Vollständige Induktion < Induktion < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe 1 | Man zeige durch vollständige Induktion über n:
Für alle n [mm] \in \IN [/mm] gilt: [mm] 1+3+5+...+(2n-1)=n^{2}
[/mm]
Die Summe der ersten n ungeraden Zahlen ist die Quadratzahl [mm] n^{2}. [/mm] |
| Aufgabe 2 | | Entwickeln Sie eine Formel für die Summe der ersten n geraden Zahlen und begründen Sie diese. |
Hallöchen!
Also ich habe jetzt die vollständige Induktion durchgeführt. Aber was ist gemeint mit "Die Summe der ersten n ungeraden Zahlen ist die Quadratzahl [mm] n^{2}." [/mm] ?
Und dann habe ich noch so ein kleines Problem mit der 2. Aufgabe...
Ich bin ja schon ganz stolz, dass ich es alleine schaffe eine vollständige Induktion durchzuführen :D, aber eine Formel für etwas entwickeln? Ich hab keine Ahnung, wie ich das machen soll und wie ich die 2. Aufgabe lösen soll.
Ich wäre also sehr dankbar, wenn ich etwas Unterstützung bekommen würde. 
Summer
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:31 Do 30.10.2008 | | Autor: | Marc |
Hallo,
> Man zeige durch vollständige Induktion über n:
> Für alle n [mm]\in \IN[/mm] gilt: [mm]1+3+5+...+(2n-1)=n^{2}[/mm]
> Die Summe der ersten n ungeraden Zahlen ist die
> Quadratzahl [mm]n^{2}.[/mm]
> Entwickeln Sie eine Formel für die Summe der ersten n
> geraden Zahlen und begründen Sie diese.
> Hallöchen!
>
> Also ich habe jetzt die vollständige Induktion
> durchgeführt. Aber was ist gemeint mit "Die Summe der
> ersten n ungeraden Zahlen ist die Quadratzahl [mm]n^{2}."[/mm] ?
[mm]1+3+5+...+(2n-1)=n^{2}[/mm]
> Und dann habe ich noch so ein kleines Problem mit der 2.
> Aufgabe...
> Ich bin ja schon ganz stolz, dass ich es alleine schaffe
> eine vollständige Induktion durchzuführen :D, aber eine
> Formel für etwas entwickeln? Ich hab keine Ahnung, wie ich
> das machen soll und wie ich die 2. Aufgabe lösen soll.
Schreib' doch mal eine konkrete Summe der ersten n geraden Zahlen auf.
Welchen Teiler haben all' diese Zahlen gemeinsam?
Wie kann man eine solche Summe vereinfachen?
Viele grüße,
Marc
|
|
|
| |
|
Summe der ersten n geraden Zahlen:
2+4+6=12
Gemeinsamer Teiler: 2
Ich habe keine Ahnung, wie man eine solche Summe vereinfacht...
Ich stell mich vielleicht blöd an, aber ich weiß nicht, was für eine Formel ich da aufstellen soll.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:43 Do 30.10.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo summer!
Es gilt ja:
$$2+4+6+...+2k \ = \ [mm] 2*\left(1+2+3+...+k\right) [/mm] \ = \ ...$$
Gruß
Loddar
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:51 Do 30.10.2008 | | Autor: | summer1989 |
Ist das denn jetzt schon die Formel? Ich dachte irgendwie, dass das was komplizierteres sein muss...
Aber wenn das jetzt die Formel ist, wie soll ich diese denn dann begründen? Mit Begründungen tue ich mich in der Mathematik eh schon schwer... :-(
Lieben Dank, Summer
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:53 Do 30.10.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Ist das denn jetzt schon die Formel? Ich dachte irgendwie,
> dass das was komplizierteres sein muss...
