathematischer Notationen hier im Forum auch darauf.
Für die Mathematik und insbesondere für ein Studium unverzichtbar. Je schneller man das beherrscht, desto besser.


Gruß, Diophant

Bezug
        
Bezug
Vollständige Induktion: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:39 Do 18.01.2018
Autor: sven1

Ich habe in verschiedenen Studiengänge [mm] $\IN$ [/mm] anders definiert gesehen, aber in der Regel sollte [mm] $\IN [/mm] := [mm] \{1, 2, \ldots \}$ [/mm] ab 1 erst anfangen. Daher schreiben die meisten [mm] $\IN_0 [/mm] := [mm] \{0, 1, ,2, \ldots \}$. [/mm]
Dafür spricht außerdem noch, dass viele den Binomialkoeffizient ohne negative Zahlen definiert haben. Würde $k [mm] \in \IN_0$ [/mm] sein, dann könntest du einen negativen Binomialkoeffizient haben, möglicherweise habt ihr das nicht so definiert.
Dazu müsstest du in deinen Unterlagen mal nachschauen wie ihr [mm] $\IN$ [/mm] definiert habt.

Ich würde ab $1$ anfangen, also $k = 1$ oder $n=1$, je nachdem nach welcher Variablen du die Induktion durchführen möchtest.

Bezug
                
Bezug
Vollständige Induktion: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 15:45 Do 18.01.2018
Autor: Diophant

Hallo sven1,

> Ich habe in verschiedenen Studiengänge [mm]\IN[/mm] anders
> definiert gesehen, aber in der Regel sollte [mm]\IN := \{1, 2, \ldots \}[/mm]
> ab 1 erst anfangen. Daher schreiben die meisten [mm]\IN_0 := \{0, 1, ,2, \ldots \}[/mm].

>

Nein, in der Mathematik wird das uneinheitlich gehandhabt, da gibt es auch innerhalb der Fachgebiete unterschiedliche Geschmäcker. In Algebra und Zahlentheorie bspw. würde ich dir Recht geben, aber im Zusammenhang mit Fakultät&Binomialkoeffizient ist es schon üblich, dass die Null zu den natürlichen zahlen gehört.

> Dafür spricht außerdem noch, dass viele den
> Binomialkoeffizient ohne negative Zahlen definiert haben.
> Würde [mm]k \in \IN_0[/mm] sein, dann könntest du einen negativen
> Binomialkoeffizient haben, möglicherweise habt ihr das
> nicht so definiert.
> Dazu müsstest du in deinen Unterlagen mal nachschauen wie
> ihr [mm]\IN[/mm] definiert habt.

>

Ja, da ist die Aufgabenstellung halt etwas verunglückt, da hätte man noch [mm] k\ge{1} [/mm] zusätzlich fordern müssen.


Gruß, Diophant

Bezug
                        
Bezug
Vollständige Induktion: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 15:53 Do 18.01.2018
Autor: sven1

Achso, ich muss sagen, dass ich in meinem Bachelor und anschließend im Master in Mathematik fast nur in der Algebra/Zahlentheorie Zuhause war, deswegen war die Notation ohne die $0$ üblicher bzw. fast immer gebräuchlich. Ich habe jedoch auch Informatik studiert und da ist die Notation mit der $0$ üblicher. Mich hat es immer genervt, dass irgendwie kein gemeinsamer Konsens herrscht, aber persönlich finde ich die Notation ohne die $0$ auch schöner und praktischer.

Ich hatte die Mitteilung nur gemacht, damit er das zur Sicherheit nachprüft wie es bei ihnen definiert ist. :)

Bezug
                                
Bezug
Vollständige Induktion: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:01 Do 18.01.2018
Autor: Diophant

Hallo nochmals,

danke für deinen Hinweis! Es hat sich ja herausgestellt, dass er berechtigt war. :-)


Gruß, Diophant

Bezug
                
Bezug
Vollständige Induktion: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 15:50 Do 18.01.2018
Autor: LeFlair


Unser Prof Definiert [mm] \IN [/mm] := [mm] \{1,2,3...\} [/mm] also ohne die 0.


Bezug
                        
Bezug
Vollständige Induktion: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 15:56 Do 18.01.2018
Autor: sven1

Dann kannst du die Lösung beibehalten, nur sollte im Induktionsschritt das ganze bei $1$ anstelle von $0$ anfangen.

Bezug
                        
Bezug
Vollständige Induktion: I.-Anfang für n=1
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 15:59 Do 18.01.2018
Autor: Diophant

Hallo LeFlair,

> Unser Prof Definiert [mm]\IN[/mm] := [mm]\{1,2,3...\}[/mm] also ohne die 0.

Ok. Dann lag ich falsch und liefere hiermit den Induktionsanfang für n=1 noch nach:

[mm]\begin{aligned} \sum_{i=0}^{1}{i+k-1 \choose k-1}&={k-1 \choose k-1}+{k \choose k-1}\\ &={k \choose k}+{k \choose k-1}\\ &={1+k \choose k} \end{aligned} [/mm]


Gruß, Diophant

Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Zahlentheorie"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


Alle Foren
Status vor 2h 23m 6. Gonozal_IX
UAnaR1Funk/L Beweis ohne Logarithmusdef.
Status vor 2h 44m 1. alex1992
UStoc/Beweis Signifikanzniveau
Status vor 7h 37m 1. Kian
USons/Punktwolken vergleichen?
Status vor 8h 48m 2. Diophant
ZahlTheo/Diophantische Gleichung 3 Var
Status vor 10h 04m 7. Annkristin
IntTheo/mehrdim. part. Int., Doppelint
^ Seitenanfang ^
www.matheraum.de
[ Startseite | Forum | Wissen | Kurse | Mitglieder | Team | Impressum ]