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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:04 Mi 18.10.2006 | | Autor: | jule0007 |
Ich habe eine Übungsserie bekommen in der ich die vollständige Induktion anwenden soll. Bei Summen kann ich das, nur bei Produkten komm ich nicht weiter und dann auch noch ne Ungleichung
So ähnlich sieht die Aufgabe aus:
1/2 * 3/4 * 5/6 ... (2n-1)/2n < [mm] 1/\wurzel{2n+1}
[/mm]
Danke für die Hilfe
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
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> So ähnlich sieht die Aufgabe aus:
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> 1/2 * 3/4 * 5/6 ... (2n-1)/2n < [mm]1/\wurzel{2n+1}[/mm]
Hallo,
es kommt in der Mathematik schon darauf an, wie die Aufgabe genau aussieht...
Oft gibt es Voraussetzungen, die nicht unwesentlich sind.
Aber in diesem Fall kann ich mir schon vorstellen, was zu zeigen ist.
Nämlich obiges per vollständiger Induktion.
Ob Du eine Summe oder ein Produkt hast, macht vielleicht einen psychologischen Unterschied, aber ansonsten ist es völlig schnuppe.
Mach es wie immer:
Induktionsanfang mit n=1. das hast Du sicher schon getan.
So. Zu zeigen ist jetzt, daß unter der Voraussetzung, daß obiges für alle n gilt, es auch für n+1 gilt,
also der Schluß von n [mm] \to [/mm] n+1 .
also ist zu zeigen, daß wenn 1/2 * 3/4 * 5/6 ... (2n-1)/2n < [mm]1/\wurzel{2n+1}[/mm] f.a. n gilt,
1/2 * 3/4 * 5/6 ... (2n-1)/2n* (2(n+1)-1)/2(n+1) < [mm]1/\wurzel{2(n+1)+1}[/mm] gilt.
Auf geht's:
1/2 * 3/4 * 5/6 ... (2n-1)/2n* (2(n+1)-1)/2(n+1)
= (1/2 * 3/4 * 5/6 ... (2n-1)/2n) * (2(n+1)-1)/2(n+1)
Den blauen Teil kannst Du durch Deine Voraussetzung abschätzen:
< [mm]1/\wurzel{2n+1}[/mm] *(2(n+1)-1)/2(n+1)
Dies mußt Du jetzt so zurechtbiegen, also abschätzen, daß schließlich
< ... < ... < [mm]1/\wurzel{2(n+1)+1}[/mm] dasteht.
Ich hab's eben auf Papier gemacht, und ich konnte dafür gut gebrauchen, daß (2n+1)(2n+3)< [mm] (2n+2)^2 [/mm] ist, vielleicht nützt das auch Dir.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:05 Do 19.10.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo Angela,
Du hast dich verschrievben. der faktor ist nicht [mm] \bruch{2(n+1)}{2(n+1)} [/mm] sondern [mm] \bruch{2n+1}{2(n+1)}
[/mm]
Gruss leduart
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Danke! Ich hab's verbessert.
Gruß v. Angela
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