Vollständige Induktion < Sonstiges < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Sei M eine affine Menge. Zeige Sie: M enthält alle Vektoren (Punkte) x der Form
[mm] x=\summe_{i=1}^{k}\lambda_ix_i,
[/mm]
wobei [mm] x_{i} [/mm] M, [mm] \lambda_{i} \in \IR [/mm] für alle [mm] i\in [/mm] I und [mm] \summe_{i=1}^{k} \lambda_{i} [/mm] =1
Hinweis: Vollständige Induktion nach [mm] k\ge2 [/mm] wäre geeignet. |
Hallo
Ich habe diese Aufgabe gestellt bekommen und ich kommen nicht weiter.
für k=2 habe ich die Lösung gefunden.
Aber sobalt ich ich mit dem Induktion SChritt weiter machen, komme ich nur bis zu einem Punkt. Was ich schon habe:
I.A
[mm] x=\summe_{i=1}^{2} \lambda_{i} x_{i}
[/mm]
x= [mm] \lambda_{1}*x_{1}+\lambda_{2}*x_{2} [/mm] => Laut Def der aff. Menge, ist x M
I.V
[mm] x=\summe_{i=1}^{k} \lambda_{i} x_{i} \in [/mm] I, [mm] \summe_{i=1}^{k} \lambda_{i}=1
[/mm]
I.S
[mm] x=\summe_{i=1}^{k+1} \lambda_{i} x_{i}
[/mm]
[mm] x=\summe_{i=1}^{k} \lambda_{i} x_{i} +\lambda_{k+1} x_{k+1}
[/mm]
nach I.V
x=1 [mm] +\lambda_{k+1} x_{k+1}
[/mm]
kann einer mir helfen?
Vielen Dank
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:42 Fr 24.10.2008 | | Autor: | fred97 |
> Sei M eine affine Menge. Zeige Sie: M enthält alle Vektoren
> (Punkte) x der Form
>
> [mm]x=\summe_{i=1}^{k}\lambda[/mm] [mm]\I, x_{i}[/mm] [mm]M,\lamda_{i}[/mm] [mm]\IR \forall[/mm]
> i [mm],\summe_{i=1}^{k} \lamda_{i}[/mm] =1
>
> Hinweis: Vollständige Induktion nach [mm]k\ge2[/mm] wäre geeignet.
> Hallo
>
> Ich habe diese Aufgabe gestellt bekommen und ich kommen
> nicht weiter.
>
> für k=2 habe ich die Lösung gefunden.
>
> Aber sobalt ich ich mit dem Induktion SChritt weiter
> machen, komme ich nur bis zu einem Punkt. Was ich schon
> habe:
>
> I.A
>
> [mm]x=\summe_{i=1}^{2} \lambda_{i} x_{i}[/mm]
> x=
> [mm]\lambda_{1}+x_{1}++\lambda_{2}+x_{2}[/mm] => Laut Def der aff.
> Menge, ist x M
>
> I.V
> [mm]x=\summe_{i=1}^{k}\lambda[/mm] [mm]\I, \summe_{i=1}^{k}[/mm]
> I.S
> [mm]x=\summe_{i=1}^{k+1} \lambda_{i} x_{i}[/mm]
> [mm]x=\summe_{i=1}^{k} \lambda_{i} x_{i} +\lambda_{k+1} x_{k+1}[/mm]
>
> nach I.V
> x=1 [mm]+\lambda_{k+1} x_{k+1}[/mm]
>
> kann einer mir helfen?
>
> Vielen Dank
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
Bitte formuliere die Aufgabenstellung leserlich !
FRED
|
|
|
| |
|
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
Ich habe Deine Aufgabenstellung so bearbeitet, daß man auch das lesen kann, was zuvor nicht erschienen war.
Mach Dich, falls Du uns weiterhin besuchst, bitte mit der Formeleingabe vertraut, Eingabehilfen findest Du unterhalb des Eingabefensters.
Ein Klick auf Vorschau bietet Dir eine Voransicht des Artikels, so daß Du vor dem Abschicken sehen kannst, wie alles erscheinen würde.
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
> Sei M eine affine Menge. Zeige Sie: M enthält alle Vektoren
> (Punkte) x der Form
>
> [mm]x=\summe_{i=1}^{k}\lambda_ix_i,[/mm]
>
> wobei [mm]x_{i}[/mm] M, [mm]\lambda_{i} \in \IR[/mm] für alle [mm]i\in[/mm] I und
> [mm]\summe_{i=1}^{k} \lambda_{i}[/mm] =1
>
> Hinweis: Vollständige Induktion nach [mm]k\ge2[/mm] wäre geeignet.
> Hallo
>
> Ich habe diese Aufgabe gestellt bekommen und ich kommen
> nicht weiter.
>
> für k=2 habe ich die Lösung gefunden.
