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| Aufgabe | Man berechne [mm] A^n [/mm] für [mm] n\in\IR\sub [/mm] und
[mm] A=\begin{bmatrix}
1 & 1 & 1 \\
0 & 1 & 1 \\
0 & 0 & 1
\end{bmatrix}
[/mm]
Hinweis: Hierzu schreibe man A als
A = [mm]\tilde A[/mm] + [mm] I_3 [/mm]
und verwende vollständige Induktion und den binomischen Lehrsatz. |
Juten Abend!
Also, ich poste erstmal, wo ich hängen bleibe:
Binomischer Lehrsatz:
[mm] (a+b)^n [/mm] = [mm] \summe_{k=1}^{n}{n \choose k}a^k*b^{n-k}
[/mm]
d.h. für diesen konkreten Fall:
[mm] A^n=(\tilde A+I_3)^n [/mm] = [mm] (\tilde a_{ij}+e_{ij})_{ij})^n
[/mm]
Induktionsanfang:
Wähle n=1
[mm] \summe_{k=1}^{1}{1 \choose 1}\tilde a_{ij}^1*e_{ij}^{1-1}
[/mm]
= [mm] \tilde a_{ij}
[/mm]
Ja und das müsste falsch sein.
Könnte mir jemand sagen, wo ich einen Fehler eingebaut habe oder ob ich komplett falsch an die Induktion rangegangen bin?
Vielen Dank schonmal!!
Gruß Tim
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Ja...also ich denke ich habe meinen Fehler gefunden.
Ich habe bei der Summe einfach [mm] {1\choose0} [/mm] vergessen. Dann haut das auch hin :)
Trotzdem Danke!
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> Man berechne [mm]A^n[/mm] für [mm]n\in\IR\sub[/mm] und
>
> [mm]A=\begin{bmatrix}
1 & 1 & 1 \\
0 & 1 & 1 \\
0 & 0 & 1
\end{bmatrix}[/mm]
>
> Hinweis: Hierzu schreibe man A als
>
> A = [mm][mm]\tilde A[/mm][/mm] + [mm]I_3[/mm]
< und verwende vollständige Induktion und den binomischen Lehrsatz.
< Juten Abend!
> Also, ich poste erstmal, wo ich hängen bleibe:
> Binomischer Lehrsatz:
> [mm](a+b)^n[/mm] = [mm]\summe_{k=1}^{n}{n \choose k}a^k*b^{n-k}[/mm]
Hallo,
hier hast Du einen Fehler: die Summation für den binomischen Lehrsatz beginnt bei Null.
[mm] (a+b)^n[/mm] [/mm] = [mm][mm] \summe_{k=0}^{n}{n \choose k}a^k*b^{n-k}
[/mm]
Bevor Du einen Induktionsanfang machst, solltest Du erstmal herausfinden, was Du beweisen möchtest.
Zu diesem Zwecke würde ich erstmal ein bißchen spielen:
Was ist [mm] \tilde A^2,\tilde A^3, \tilde A^4 [/mm] usw.
Das würde ich nicht mit irgenwelchen [mm] a_i_j [/mm] ermitteln, sondern ganz plump durch Hinschreiben der Matrizen. Mir jedenfalls fällt das viel leichter.
Danach denke mithilfe des binomischen Satzes über [mm] (\tilde A+I_3)^n [/mm] nach und entwickele hieraus eine Behauptung, die Du dann per vollständige Induktion beweist.
Gruß v. Angela
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Jo!
Sorry, dass du den Anfang mehr oder weniger umsonst geschrieben hast.
Dann guck ich mir erstmal ein paar [mm] A^n [/mm] an :)
Vielen Dank!!!
Tim
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ja, ich bins nochmal.
Also, ich hab deinen Rat befolgt, hab auch gesehen, dass [mm] \tilde A^n [/mm] nach [mm] \tilde A^3 [/mm] zum Nullelement wird. [mm] I^n [/mm] ist auch konstant I.
also hab ich dann irgendwie sowas zu stehen.
[mm] A^n [/mm] = [mm] \summe_{k=0}^{3}a_{ij}^k*e_{ij}^{n-k}
[/mm]
[mm] A^{n+1} [/mm] = [mm] A^n*A^1 [/mm] = [mm] \summe_{k=0}^{3}a_{ij}^k*e_{ij}^{n-k}*A
[/mm]
Ich habe leider garkeine Idee, wie ich da mit volstädniger Induktion rangehen soll...
Über einen Tipp würde ich mich sehr freuen!
Tim
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Hallo rambazambarainer,
ich erhalte irgendwie für die Potenzen von A was anderes...
