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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:26 Mi 05.03.2008 | | Autor: | kutzi |
| Aufgabe | 1. Man zeige durch vollständige Induktion:
[mm] \summe_{k=1}^{2n} (-1)^k [/mm] k = n |
Wie ist diese Gleichung zu lösen? Ich sitze hier schon den zweiten Tag an dieser Aufgabe.
Ist der Anfang korrekt?: n+(-1)^2n+1 (2n+1) ??
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> 1. Man zeige durch vollständige Induktion:
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> [mm]\summe_{k=1}^{2n} (-1)^k[/mm] k = n
> Wie ist diese Gleichung zu lösen? Ich sitze hier schon den
> zweiten Tag an dieser Aufgabe.
>
>
Moin,
da du ja Vollständige Induktion durchführen sollst, würde ich erstmal mit n=1 anfangen:
Dann ist [mm]\summe_{k=1}^{2*1} (-1)^k* k = (-1)^1* 1 + (-1)^2* 2 = -1+2 = 1 = n[/mm]
> Ist der Anfang korrekt?: n+(-1)^2n+1 (2n+1) ??
>
Deinen Anfang verstehe ich nicht...
Ich würde dann [mm]\summe_{k=1}^{2n} (-1)^k *k = n[/mm] als richtig voraussetzen und die Gleichung für n+1 zeigen.
Gruß,
DerVogel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:50 Mi 05.03.2008 | | Autor: | kutzi |
Entschuldigung, habe mich da etwas falsch ausgedrückt: Der Anfang mit n=1 ist klar, nur wie geht es dann mit dem Beweis weiter? Als Ergebnis muss ja ...=(n+1) herauskommen, um zu zeigen, das die Folge für jedes weitere n richtig ist.
nur wie komme ich dahin?
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Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hallo kutzi und erst einmal ganz herzlich ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") ,
> Entschuldigung, habe mich da etwas falsch ausgedrückt: Der
> Anfang mit n=1 ist klar, nur wie geht es dann mit dem
> Beweis weiter? Als Ergebnis muss ja ...=(n+1) herauskommen,
> um zu zeigen, das die Folge für jedes weitere n richtig
> ist.
Das muss im Induktionsschritt bzw. im eigentlichen Induktionsbeweis rauskommen
Du musst zeigen, dass unter der Induktionsvoraussetzung: $\red{\sum\limits_{k=1}^{2n}(-1)^k\cdot{}k=n$ für ein beliebiges, aber festes n gefälligst auch
$\sum\limits_{k=1}^{2(n+1)}(-1)^k\cdot{}k=n+1$ ist
Dazu forme $\sum\limits_{k=1}^{2(n+1)}(-1)^k\cdot{}k$ so um, dass du die Induktionsvoraussetzung verwenden kannst, ich mache mal nen Anfang:
$\sum\limits_{k=1}^{2(n+1)}(-1)^k\cdot{}k=\sum\limits_{k=1}^{2n+2}(-1)^k\cdot{}k=\red{\left(\sum\limits_{k=1}^{2n}(-1)^k\cdot{}k\right)}+(-1)^{2n+1}\cdot{}(2n+1)+(-1)^{2n+2}\cdot{}(2n+2)$
Da habe ich nur die letzten beiden Summanden, also die für k=2n+1 und k=2n+2 extra geschrieben, so dass wir nun auf den roten Ausdruck die Induktionsvoraussetzung anwenden können:
$=\red{n}+(-1)^{2n+1}\cdot{}(2n+1)+(-1)^{2n+2}\cdot{}(2n+2)$
Nun versuche mal den hinteren Ausdruck zu vereinfachen, etwa indem du $(-1)^{2n+1}$ ausklammerst und fasse dann zusammen.
Am Schluss sollte dort insgesamt n+1 herauskommen ...
LG
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:45 Mi 05.03.2008 | | Autor: | kutzi |
Vielen Dank, sehr anschaulich und verständlich =)
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