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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:39 So 04.11.2007 | | Autor: | IHomerI |
| Aufgabe | Aufgabe
2b) Beweisen Sie mit vollständiger induktion die Aussage,
S:= [mm] \bruch{n(n+1)(2n+1)}{6}
[/mm]
3a) Beweisen Sie mittels vollständiger Induktion, dass alle
[mm] n\in\IN [/mm] \ {0} gilt:
[mm] e^{n}>n+1, [/mm] abei ist [mm] e\approx [/mm] 2,17183 die Eulersche Zahl |
Hallo, ich wollte fragen, ob mir wer nen Ansatz geben könnte für diese Aufgaben... alle anderen aufgaben hab ich geschafft, aber bei denen hab ich einfach keine Ahnung wie ich anfangen soll.
Wer echt super, will garkeine Lösung nur nen Ansatz.
Danke schonmal im Voraus.
lg Homer
Ich habe diese Aufgaben in keinem anderen Forum gepostet.
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> Aufgabe
> 2b) Beweisen Sie mit vollständiger induktion die Aussage,
> S:= [mm]\bruch{n(n+1)(2n+1)}{6}[/mm]
Hallo,
so, wie es dasteht wirst Du es weder beweisen oder widerlegen können.
Aber da ich hellsehen kann, sage ich: irgendwo steht, daß [mm] s_n:=\summe_{k=1}^{n}k^2,
[/mm]
und [mm] \summe_{k=1}^{n}k^2=]\bruch{n(n+1)(2n+1)}{6} [/mm] für alle [mm] n\in \IN [/mm] kann man wirklich mit vollständiger Induktion beweisen.
> 3a) Beweisen Sie mittels vollständiger Induktion, dass
> alle
> [mm]n\in\IN[/mm] \ {0} gilt:
> [mm]e^{n}>n+1,[/mm] abei ist [mm]e\approx[/mm] 2,17183 die Eulersche Zahl
Hier wirst Du im Induktionsschluß verwenden müssen, daß [mm] e^{n+1} [/mm] = [mm] e*e^{n}
[/mm]
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:12 So 04.11.2007 | | Autor: | IHomerI |
Ok also ich habe jetzt als Induktionsbehauptung
[mm] \summe_{k=1}^{n+1} [/mm] k² = [mm] \bruch{(n+1)² (n+2)}{3}
[/mm]
das dürfte ja richtig sein, also ich hab gekürzt und ausgeklammert, weil ursprünglich stand dort ja
[mm] \summe_{k=1}^{n+1} [/mm] k² = [mm] \bruch{(n+1)(n+2)(2n+2)}{6}
[/mm]
so, dann setzt ich folgendes für den Induktionsschluss gleich.
[mm] \summe_{k=1}^{n+1} [/mm] k² = [mm] \bruch{n(n+1)(2n+1)}{6} [/mm] + [mm] \summe_{k=1}^{n} [/mm] k²
wenn ich das getan habe, setz ich für [mm] \summe_{k=1}^{n} [/mm] k² jetzt [mm] \bruch{n(n+1)(2n+1)}{6} [/mm] ein und rechne das aus um später meine IB(induktionsbehauptung zu erhalten oder?
nur bekomme ich jetzt ganz andere werte raus... also ich erhalte nicht meine IB
könntest du mir da nochmal helfen, was ich falsch gemacht habe?
dankeee :)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:22 So 04.11.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo Homer!
Du hast falsch in die Induktionsbehauptung mit $n+1_$ eingesetzt. Das solltest Du stets einklammern:
[mm] $$\summe_{k=1}^{\red{n+1}}k^2 [/mm] \ = \ [mm] \bruch{(\red{n+1})*[(\red{n+1})+1]*[2*(\red{n+1})+1]}{6} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{(n+1)*(n+2)*(2n+3)}{6}$$
[/mm]
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:34 So 04.11.2007 | | Autor: | IHomerI |
ach mist stimmt ...das hab ich völlig verplant...dann geht das ja doch :) dankee
ahso eine Frage hab ich dann auch noch zu der anderen aufgabe... da hab ich ja stehen als Induktionsbehauptung [mm] e^{n+1} [/mm] > ((n+1)+1) oder? aber wie geh ich jetzt weiter vor... ich kann doch jetzt nicht einfach bei dieser ungleichung vorgehen wie bei einer normalen Gleichung und einfach auf die andere Seite [mm] e^{n} [/mm] addieren oder?
sodass im IS dann steht [mm] e^{n+1} [/mm] > (n+1) + [mm] e^{n} [/mm] oder ist das doch richtig?
[%sig%
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> ahso eine Frage hab ich dann auch noch zu der anderen
> aufgabe... da hab ich ja stehen als Induktionsbehauptung
> [mm]e^{n+1}[/mm] > ((n+1)+1) oder?
Ja. Zu zeigen ist: [mm] e^{n+1}> [/mm] ((n+1)+1)= n+2
Wie Du das im Induktionsschluß machen kannst, habe ich Dir im Eingangspost doch schon gesagt:
[mm] e^{n+1}=e*e^{n},
[/mm]
und nun kannst Du mit Deiner Induktionsvoraussetzung abschätzen und außerdem e>2 verwenden.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:00 So 04.11.2007 | | Autor: | IHomerI |
oki doki also vielen dank nochmal...wollt euch eigentlich garnet so viel zeit rauben
bei der e Aufgabe habe ich jetzt abgeschätz das ist a relativ eindeutig.
und bei der anderen aufgabe hab ich jetzt nen Wiederspruch raus, da ja IB und das Ergebniss von IS nicht übereinstimmen... glaub das müsste richtig sein oder?
schönen Tag euch noch
und vielen dank nochmal:)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:04 So 04.11.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo Homer!