> Aber wenn das jetzt die Formel ist, wie soll ich diese
> denn dann begründen? Mit Begründungen tue ich mich in der
> Mathematik eh schon schwer... :-(
[mm] $$2+4+6+...+(2n-2)+2n=\sum_{k=1}^{n} (2k)=2*\sum_{k=1}^n k\,.$$
[/mm]
Nun benutze den ![[]](/images/popup.gif) kleinen Gauß.
Gruß,
Marcel
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:51 Do 30.10.2008 | | Autor: | Marcel |
Hi,
weiterer Tipp:
Wenn Du eine Formel für die Summe der ersten [mm] $\black{n}$ [/mm] geraden Zahlen erstellen sollst, so kannst Du dies (mit den in der Aufgabe zur Verfügung gestellten Mitteln) auch wie folgt tun:
Berechne $1+2+3+...+(2n-1)+2n$ (also die Summe der ersten $2n$ Zahlen) und ziehe davon die Summe $1+3+5+...+(2n-3)+(2n-1)$ ab (d.h. ziehe die Summe der ersten [mm] $\black{n}$ [/mm] ungeraden Zahlen ab).
Dabei gilt (kleiner Gauß):
[mm] $$\sum_{k=1}^{2n}k=\frac{(2n)(2n+1)}{2}$$
[/mm]
und (siehe Aufgabenstellung)
[mm] $$\sum_{k=1}^n (2k-1)=n^2\,.$$
[/mm]
(P.S.:
Die Summe der ersten [mm] $\black{n}$ [/mm] ungeraden natürlichen Zahlen kann man, unter Verwendung des kleinen Gauß, auch ohne Induktion so berechnen:
[mm] $$\sum_{k=1}^n (2k-1)=2\left(\sum_{k=1}^n k\right)-\left(\underbrace{\sum_{k=1}^n 1}_{=n}\right)=n(n+1)-n=n^2\,.)$$
[/mm]
Gruß,
Marcel
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:00 Fr 31.10.2008 | | Autor: | summer1989 |
Vielen Dank, Marcel. 
Kann ich die Formel dann mit dem kleinen Gauß begründen?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:05 Fr 31.10.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Vielen Dank, Marcel.
> Kann ich die Formel dann mit dem kleinen Gauß begründen?
ja. Wie gesagt: Hier führen viele Wege zum Ziel. Du kannst auch einfach das Ergebnis, was wir (z.B. direkt über den kleinen Gauß, siehe Loddar) ja erhalten haben:
$$2+4+...+2n=n(n+1)$$
auch einfach in den Raum werfen und sagen, dass Du behauptest, dass diese Formel für jedes $n [mm] \in \IN$ [/mm] gilt und dafür dann wieder einen Induktionsbeweis führen.
Aber das ist nicht notwendig. Nur bei der Summe der ersten [mm] $\black{n}$ [/mm] ungeraden natürlichen Zahlen wurde ja ein Induktionsbeweis verlangt (wenngleich man dies auch, s.o., ohne Induktionsbeweis zeigen kann, wenn man auch dort den kleinen Gauß zum Einsatz bringt).
Gruß,
Marcel
|
|
|
| |
|
Deine erste Frage: Du hast es also bewiesen und willst nun noch wissen, was es bedeutet ... gut so.
Also:
Summe EINER ungerade Zahl = 1 = [mm] EINS^{2}
[/mm]
Summe ZWEIER ungerader Zahlen = 1+3 = [mm] ZWEI^{2}
[/mm]
Summe DREIER ungerader Zahlen = 1+3+5 = [mm] DREI^{2}
[/mm]
... also statt ständig/fortlaufend die Summe zu bilden, nutzt man den Index (n=1,2,3,4,5, ...) um sofort (explizit) mit der Formel [mm] n^{2} [/mm] den Wert der Summe zu berechnen.
