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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:22 So 21.11.2004 | | Autor: | Shaguar |
Moin
ich komme bei einer Aufgabe nicht weiter und hab leider nix dazu im Netz bis jetzt gefunden, obwohl es eine ziemlich bekannte Aufgabe ist.
Zeigen sie dass gilt:
[m](1+\bruch{1}{n})^{n} \le \summe_{k=0}^{n} \bruch{1}{k!} <3 [/m]
Zuerst wollte ich das kleiner Gleich zeigen und zum Schluß dann, dass es <3 ist.
Induktionsanfang: stimmt für n=1
Induktionsschritt: Ich bin durch ein paar Umformungen zu folgender Gleichung gekommen:
[m](1+\bruch{1}{n+1})^{n+1} \le (1+\bruch{1}{n})^{n} + \bruch{1}{(n+1)!}[/m]
Ich hoffe, dass diese Zeile soweit schonmal stimmt.
Dann bin ich hier hängengeblieben:
[m]1+(\bruch{1}{n+1})^{n+1} \le 1+(\bruch{1}{n})^n+\bruch{1}{(n+1)!}[/m]
So hie habe ich mir jetzt überlegt, dass ich für den Beweis auf beiden Seiten erstmal die 1 subtrahieren kann. Dann sieht man ja schon, dass die linke Seite kleiner ist, als die rechte Seite, weil ja mit n+1 im Nenner die Zahl einfach kleiner ist als mit n im Nenner und mit ^n+1 kleiner wird als mit ^n. Außerdem wird ja noch der Bruch hinzuaddiert. Jetzt weiß ich bloß nicht, wie ich das vernünftig zeige. Kann mir jemand sagen, wie ich dann noch zeige, dass das ganze <3 ist? Wie ich das machen soll habe ich gar keine Ahnung.
Für eine kleine Hilfe bin ich sehr dankbar!
MFG Shaguar
Ich habe diese Frage auf keinem anderen Forum im Internet gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:52 So 21.11.2004 | | Autor: | Hanno |
Hallo Shaguar!
Du kannst die erste Ungleichung über den binomischen Satz zeigen. Bekanntlich gilt nämlich:
[mm] $\left( 1+\frac{1}{n}\right) ^n=\summe_{k=0}^{n}{\vektor{n\\ k}\cdot\frac{1}{n^k}}$.
[/mm]
Setzen wir dies in die Ungleichung ein, erhalten wir:
[mm] $\summe_{k=0}^{n}{\vektor{n\\ k}\cdot\frac{1}{n^k}}\leq\summe_{k=0}^{n}{\frac{1}{k!}}$
[/mm]
[mm] $\gdw\summe_{k=0}^{n}{\frac{1}{k!}\cdot\left( \frac{n!}{(n-k)!}\cdot \frac{1}{n^k} -1 \right) }\leq [/mm] 0$
Können wir zeigen, dass [mm] $\frac{n!}{(n-k)!}\cdot\frac{1}{n^k}-1\leq [/mm] 0$ für alle k gilt, dann ist die Ungleichung bewiesen. Versuchen wir es also:
[mm] $\frac{n!}{(n-k)!}\cdot\frac{1}{n^k}-1\leq [/mm] 0$
[mm] $\gdw\frac{n!}{(n-k)!}\leq n^k$
[/mm]
[mm] $\gdw n(n-1)(n-2)\cdots (n-k)\leq n\cdot n\cdots [/mm] n$
Jeder Faktor auf der linken Seite ist kleiner oder gleich dem auf der rechten Seite, woraus die Ungleichung folgt.
> Dann bin ich hier hängengeblieben:
> $ [mm] 1+(\bruch{1}{n+1})^{n+1} \le 1+(\bruch{1}{n})^n+\bruch{1}{(n+1)!} [/mm] $
Den Schritt hierhin kann ich leider nicht ganz nachvollziehen - was hast du dort gemacht?
Ich schaffe es leider im Moment auch nicht, die Aufgabe über vollständige Induktion zu lösen - wenn ich's doch noch hinbekomme, melde ich mich noch mit einer derartigen Lösung.
Zum Beweis, dass [mm] $\summe_{k=0}^{n}{\frac{1}{k!}}<3$ [/mm] gilt, kann ich dir die Ungleichung [mm] $\frac{1}{k!}\leq\frac{1}{2^{k-1}}$ [/mm] ans Herz legen. Damit solltest du schnell zum Ziel kommen!
Liebe Grüße und Viel Erfolg,
Hanno
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:57 So 21.11.2004 | | Autor: | baskolii |
Zeige [mm] (1+\frac{1}{n})^n\le\summe_{k=0}^{n}\frac{1}{k!} [/mm] mit Hilfe des Binomischen Lehrsatz und
[mm] \summe_{k=0}^{n}\frac{1}{k!}<3 [/mm] mit [mm] \frac{1}{n!}\le2^{-n}, \forall n\ge4 [/mm] und der Summenformel der geometrischen Reihe
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