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Forum "Uni-Analysis-Induktion" - Vollständige Induktion
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Vollständige Induktion: Umformung
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:39 Di 05.02.2008
Autor: Thorsten_der_Barbar

Aufgabe
Beweise durch vollständige Induktion:

[mm] \summe_{i=1}^{n} k^3 [/mm] =  [mm] \bruch{k^2*(k+1)^2}{4} [/mm]  

Hi Leute,

die Induktionsvorraussetzung habe ich schon mit 1 und mit 2 geprüft.

ich weiß bereits, dass gelten muss

[mm] 1^3+2^3+...+k^3+(k+1)^3 [/mm] = [mm] \bruch{k^2*(k+1)^2}{4} +(k+1)^3 [/mm]

Bei mir scheitert es leider nur an der Umstellung. Ich weiß, trivial:-)

Damit es bewiesen ist, müsste ja herauskommen:

[mm] \bruch{(k+1)^2*(k+1+1)^2}{4} [/mm]

Wie stelle ich das nun so um, dass das hier dann da steht ?

Gruß Thorsten




        
Bezug
Vollständige Induktion: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:50 Di 05.02.2008
Autor: Somebody


> Beweise durch vollständige Induktion:
>  
> [mm]\summe_{i=1}^{n} k^3[/mm] =  [mm]\bruch{k^2*(k+1)^2}{4}[/mm]
> Hi Leute,
>  
> die Induktionsvorraussetzung habe ich schon mit 1 und mit 2
> geprüft.
>  
> ich weiß bereits, dass gelten muss
>  
> [mm]1^3+2^3+...+k^3+(k+1)^3[/mm] = [mm]\bruch{k^2*(k+1)^2}{4} +(k+1)^3[/mm]
>  
> Bei mir scheitert es leider nur an der Umstellung. Ich
> weiß, trivial:-)
>  
> Damit es bewiesen ist, müsste ja herauskommen:
>
> [mm]\bruch{(k+1)^2*(k+1+1)^2}{4}[/mm]
>
> Wie stelle ich das nun so um, dass das hier dann da steht ?

[mm]\bruch{k^2*(k+1)^2}{4} +(k+1)^3=\frac{k^2\blue{(k+1)}^2+4\blue{(k+1)}^3}{4}=\frac{\blue{(k+1)^2}\cdot (k^2+4k+4)}{4}=\frac{(k+1)^2\cdot (k+2)^2}{4}[/mm]


Bezug
                
Bezug
Vollständige Induktion: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:12 Di 05.02.2008
Autor: Thorsten_der_Barbar

ach, die gute alte binomische Formel steht da ja. Danke dir.

Bezug
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