Ich denke, es ist eher [mm] A^n=\pmat{ 1 & n & \frac{n(n+1)}{2} \\ 0& 1 & n\\0 & 0 & 1 }
[/mm]
Also [mm] A^n=\pmat{ 0 & n & \frac{n(n+1)}{2} \\ 0& 0 & n\\0 & 0 & 0 }+I_3
[/mm]
Vielleicht hilft das ja etwas weiter, für den Induktionsschritt hab ich im Moment auch keine Idee ![[kopfkratz3]](/images/smileys/kopfkratz3.gif "[kopfkratz3]")
LG
schachuzipus
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Ja...
Danke erstmal für die Antwort.
soweit war ich auch mal...aber leider kann man das nicht mit dem binomischen Lehrsatz in Verbindung bringen.
Zumindestens schaff ich das nicht.
Gruß
Tim
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Hallo nochmal,
nun die Verbindung zum bin. Lehrsatz könnte so aussehen:
[mm] A^n=\left[\pmat{ 1 & 0 & 0 \\ 0& 1 & 0\\0 & 0 & 1 } +\pmat{ 0& 1 & 1 \\ 0& 0 & 1\\0 & 0 & 0 } \right]^n
[/mm]
[mm] =\sum\limits_{k=0}^n\vektor{n\\k}\pmat{ 1 & 0 & 0 \\ 0& 1 & 0\\0 & 0 & 1 }^{n-k}\cdot{}\pmat{ 0& 1 & 1 \\ 0& 0 & 1\\0 & 0 & 0 }^k
[/mm]
[mm] =\vektor{n\\0}\cdot{}\pmat{ 1 & 0 & 0 \\ 0& 1 & 0\\0 & 0 & 1 }^n\cdot{}\pmat{ 0& 1 & 1 \\ 0& 0 & 1\\0 & 0 & 0 }^0+\vektor{n\\1}\cdot{}\pmat{ 1 & 0 & 0 \\ 0& 1 & 0\\0 & 0 & 1 }^{n-1}\cdot{}\pmat{ 0& 1 & 1 \\ 0& 0 & 1\\0 & 0 & 0 }^1+\vektor{n\\2}\cdot{}\pmat{ 1 & 0 & 0 \\ 0& 1 & 0\\0 & 0 & 1 }^{n-2}\cdot{}\pmat{ 0& 1 & 1 \\ 0& 0 & 1\\0 & 0 & 0 }^2+.....+\vektor{n\\n}\cdot{}\pmat{ 1 & 0 & 0 \\ 0& 1 & 0\\0 & 0 & 1 }^0\cdot{}\pmat{ 0& 1 & 1 \\ 0& 0 & 1\\0 & 0 & 0 }^n
[/mm]
[mm] =\pmat{ 1 & 0 & 0 \\ 0& 1 & 0\\0 & 0 & 1 }^n+n\cdot{}\pmat{ 1 & 0 & 0 \\ 0& 1 & 0\\0 & 0 & 1 }^{n-1}\cdot{}\pmat{ 0& 1 & 1 \\ 0& 0 & 1\\0 & 0 & 0 }+\frac{n(n-1)}{2}\cdot{}\pmat{ 1 & 0 & 0 \\ 0& 1 & 0\\0 & 0 & 1 }^{n-2}\cdot{}\pmat{ 0& 1 & 1 \\ 0& 0 & 1\\0 & 0 & 0 }^2
[/mm]
denn für [mm] k\ge [/mm] 3 ist [mm] \pmat{ 0& 1 & 1 \\ 0& 0 & 1\\0 & 0 & 0 }^k=\pmat{ 0& 0& 0 \\ 0& 0 & 0\\0 & 0 & 0 }
[/mm]
Also sind alle weitern Summanden 0 bzw die Nullmatrix
[mm] =\pmat{ 1 & 0 & 0 \\ 0& 1 & 0\\0 & 0 & 1 }+\pmat{ 0& n & n \\ 0& 0 & n\\0 & 0 & 0 }+\frac{n(n-1)}{2}\cdot{}\pmat{ 0& 0 & 1 \\ 0& 0 & 0\\0 & 0 & 0 }
[/mm]
[mm] =\pmat{ 1& n & n \\ 0& 1 & n\\0 & 0 & 1 }+\pmat{ 0& 0 & \frac{n(n-1)}{2} \\ 0& 0 & 0\\0 & 0 & 0 }=\pmat{ 1 & n & \frac{n(n+1)}{2} \\ 0& 1 & n\\0 & 0 & 1 } [/mm]
Gruß
schachuzipus
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Wow!
Super! Vielen Dank nochmal :)
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