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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 01:24 Sa 06.10.2007 | | Autor: | Schalk |
| Aufgabe | Zeigen Sie mithilfe vollständiger Induktion:
(a) [mm] \summe_{k=1}^{n} (-1)^{k+1} [/mm] * [mm] k^{2} [/mm] = [mm] (-1)^{n+1}\bruch{n(n+1)}{2} [/mm] für jedes [mm] n\in\IN
[/mm]
(b) [mm] \summe_{k=n+1}^{2n} \bruch{1}{k}>\bruch{13}{24} [/mm] für jedes [mm] n\in\IN [/mm] mit n>1 |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Ich habe mir folgende Lösungswege überlegt...
zu a)
Induktionsanfang n=1:
Durch Einsetzen ergibt sich 1=1, so dass nun der Induktionsschritt folgen kann: Für ein gegebenes [mm] n\in\IN [/mm] sei die Aussage (A(n)) richtig, d. h. es gilt o. g. Nun wird A(n+1), um die Aussage pervollständiger Induktion zu beweisen:
[mm] \summe_{k=1}^{n} (-1)^{k+1}k^{2} [/mm] = [mm] \summe_{k=1}^{n} (-1)^{k+1} [/mm] * [mm] k^{2} [/mm] + [mm] (-1)^{n+1+1} [/mm] * [mm] (n+1)^{2}
[/mm]
= [mm] (-1)^{n+1} [/mm] * [mm] \bruch{n*(n+1)}{2} [/mm] + [mm] (-1)^{n+1+1} [/mm] * [mm] (n+1)^{2} [/mm] (nach Voraussetzung)
= [mm] (-1)^{n+1}*(-1)*(-1)* \bruch{n*(n+1)}{2} [/mm] + [mm] (-1)^{n+1+1} [/mm] * [mm] (n+1)^{2}
[/mm]
= [mm] (-1)^{n+1+1} [/mm] * [mm] \bruch{-n*(n+1)}{2} [/mm] + [mm] (-1)^{n+1+1} [/mm] * [mm] (n+1)^{2}
[/mm]
= [mm] (-1)^{n+2} (\bruch{-n^{2}-n+2*(n^{2}+2n+1)}{2}
[/mm]
= [mm] (-1)^{n+2} [/mm] * [mm] \bruch{n^{2}+3n+2}{2}
[/mm]
= [mm] (-1)^{n+2} [/mm] * [mm] \bruch{(n+1)*(n+2)}{2} [/mm] q.e.d
Reicht das als Beweis?
(b)
Bei dieser Aufgabe bin ich bislang nicht über einen Ansatz hinaus gekommen... Folgendes habe ich mir überlegt:
Als Induktionsanfang habe ich n=2 gewählt. Daraus ergibt sich [mm] \bruch{14}{24}>\bruch{13}{24}.
[/mm]
Nun der Induktionsschritt:
[mm] \summe_{k=n+1}^{2(n+1)} \bruch{1}{k} [/mm] = [mm] \summe_{k=n+1}^{2n} \bruch{1}{k} [/mm] + [mm] \bruch{1}{2(n+1)}
[/mm]
Dann habe ich mir weiter überlegt, dass nach Voraussetzung [mm] \summe_{k=n+1}^{2n} \bruch{1}{k}>\bruch{13}{24}. [/mm] Somit dürfte der Summand [mm] \bruch{1}{2(n+1)} [/mm] die Summe ja nur erhöhen. Und wenn nach Voraussetzung die Summe bereits größer, müsste das bei einem zusätzlichem Summand auch der Fall sein. Reicht der Form halber so eine Begründung?
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> Zeigen Sie mithilfe vollständiger Induktion:
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> (b) [mm]\summe_{k=n+1}^{2n} \bruch{1}{k}>\bruch{13}{24}[/mm] für
> jedes [mm]n\in\IN[/mm] mit n>1
>
> (b)
>
> Bei dieser Aufgabe bin ich bislang nicht über einen Ansatz
> hinaus gekommen... Folgendes habe ich mir überlegt:
> Als Induktionsanfang habe ich n=2 gewählt. Daraus ergibt
> sich [mm]\bruch{14}{24}>\bruch{13}{24}.[/mm]
> Nun der Induktionsschritt:
>
> [mm]\summe_{k=n+1}^{2(n+1)} \bruch{1}{k}[/mm] = [mm]\summe_{k=n+1}^{2n} \bruch{1}{k}[/mm]
> + [mm]\bruch{1}{2(n+1)}[/mm]
Nein, sondern überall n um 1 erhöhen!
Somit ist zu berechnen: [mm]\summe_{k=n+2}^{2(n+1)} \bruch{1}{k}[/mm]
[mm]\summe_{k=n+2}^{2(n+1)} \bruch{1}{k}[/mm] = [mm]\summe_{k=n+1}^{2n} \bruch{1}{k}-\bruch{1}{n+1}+\bruch{1}{2n+1}+\bruch{1}{2n+2}[/mm] (erstes Glied wieder abgezogen, letzten beiden (!) fehlenden wieder hinzugefügt)
[mm]>\bruch{13}{24}-\bruch{1}{n+1}+\bruch{1}{2n+1}+\bruch{1}{2n+2)}[/mm]
[mm]=\bruch{13}{24}-\bruch{1}{n+1}+\bruch{2n+2}{4n^2+6n+2}+\bruch{2n+1}{4n^2+6n+2)}[/mm]
[mm]=\bruch{13}{24}-\bruch{1}{n+1}+\bruch{4n+3}{4n^2+6n+2}[/mm]
[mm]=\bruch{13}{24}-\bruch{4n^2+6n+2}{(n+1)(4n^2+6n+2)}+\bruch{(4n+3)(n+1)}{(4n^2+6n+2)(n+1)}[/mm]
[mm]=\bruch{13}{24}-\bruch{4n^2+6n+2}{(n+1)(4n^2+6n+2)}+\bruch{4n^2+7n+3}{(4n^2+6n+2)(n+1)}[/mm]
[mm]=\bruch{13}{24}+\bruch{n+1}{(4n^2+6n+2)(n+1)}[/mm]
[mm]=\bruch{13}{24}+\bruch{1}{(4n^2+6n+2)}[/mm]
[mm]>\bruch{13}{24}[/mm]
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