matheraum.de
Raum für Mathematik
Offene Informations- und Nachhilfegemeinschaft

Für Schüler, Studenten, Lehrer, Mathematik-Interessierte.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Mathe
  Status Schulmathe
    Status Primarstufe
    Status Mathe Klassen 5-7
    Status Mathe Klassen 8-10
    Status Oberstufenmathe
    Status Mathe-Wettbewerbe
    Status Sonstiges
  Status Hochschulmathe
    Status Uni-Analysis
    Status Uni-Lin. Algebra
    Status Algebra+Zahlentheo.
    Status Diskrete Mathematik
    Status Fachdidaktik
    Status Finanz+Versicherung
    Status Logik+Mengenlehre
    Status Numerik
    Status Uni-Stochastik
    Status Topologie+Geometrie
    Status Uni-Sonstiges
  Status Mathe-Vorkurse
    Status Organisatorisches
    Status Schule
    Status Universität
  Status Mathe-Software
    Status Derive
    Status DynaGeo
    Status FunkyPlot
    Status GeoGebra
    Status LaTeX
    Status Maple
    Status MathCad
    Status Mathematica
    Status Matlab
    Status Maxima
    Status MuPad
    Status Taschenrechner

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Dt. Schulen im Ausland: Mathe-Seiten:Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
StartseiteMatheForenDiskrete MathematikVollständige Induktion
Foren für weitere Schulfächer findest Du auf www.vorhilfe.de z.B. Philosophie • Religion • Kunst • Musik • Sport • Pädagogik
Forum "Diskrete Mathematik" - Vollständige Induktion
Vollständige Induktion < Diskrete Mathematik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Diskrete Mathematik"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Vollständige Induktion: Tipp zur Lösung
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:28 Do 14.09.2006
Autor: Binky

Aufgabe
Beweisen Sie mit vollständiger Induktion.
Für alle n [mm] \in \IN [/mm] gilt [mm] \summe_{i=1}^{n} [/mm] i/((i+1)!) = 1- (1/((n+1)!))

Also dann,
soweit bin ich bisher:

1. [mm] \summe_{i=1}^{1} [/mm] i/((i+1)!) = 1-(1/((1+1)!) = 1/2

2. Wenn [mm] \summe_{i=1}^{n} [/mm] i/((i+1)!) = 1-(1/((n+1)!) so ist [mm] \summe_{i=1}^{n+1} [/mm] i/((i+1)!) = 1-(1/((n+1+1)!)
da [mm] \summe_{i=1}^{1} [/mm] i/((i+1)!) = 1/2 = 1-(1/((1+1)!) = 1/2   1. ist somit erfüllt.

Bei 2 tue ich mich schwer.

Bisher bin ich bei

[mm] \summe_{i=1}^{n+1} [/mm] i/((i+1)!) = [mm] \summe_{i=1}^{n} [/mm] ...
Wie kann ich also den zweiten Beweis führen? Irgendwie muss ich das doch für [mm] \summe_{i=1}^{n} [/mm] darstellen können aber ich bin mir nicht sicher wie ich das umformen kann.
Zudem die Frage: Ist die vollständige Induktion soweit richtig und ist sie nach dem Beweis von 2. abgeschlossen? Ich bin der Meinung ja aber lasse mich gerne eines Besseren belehren.

Gruß
Alex

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
Bezug
Vollständige Induktion: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:12 Do 14.09.2006
Autor: AlthePal

Hallo.

Hier nocheinmal das Prinzip der vollst. Induktion:

Um den Wahrheitsgehalt einer Folge von Aussagen A1, A1, ... zu beweisen geht man in zwei Schritten vor:

1.) Man zeigt, dass An für ein n [mm] \in \mathbb{N} [/mm] gilt. Z.B. n=1. (Das hast du richtig gemacht. Wobei man es wohl eher so aufschreiben würde:
[mm] \summe_{i=1}^{1} {i \over (i+1)!} = {1 \over (1+1)!} = 1/2 = 1 - 1/2 = 1 - {1 \over (1+1)! [/mm] )

2.) Man zeigt, dass A(n+1) wahr ist, angenommen es gibt irgendein n [mm] \in \mathbb{N} [/mm] , sodass An wahr ist.

Wenn man das gemacht hat, ist man fertig, denn da ja nach 1.) A1 wahr ist , ist nach 2.) A(1+1) = A2 wahr und nach 2.) somit auch A(2+1) = A3, usw. .. Also für alle An mit n [mm] \in \mathbb{N} [/mm].