Ja, die $e_$-Aufgabe sollte mit der entsprechenden Abschätzung $e \ > \ 2$ ziemlich eindeutig sein.
Aber bei der anderen Aufgabe darf kein Widerspruch entstehen, sonst wäre ja der Nachweis nicht erfüllt.
Da musst Du Dich irgendwo verrechnet haben.
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:35 So 04.11.2007 | | Autor: | IHomerI |
Also hab nochmal ne Frage zur aufgabe mit [mm] \summe_{k=1}^{n}k²
[/mm]
Induktionsbehauptung:
[mm] \summe_{k=1}^{n+1}k² [/mm] = [mm] \bruch{(n+1)(n+2)(2n+3)}{6}
[/mm]
Induktionsschluss:
[mm] \summe_{k=1}^{n+1}k² [/mm] = [mm] \bruch{n(n+1)(2n+1)}{6} [/mm] + [mm] \summe_{k=1}^{n}k²
[/mm]
So jetzt kann ich ja [mm] \summe_{k=1}^{n}k² [/mm] durch [mm] \bruch{n(n+1)(2n+1)}{6} [/mm] ersetzen oder?
Dann steht da, [mm] \summe_{k=1}^{n+1}k² [/mm] = [mm] \bruch{n(n+1)(2n+1)}{6} [/mm] + [mm] \bruch{n(n+1)(2n+1)}{6} [/mm] (hier glaub ich steckt mein fehler)
So wenn ich das jetzt ausrechne, müsste ich ja das gleiche rausbekommen, wie wenn ich die rechte Seite meiner Induktionsbehauptung ausrechne oder?
Aber da hab ich jetzt halt was ungleiches raus. Was hab ich denn jetzt aber falsch gemacht?
Die Sache ist, dass ich in der uni an machen Tagen nicht anwesend war, da ich aufgrund eines leistenbruchs einige Tage im Krankenhaus lag.... und das dumme ist, dass ich jetzt einfach immer Problem mit der Vollständigen Inuktion habe.
Wär nett wenn ihr euch das nochmal angucken könntet.
danke euer homer
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:55 So 04.11.2007 | | Autor: | IHomerI |
achsooo macht man das also...gut na der rest ist ja nur noch einfaches rechnen, dass dürft ich ja wohl schaffen.
Danke nochmal. glaub jetzt hab ich dann so langsam den tick raus wie man sone vollstandige induktion angeht
vielen Dank
lg Homer
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muss die selbe aufgaben lösen, komme aber an der stelle wo ihr aufgehört habt nicht weiter. kann mir einer einen tipp geben?
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Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
Dann schreib doch mal auf, wa Du jetzt dastehen hast, und wo Dein Ziel ist.
Gruß v. Angela
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$ [mm] \summe_{k=1}^{n+1}k^2 [/mm] = [mm] \summe_{k=1}^{n}k^2+\summe_{k=n+1}^{n+1}k^2=\summe_{k=1}^{n}k^2+(n+1)^2=... [/mm] $
> So jetzt kann ich ja $ [mm] \summe_{k=1}^{n}k² [/mm] $ durch $ [mm] \bruch{n(n+1)(2n+1)}{6} [/mm] $ ersetzen oder?
soweit konnte ich das ja noch nachvollziehen, aber jetzt beim auf lösen hakts irgendwie. hab gerade ne denkblockade oder so...
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> [mm]\summe_{k=1}^{n+1}k^2 = \summe_{k=1}^{n}k^2+\summe_{k=n+1}^{n+1}k^2=\summe_{k=1}^{n}k^2+(n+1)^2=...[/mm]
>
>
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> > So jetzt kann ich ja [mm]\summe_{k=1}^{n}k²[/mm] durch
> [mm]\bruch{n(n+1)(2n+1)}{6}[/mm] ersetzen oder?
>
> soweit konnte ich das ja noch nachvollziehen, aber jetzt
> beim auf lösen hakts irgendwie. hab gerade ne denkblockade
> oder so...
Hallo,
warum zierst Du Dich, den Term, den man nun erhält, hinzuschreiben?
Außerdem ist sehr wichtig, daß man das Ziel nicht aus den Augen verliert.
Was möchtest Du am Ende herausbekommen? Schreib das auch mal auf.
Gruß v. Angela
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n(n+1)(2n+1) + (n+1)² = (n+1)(n+2)(2n+3)
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aber was ich am ende rausbekommen will/soll hab ich ehrlich gesagt noch nicht wirklich verstanden. der groschen ist bei mir noch nicht gefallen...
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> n(n+1)(2n+1) + (n+1)² = (n+1)(n+2)(2n+3)
> 6 6
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> aber was ich am ende rausbekommen will/soll hab ich ehrlich
> gesagt noch nicht wirklich verstanden. der groschen ist bei
> mir noch nicht gefallen...
Hallo,
das Induktionsprinzip ist hoffentlch klar.
Du hast jetzt [mm] \bruch{n(n+1)(2n+1)}{6}+(n+1)^2=...
[/mm]
und am Ende Deiner Bemühungen soll = [mm] \bruch{(n+1)(n+2)(2n+3)}{6} [/mm] dastehen.
Ich rate Dir, [mm] \bruch{n(n+1)(2n+1)}{6}+(n+1)^2 [/mm] erstmal auf einen gemeinsamen Brauchstrich zu bringen, dann klammere (n+1)aus, und schau nach, ob das, was dann in der zweiten Klammer steht , womöglich =(n+2)(2n+3) ist.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:00 Mo 05.11.2007 | | Autor: | red-blizz |
also wenn mich jetzt nicht alles täuscht hab ich das richtige raus. danke für die hilfe,das hab ich gebraucht!
gruß
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![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]"){kind=small}
Das muss heißen:
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]"){kind=small}
Genau!