>
> Aber sobalt ich ich mit dem Induktion SChritt weiter
> machen, komme ich nur bis zu einem Punkt. Was ich schon
> habe:
Hallo,
>
> I.A
Seien [mm] x_1,x_2 \in [/mm] M und sei [mm] \lambda_1+\lambda_2=1
[/mm]
>
> [mm]x=\summe_{i=1}^{2} \lambda_{i} x_{i}[/mm]
> x=
> [mm]\lambda_{1}*x_{1}+\lambda_{2}*x_{2}[/mm] => Laut Def der aff.
> Menge, ist x M
Hm. Um zu sehen, ob das unmittelbar einsichtig ist, müßte man wissen, wie Ihr "affine Menge" definiert habt, vielleicht postest Du das mal.
>
> I.V
> [mm]x=\summe_{i=1}^{k}\lambda \in[/mm] I, [mm]\summe_{i=1}^{k}[/mm]
???
> I.S
Seien [mm] x_1, ...,x_{k+1}\in [/mm] M, [mm]\summe_{i=1}^{k} \lambda_{i}[/mm] =1 und
> [mm]x=\summe_{i=1}^{k+1} \lambda_{i} x_{i}[/mm]
> [mm]x=\summe_{i=1}^{k} \lambda_{i} x_{i} +\lambda_{k+1} x_{k+1}[/mm]
>
> nach I.V
Damit man hier irgendwie weitermachen zu können, braucht man erstmal die korrekte Induktionsvoraussetzung.
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:30 Fr 24.10.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Sei M eine affine Menge. Zeige Sie: M enthält alle Vektoren
> (Punkte) x der Form
>
> [mm]x=\summe_{i=1}^{k}\lambda_ix_i,[/mm]
>
> wobei [mm]x_{i}[/mm] M, [mm]\lambda_{i} \in \IR[/mm] für alle [mm]i\in[/mm] I und
> [mm]\summe_{i=1}^{k} \lambda_{i}[/mm] =1
>
> Hinweis: Vollständige Induktion nach [mm]k\ge2[/mm] wäre geeignet.
> Hallo
>
> Ich habe diese Aufgabe gestellt bekommen und ich kommen
> nicht weiter.
>
> für k=2 habe ich die Lösung gefunden.
>
> Aber sobalt ich ich mit dem Induktion SChritt weiter
> machen, komme ich nur bis zu einem Punkt. Was ich schon
> habe:
>
> I.A
>
> [mm]x=\summe_{i=1}^{2} \lambda_{i} x_{i}[/mm]
> x=
> [mm]\lambda_{1}*x_{1}+\lambda_{2}*x_{2}[/mm] => Laut Def der aff.
> Menge, ist x M
aber nur unter Beachtung von [mm] $\lambda_2=1-\lambda_1$.
[/mm]
> I.V
> [mm]x=\summe_{i=1}^{k}\lambda \in[/mm] I, [mm]\summe_{i=1}^{k}[/mm]
> I.S
> [mm]x=\summe_{i=1}^{k+1} \lambda_{i} x_{i}[/mm]
> [mm]x=\summe_{i=1}^{k} \lambda_{i} x_{i} +\lambda_{k+1} x_{k+1}[/mm]
>
> nach I.V
> x=1 [mm]+\lambda_{k+1} x_{k+1}[/mm]
>
> kann einer mir helfen?
Da sind ein paar Notationsmängel, auf die ich aber nicht weiter eingehen will.
I.V.: Falls [mm] $\lambda_1,...,\lambda_k \in \IR$ [/mm] mit [mm] $\sum_{i=1}^k \lambda_i=1$ [/mm] und [mm] $x_1,...,x_k \in [/mm] M$, dann ist auch [mm] $\sum_{i=1}^k \lambda_i x_i \in [/mm] M$.
I.S.:
$k [mm] \mapsto [/mm] k+1$:
Seien nun [mm] $\nu_1,...,\nu_{k+1} \in \IR$ [/mm] mit [mm] $\sum_{i=1}^{k+1} \nu_i=1$ [/mm] und [mm] $y_1,...,y_{k+1} \in [/mm] M$.
Es ist mit [mm] $y:=\sum_{i=1}^{k+1} \nu_i y_i$ [/mm] nun $y [mm] \in [/mm] M$ zu begründen. Dazu:
Ist [mm] $\nu_{k+1}\not=1$, [/mm] so gilt
[mm] $$y=(1-\nu_{k+1})\left(\sum_{i=1}^k \frac{\nu_i}{1-\nu_{k+1}}y_i\right)+\nu_{k+1} y_{k+1}\,.$$
[/mm]
Jetzt überlege Dir, warum Du o.E. [mm] $\nu_{k+1}\not=1$ [/mm] hast (Stichwort: umnummerieren). Und warum liefert die letzte Darstellung dann $y [mm] \in [/mm] M$?
Tipp: Überlege Dir, dass [mm] $\sum_{i=1}^k \frac{\nu_i}{1-\nu_{k+1}}y_i$ [/mm] ein Element von $M$ ist. Dazu berechne insbesondere [mm] $\sum_{i=1}^k \frac{\nu_i}{1-\nu_{k+1}}$ [/mm] und denke an die Induktionsvoraussetzung.
Gruß,
Marcel
|
|
|
| |
|
Vielen Dank 
|
|
|
|
