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Forum "Induktionsbeweise" - Vollständige Induktion
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Vollständige Induktion: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:10 So 11.03.2007
Autor: Tea

Aufgabe
[mm] 1+\bruch{1}{2}+\bruch{1}{4}+\ldots+\bruch{1}{2^n}= 2-\bruch{1}{2^n} [/mm]

[mm] \forall [/mm] n [mm] \in \IN [/mm]

beweise mit vollständiger Induktion.

Also...

der Induktionsanfang ist ja

\ n=1:

[mm] \(1+\bruch{1}{(2^n)}=2-\bruch{1}{(2^n)} [/mm]

[mm] \(1+\bruch{1}{2^1}=2-\bruch{1}{2^1} [/mm] .


Der Induktionsschluss, dass es für  [mm] n\ge1 [/mm] gilt.


Also komme ich auf die Induktionsbedingung
[mm] 1+\bruch{1}{2}+\bruch{1}{4}+\ldots+\bruch{1}{(2^n)*2}= 2-\bruch{1}{(2^n)*2} [/mm]

Die ich nach "mit 2 Multiplizieren" zu
[mm] 1+\bruch{1}{2}+\bruch{1}{4}+\ldots+\bruch{1}{2^n}= 2-\bruch{1}{2^n} [/mm]
umforme.

Und nun? Irgendwie weiß ich auch gar nicht so recht was ich da gemacht habe bzw. ob das was ich gemacht habe Sinn macht?!
Jetzt steht 2mal das gleiche da oder? ;-)
        
Bezug
Vollständige Induktion: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:23 So 11.03.2007
Autor: schachuzipus


> [mm]1+\bruch{1}{2}+\bruch{1}{4}+\ldots+\bruch{1}{2^n}= 2-\bruch{1}{2^n}[/mm]
>  
> [mm]\forall[/mm] n [mm]\in \IN[/mm]
>  beweise mit vollständiger Induktion.
>  
> Also...
>  
> der Induktionsanfang ist ja
>  
> \ n=1:
>  
> [mm]\(1+\bruch{1}{(2^n)}=2-\bruch{1}{(2^n)}[/mm]
>  
> [mm]\(1+\bruch{1}{2^1}=2-\bruch{1}{2^1}[/mm] . [daumenhoch]
>  
>
> Der Induktionsschluss, dass es für  [mm]n\ge1[/mm] gilt. [notok]

Der Induktionsschluss ist, dass WENN es für ein beliebiges, aber festes [mm] n\ge [/mm] 1 gilt, es DANN auch für n+1 gilt


>  
>
> Also komme ich auf die Induktionsbedingung
>  [mm]1+\bruch{1}{2}+\bruch{1}{4}+\ldots+\bruch{1}{(2^n)*2}= 2-\bruch{1}{(2^n)*2}[/mm] [notok]
>  
> Die ich nach "mit 2 Multiplizieren" zu   [mm] \text{Obacht!!} [/mm]
> [mm]1+\bruch{1}{2}+\bruch{1}{4}+\ldots+\bruch{1}{2^n}= 2-\bruch{1}{2^n}[/mm]
>  
> umforme.
>  
> Und nun? Irgendwie weiß ich auch gar nicht so recht was ich
> da gemacht habe bzw. ob das was ich gemacht habe Sinn
> macht?!
> Jetzt steht 2mal das gleiche da oder? ;-)


Hallo erstmal,  [winken]

Da stimmt was mit dem Induktionsschritt nicht.

Also du hast die Induktionsvoraussetzung (IV):

Sei [mm] n\in\IN (n\ge [/mm] 1) und gelte [mm] 1+\bruch{1}{2}+\bruch{1}{2^2}+.....+\bruch{1}{2^n}=2-\bruch{1}{2^n} [/mm]

Nun musst du zeigen, dass [mm] \bold{dann} [/mm] auch gilt:

[mm] 1+\bruch{1}{2}+\bruch{1}{2^2}+.....+\bruch{1}{2^n}+\bruch{1}{2^{n+1}}=2-\bruch{1}{2^{n+1}} [/mm]

Also fangen wir mit der linken Seite an:

[mm] 1+\bruch{1}{2}+\bruch{1}{2^2}+.....+\bruch{1}{2^n}+\bruch{1}{2^{n+1}}=\left(1+\bruch{1}{2}+\bruch{1}{2^2}+.....+\bruch{1}{2^n}\right)+\bruch{1}{2^{n+1}} [/mm]

[mm] \underbrace{=}_{IV}\left(2-\bruch{1}{2^n}\right)+\bruch{1}{2^{n+1}}=\left(2-\bruch{2}{2\cdot{2^n}}\right)+\bruch{1}{2^{n+1}}=...... [/mm]


Kommste damit ans Ziel?