Deine zweite Frage:
Um für die geraden Zahlen das Gleiche zu machen, bildest du erstmal die ersten 5 (oder mehr) Summen (wie oben beschrieben - nur mit geraden Zahlen). In diesen 5 Summen sucht man eine Gesetzmäßigkeit, die man mit einer Formel schreiben kann. Also WIE kann man mit dem Index n sofort das Ergebnis berechnen. "Sehen" kann man es selten ...
WIE gelangt man zu einer Vermutung (die dann durch vollst. Induktion bewiesen wird???). Eine HILFE kann sein, man bildet die Differenzen zwischen jeweils 2 benachbarten Ergebnissen. Ist diese Differenz bei der ersten Differenzbildung konstant, kommt in der Formel n nur linear vor - nun wieder die Differenzen der Differenzen bilden. Ist diese konstant, kommt n quadratisch vor (eventuell mit einem weiteren Summanden).
Kommt man zu keiner konstanten Differenz, kann exponentieller Zusammenhang vorliegen (z.B. [mm] 2^{n} [/mm] ).
... klingt kompliziert und man braucht auch einiger Übung!
Hier mal als Beispiel die Suche nach einer Formel für die erste Aufgabe:
n 2n-1 Summe 1. Differenz 2. Differenz
1 1 1
2 3 4 3
3 5 9 5 2
4 7 16 7 2
5 9 25 9 2
.
.
.
Hier "sieht" man, dass die Summe jeweils gleich den Quadratzahlen (vom Index n) sind.
Auch ist die 2. Differenz konstant [mm] \to [/mm] also n kommt quadratisch vor - und HIER ohne weitere Summanden ... (es könnte bei anderen Aufgaben auch sowas: [mm] n^{2} [/mm] + 4 oder [mm] n^{2} [/mm] + 3n +1 sein ...).
Analog kannst du es mit den geraden Zahlen aufschreiben
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 00:13 Fr 31.10.2008 | | Autor: | pelzig |
Also wenn man es so schreibt kommt man doch auch ganz einfach drauf:
1 + 3 + 5 + 7 + ... + (2n-1) = [mm] n^2
[/mm]
0 + 2 + 4 + 6 + ... + (2n-2) = ?
(Ich glaube nicht, dass der kleine Gauß wusste was Induktion ist )
Gruß, Robert
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:25 Fr 31.10.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Also wenn man es so schreibt kommt man doch auch ganz
> einfach drauf:
>
> 1 + 3 + 5 + 7 + ... + (2n-1) = [mm]n^2[/mm]
> 0 + 2 + 4 + 6 + ... + (2n-2) = ?
>
> (Ich glaube nicht, dass der kleine Gauß wusste was
> Induktion ist )
sage ich ja auch nicht, aber normalerweise hat man bei solchen Aufgaben schon den kleinen Gauß zur Hand (welcher vermutlich, meines Erachtens auch unnötig, über Induktion bewiesen wird. Es geht nämlich genauso gut:
[mm] $s_n:=\sum_{k=1}^n k\,.$ [/mm] Dann gilt auch [mm] $s_n=\sum_{m=1}^{n} [/mm] (n+1-m)$ und daher:
[mm] $2s_n=s_n+s_n=s_n+\sum_{m=1}^{n} (n+1-m)=s_n+\left(\underbrace{\sum_{m=1}^{n} (n+1)}_{=n*(n+1)}\right)-\underbrace{\sum_{m=1}^n m}_{=s_n}=n*(n+1)\,.$
[/mm]
In Schulgerechter Notation kann man das so schreiben, wie Du es getan hast:
[mm] $$\blue{1}+\green{2}\;\;\;+...+\blue{(n-1)}+\green{n}=s_n$$
[/mm]
[mm] $$\blue{n}+\green{(n-1)}+...+\blue{2}+\green{1}=s_n$$
[/mm]
[mm] $\underset{\text{beide Gleichungen addieren}}{\Rightarrow}$ $n*(n+1)=2s_n$.)
[/mm]
Gruß,
Marcel
|
|
|
|
