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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:36 Mi 24.10.2007 | | Autor: | Tobi86 |
| Aufgabe | Sei n,m [mm] \varepsilon [/mm] N, x [mm] \varepsilon [/mm] R\ {1}. Dann gilt für n [mm] \varepsilon [/mm] N mit n>= m+1
[mm] \summe_{k=m}^{n-1} x^k [/mm] = [mm] x^m-x^n/(1-x) [/mm] |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo, ich habe gar keine Ahnung,wie ich nun an eine solche Aufgabe ran treten soll! Kann mir jemand mal sagen,was ich jetzt erstmal am besten mache??
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:45 Mi 24.10.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
multiplizier mit 1-x, und fang bei n=m+1 an, dann Induktion.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:40 Mi 24.10.2007 | | Autor: | Tobi86 |
wenn ich dich jetzt richtig verstanden habe,soll ich mit 1-x multiplizieren,ok,dadurch fällt auf der rechten seite der nenner des bruchs weg und die linkeseite wird ebensfalls mit 1-x multipliziert.
aber danach versteh ich nicht ganz,wieso ich bei m+1 anfangen,obwohl ich doch n-1 habe!! ich habe die aufgabe,glaube ich mal,überhaupt gar nicht verstanden!:( sollte es so aussehen??
[mm] \summe_{k=m}^{m+1} x^k*(1-x)= x^m-x^n [/mm] ??
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:16 Mi 24.10.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
in der Aufgabe steht doch die Beh. soll gelten für [mm] n\ge [/mm] m+1
bei festem m ist also das kleinste n =m+1
dann geht die Summe von m bis m hat also nur [mm] x^m [/mm] als Ergebnis, rechts steht [mm] x^m-x^{m+1} [/mm] und jetzt sieh nch, ob die linke und die rechte Seite gleich sind.
dann hast du einen Induktionsanfang.
Dann die Formel für n hinschreiben, und sie daraus für n+1 beweisen.
das ist dann die eigentliche Induktion.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:49 Mi 24.10.2007 | | Autor: | Tobi86 |
irgendwie steh ich komplett aufm schlau bei der aufgabe!!!
hast du es so gemeint??
[mm] \summe_{k=m}^{n} x^k*(1-x)=x^m-x^m^+^1
[/mm]
wäre mein induktionsanfang?? oder wie?? nimms mir nicht übel,dass ich sooft nachfrage muss,aber ich mache das heute zum ersten mal!!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:24 Mi 24.10.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
> irgendwie steh ich komplett aufm schlau bei der aufgabe!!!
> hast du es so gemeint??
>
> [mm]\summe_{k=m}^{n} x^k*(1-x)=x^m-x^m^+^1[/mm]
du hast rechts schon n=m+1 eingesetzt, dann muss die Summe doch bis n-1 also bis m gehen:
also
für n=m+1 heisst die Behauptung:
[mm]\summe_{k=m}^{m} x^k*(1-x)=x^m-x^m^+^1[/mm] <==>
[mm] x^m*(1-x)=x^m-x^m^+^1[/mm] <==>
[mm] x^m-x^{m+1}=x^m-x^{m+1}
[/mm]
also ist die Beh richtig für n=m+1
jetzt setze ich vorraus es gilt für ein beliebiges [mm] n\gem+1 [/mm]
I) [mm] \summe_{k=m}^{n-1} x^k*(1-x)=x^m-x^n[/mm]
[/mm]
dann gilt es auch für n+1.
ich muss also zeigen [mm] :\summe_{k=m}^{n+1-1} x^k*(1-x)=x^m-x^{n+1}[/mm]
[/mm]
dabei darf ich benutzen [mm] \summe_{k=m}^{n-1} x^k*(1-x)=x^m-x^n[/mm]
[/mm]
meist geht man so vor, dass man
[mm] \summe_{k=m}^{n} x^k*(1-x)=\summe_{k=m}^{n-1} x^k*(1-x)+x^{n}*(1-x)
[/mm]
die vordere Summe durch den Ausdruck von I) (rechts ersetzen und dann einfach rechnen ob die Beh. rauskommt.