Zur Aufgabe:

Zu 2.) musst du zeigen, dass

[mm] \summe_{i=1}^{n+1} {i \over (i+1)!} = 1 - {1 \over (n+2)!} [/mm] gilt, unter der Annahme, dass

[mm] \summe_{i=1}^{n} {i \over (i+1)!} = 1 - {1 \over (n+1)!} [/mm] gilt. Das ist die Induktionsvorrausetzung (I.V.).

Du fängst also an mit

[mm] \summe_{i=1}^{n+1} {i \over (i+1)!} [/mm] und versuchst mit der I.V. auf

[mm] 1 - {1 \over (n+2)!} [/mm] zu kommen.

Also [mm] \summe_{i=1}^{n+1} {i \over (i+1)!} = {\color{Red} \summe_{i=1}^{n} {i \over (i+1)!}} + {n+1 \over (n+2)!} [/mm]

jetzt musst du noch für das rote die I.V. anwenden, und dann dürfte es nicht mehr alzu schwer sein. ;)

Gruß,

AlthePal

Bezug
                
Bezug
Vollständige Induktion: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:02 Do 14.09.2006
Autor: Binky

Danke schon mal für die Antwort.
Wollte das auch eigentlich so schreiben. Aber ich lern dazu :-)

$ [mm] \summe_{i=1}^{n+1} [/mm] {i [mm] \over [/mm] (i+1)!} = [mm] {\color{Red} \summe_{i=1}^{n} {i \over (i+1)!}} [/mm] + {n+1 [mm] \over [/mm] (n+2)!} $

Wie komme ich denn da auf ${n+1 [mm] \over [/mm] (n+2)!}$

Mir macht da glaub ich nicht nur das Verständnis sondern auch die Fakultät zu schaffen. Kannst du mir das mal mit Zischenschritten verdeutlichen. Ich steh ein wenig auf dem Schlauch.

Gruß
Alex


Bezug
                        
Bezug
Vollständige Induktion: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:55 Do 14.09.2006
Autor: ullim

Also mal ganz genau,

[mm] \summe_{i=1}^{n+1}\bruch{i}{(i+1)!} [/mm] = [mm] \summe_{i=1}^{n}\bruch{i}{(i+1)!} [/mm] + [mm] \bruch{n+1}{(n+2)!} [/mm]

der letzte Term entsteht durch berechnen der Summe bis n und anschließendem summieren des (n+1) Terms der Summe. [mm] \Rightarrow [/mm] nach IV

[mm] \summe_{i=1}^{n+1} [/mm] = 1 - [mm] \bruch{1}{(n+1)!} [/mm] +  [mm] \bruch{n+1}{(n+2)!} [/mm]

Erweitern des mittleren Terms mit (n + 2) ergibt

[mm] \summe_{i=1}^{n+1} [/mm] = 1 - [mm] \bruch{n+2}{(n+2)!} [/mm] +  [mm] \bruch{n+1}{(n+2)!} [/mm] weil

(n + 1)!*(n + 2) = (n + 2)! gilt [mm] \Rightarrow [/mm]

[mm] \summe_{i=1}^{n+1} [/mm] = 1 - [mm] \bruch{n + 2 - n - 1}{(n + 2)!} \Rightarrow [/mm]

[mm] \summe_{i=1}^{n+1} [/mm] = 1 - [mm] \bruch{1}{(n + 2)!} [/mm]

und das war zu beweisen.




Bezug
                                
Bezug
Vollständige Induktion: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 23:14 Do 14.09.2006
Autor: Binky

klingeling. da ist grad ein riesen Groschen gefallen.
Danke nochmals.
Jetzt ist alles klar.

Gruß
Alex

Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Diskrete Mathematik"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


Alle Foren
Status vor 4h 08m 3. TS85
MaßTheo/Sigma-Algebra = P(X)
Status vor 21h 56m 8. Gonozal_IX
MaßTheo/Beweis Sigma-Algebra
Status vor 1d 20h 39m 6. hohohaha1234
USons/Größtmöglichstes Produkt
Status vor 2d 2. matux MR Agent
Mathematica/parametrischen Plot
Status vor 2d 3. Gonozal_IX
UAuslg/Log. Äquivl. vs. log. Schluss
^ Seitenanfang ^
www.matheraum.de
[ Startseite | Forum | Wissen | Kurse | Mitglieder | Team | Impressum ]