Gruß

schachuzipus

Bezug
                
Bezug
Vollständige Induktion: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:59 So 11.03.2007
Autor: Tea

Hallo schachuzipus  [winken] !

Erstmal vielen Dank für deine Tipps


Oha! ich hab da wohl einiges falsch verstanden. Mir ist auch grade klar geworden dass das was ich machen wollte generell keinen Sinn macht weil ich eigentlich ja wieder zurückrechne und nichts beweise.

>Also fangen wir mit der linken Seite an:

>$ [mm] 1+\bruch{1}{2}+\bruch{1}{2^2}+.....+\bruch{1}{2^n}+\bruch{1}{2^{n+1}}=\left(1+\bruch{1}{2}+\bruch{1}{2^2}+.....+\bruch{1}{2^n}\right)+\bruch{1}{2^{n+1}} [/mm] $

>$ [mm] \underbrace{=}_{IV}\left(2-\bruch{1}{2^n}\right)+\bruch{1}{2^{n+1}}=\left(2-\bruch{2}{2\cdot{2^n}}\right)+\bruch{1}{2^{n+1}}=...... [/mm] $


>Kommste damit ans Ziel?


Naja, ich werde mir die Geschichte auf jeden Fall nachher nochmal angucken.So ganz spontan würde ich jetzt versuchen die linke Seite, die du ja schon zu >$ [mm] \left(2-\bruch{2}{2\cdot{2^n}}\right)+\bruch{1}{2^{n+1}}=...... [/mm] $
ungeformt hast zur rechten Seite zu machen

Also

[mm] \left(2-\bruch{2}{2\cdot{2^n}}\right)+\bruch{1}{2^{n+1}}= \2-\bruch{2}{2*2^n}+\bruch{1}{2^{n+1}}=2-\bruch{1}{2*2^n}=2-\bruch{1}{2^{n+1}} [/mm]
oder was in der Richtung ...


Bezug
                        
Bezug
Vollständige Induktion: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:02 So 11.03.2007
Autor: schachuzipus


> Hallo schachuzipus  [winken] !
>  
> Erstmal vielen Dank für deine Tipps
>  
>
> Oha! ich hab da wohl einiges falsch verstanden. Mir ist
> auch grade klar geworden dass das was ich machen wollte
> generell keinen Sinn macht weil ich eigentlich ja wieder
> zurückrechne und nichts beweise.
>  
> >Also fangen wir mit der linken Seite an:
>  
> >[mm] 1+\bruch{1}{2}+\bruch{1}{2^2}+.....+\bruch{1}{2^n}+\bruch{1}{2^{n+1}}=\left(1+\bruch{1}{2}+\bruch{1}{2^2}+.....+\bruch{1}{2^n}\right)+\bruch{1}{2^{n+1}}[/mm]
>  
> >[mm] \underbrace{=}_{IV}\left(2-\bruch{1}{2^n}\right)+\bruch{1}{2^{n+1}}=\left(2-\bruch{2}{2\cdot{2^n}}\right)+\bruch{1}{2^{n+1}}=......[/mm]
>  
>
> >Kommste damit ans Ziel?
>  
>
> Naja, ich werde mir die Geschichte auf jeden Fall nachher
> nochmal angucken.So ganz spontan würde ich jetzt versuchen
> die linke Seite, die du ja schon zu >[mm] \left(2-\bruch{2}{2\cdot{2^n}}\right)+\bruch{1}{2^{n+1}}=......[/mm]
> ungeformt hast zur rechten Seite zu machen [daumenhoch]
>
> Also
>
> [mm]\left(2-\bruch{2}{2\cdot{2^n}}\right)+\bruch{1}{2^{n+1}}= \2-\bruch{2}{2*2^n}+\bruch{1}{2^(n+1)}=2-\bruch{1}{2*2^n}=2-\bruch{1}{2^(n+1)}[/mm]

>   jo, nur die 2 da nicht vergessen ;-)

> oder was in der Richtung ...
>  
>  ja da hast du es schon

Bis dann

schachuzipus

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