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:36 Mi 24.10.2007 | | Autor: | Tobi86 |
super danke,damit kann ich jetzt endlich mal was anfangen!:)
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:24 Do 25.10.2007 | | Autor: | Tobi86 |
wenn ich es halbwegs richtig verstanden habe,soll ich mit der rechten summe weiterrechnen?? wenn ja,steh ich immer noch auf dem schlauch. ich bräuchte noch eine gedankenstütze!!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:29 Do 25.10.2007 | | Autor: | M.Rex |
Hallo.
Du solls7 ja folgendes Zeigen:
[mm] $\summe_{k=m}^{n+1-1} x^k\cdot{}(1-x)=x^m-x^{n+1} [/mm] $
Dann fang mal mit der Idee von leduart an
$ [mm] \summe_{k=m}^{n} x^k\cdot{}(1-x)=\red{\summe_{k=m}^{n-1} x^k\cdot{}(1-x)}+x^{n}\cdot{}(1-x) [/mm] $
Das rot markierte kann ich jetzt durch die Ind. Vorauss. ersetzen.
Also:
[mm] \summe_{k=m}^{n} x^k\cdot{}(1-x)
[/mm]
[mm] =\red{\summe_{k=m}^{n-1} x^k\cdot{}(1-x)}+\summe_{k=m}^{n-1}x^{n}\cdot{}(1-x)
[/mm]
[mm] x^{m}-x^{n}+\green{\summe_{k=m}^{n-1}x^{n}\cdot{}(1-x)}
[/mm]
Da im grün markierten teil der Laufindex k nicht vorkommt, kann ich die Summe einfach ignorieren.
Also:
[mm] x^{m}-x^{n}+\green{\summe_{k=m}^{n-1}x^{n}\cdot{}(1-x)}
[/mm]
[mm] =x^{m}-x^{n}+x^{n}\cdot{}(1-x)
[/mm]
Jetzt noch ein wenig vereinfachen, dann sollte das Ergebnis dort stehen
Marius
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:55 Do 25.10.2007 | | Autor: | Tobi86 |
jetzt hab ich auch endlich mal die aufgabe hinbekommen,danke...muss mich nochmal in ruhe hinsetzen und mir die aufgabe anschauen,vielleicht versteh ich auch dann 100% die vorgehensweise!
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(Korrektur) kleiner Fehler  | | Datum: | 21:46 Do 25.10.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo Rex +Tobi
> Hallo.
>
> Du solls7 ja folgendes Zeigen:
>
> [mm]\summe_{k=m}^{n+1-1} x^k\cdot{}(1-x)=x^m-x^{n+1}[/mm]
>
> Dann fang mal mit der Idee von leduart an
>
> [mm]\summe_{k=m}^{n} x^k\cdot{}(1-x)=\red{\summe_{k=m}^{n-1} x^k\cdot{}(1-x)}+x^{n}\cdot{}(1-x)[/mm]
>
> Das rot markierte kann ich jetzt durch die Ind. Vorauss.
> ersetzen.
>
> Also:
>
> [mm]\summe_{k=m}^{n} x^k\cdot{}(1-x)[/mm]
> [mm]=\red{\summe_{k=m}^{n-1} x^k\cdot{}(1-x)}+\summe_{k=m}^{n-1}x^{n}\cdot{}(1-x)[/mm]
>
> [mm]x^{m}-x^{n}+\green{\summe_{k=m}^{n-1}x^{n}\cdot{}(1-x)}[/mm]
>
> Da im grün markierten teil der Laufindex k nicht vorkommt,
> kann ich die Summe einfach ignorieren.
die Summe hinzuschreiben war falsch, die grüne Summe darf gar nicht erst auftreten ( [mm] \summe_{i=1}^{n}a=n*a [/mm] und nicht a nur weil in a kein i vorkommt)
das gilt für alle grünen Summen, die müssen wegbleiben (oder von n bis n gehen)
> Also:
> [mm]x^{m}-x^{n}+\green{\summe_{k=m}^{n-1}x^{n}\cdot{}(1-x)}[/mm]
> [mm]=x^{m}-x^{n}+x^{n}\cdot{}(1-x)[/mm]
die letzte Zeile ist wieder richtig.
>
> Jetzt noch ein wenig vereinfachen, dann sollte das Ergebnis
> dort stehen
>
> Marius
>
>
>
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