Vollständige Induktion < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:27 Do 24.02.2005 | | Autor: | Jam |
Ich beschäftige mich zur Zeit mit meiner Facharbeit mit dem Beweisverfahren der vollständigen Induktion und muss dieses auf die Gleichung: $ [mm] (a+b)^n [/mm] = [mm] \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} a^kb^{n-k} [/mm] $
Was mich irritiert ist, dass ich im internet nur allgemeine Beispile finde und nichts konkretes. In der Schule haben wir uns leider nie damit beschäftigt und ich weiß nicht, was der Faktor k hier darstellen soll und in welchem Zusammenhang das mit n Fakultät steht!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:10 Do 24.02.2005 | | Autor: | Jam |
Erstmal dankeschön, dass sie mir hilfestellung geben, ich hoffe den Rest selbst zu erarbeiten, habe schließlich noch etwas zeit! Mein Lehrer hat mir gesagt, dass (ich krieg das mit den grafiken nich hin, ich erklärs): n über k = n! * (n-k) über dem Bruchstrich und k! unter dem Bruchstrich steht!
Oder spielt das keine Rolle?
Grüße Jam
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:05 Fr 25.02.2005 | | Autor: | Marcel |
Hi Johann!
> Erstmal dankeschön, dass sie mir hilfestellung geben, ich
> hoffe den Rest selbst zu erarbeiten, habe schließlich noch
> etwas zeit! Mein Lehrer hat mir gesagt, dass (ich krieg das
> mit den grafiken nich hin, ich erklärs): n über k = n! *
> (n-k) über dem Bruchstrich und k! unter dem Bruchstrich
> steht!
Du meinst:
[mm] $(\star)$[/mm] [m]{n \choose k}=\frac{n!*(n-k)}{k!}[/m] ???
Nein, das stimmt so nicht!.
(Z.B. würde man nach deiner Formel [mm] $(\star)$:
[/mm]
[m]{2 \choose 0}=\frac{2!*2}{0!}=4[/m] ausrechnen,
während in Wahrheit:
[m]{2 \choose 0}=\frac{2!}{0!*2!}=1[/m] gilt!)
Es gilt (ich spare mir mal die Voraussetzungen an $n$ und $k$, aber eben unter gewissen Voraussetzungen an $n$ und $k$ gilt das folgende):
[m]{n \choose k}=\frac{n!}{k!*(n-k)!}=\frac{n*(n-1)*\;...\;*(n-k+1)*(n-k)!}{k!*(n-k)!}
=\frac{n*(n-1)*\;...\;*(n-k+1)}{k!}[/m].
Überlege dir bitte mal, was ich dabei gerechnet habe. Natürlich habe ich zunächst die von Julius vorgegebene Gleichheit (siehe https://matheraum.de/read?i=47364):
[m]{n \choose k}=\frac{n!}{k!*(n-k)!}[/m] benutzt!
Vielleicht meintest du das?
Viele Grüße,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:19 So 27.02.2005 | | Autor: | Jam |
Dank der Tips der anderen Mitglieder bin ich für mich sehr weit gekommen, aber ich würde gerne wissen, ob Induktionsschluss komplett ist oder ob noch ein wichtiger schritt fehlt, den ich übersehen habe!
Hier sind meine schritte:
$ [mm] (a+b)^{n+1}=(a+b)\cdot{}(a+b)^n [/mm] $
$ [mm] =a\left[ \summe_{i=0}^{n} \vektor{n \\ i}a^{n-i}b^{i}\right] [/mm] + [mm] b\left[ \summe_{i=0}^{n} \vektor{n \\ i}a^{n-i}b^{i}\right] [/mm] $
$ = [mm] \summe_{i=0}^{n} \vektor{n \\ i}a^{n-i+1}b^{i} [/mm] + [mm] \summe_{i=0}^{n} \vektor{n \\ i}a^{n-i}b^{i+1} [/mm] $
$ [mm] =a^{n+1}+ \summe_{i=1}^{n} \vektor{n \\ i}a^{n-i+1}b^{i} [/mm] + [mm] \summe_{i=0}^{n-1} \vektor{n \\ i}a^{n-i}b^{i+1} +b^{n+1} [/mm] $
$ [mm] =a^{n+1}+ \summe_{i=1}^{n} \vektor{n \\ i}a^{n-i+1}b^{i} [/mm] + [mm] \summe_{i=1}^{n} \vektor{n \\ i-1}a^{n-i+1}b^{i} +b^{n+1} [/mm] $
$ [mm] =a^{n+1}+ \summe_{i=1}^{n} \left[ \vektor{n \\ i}+\vektor{n \\ i-1}\right] a^{n+1-i}b^{i} +b^{n+1} [/mm] $
$ [mm] =\summe_{i=0}^{n+1} \vektor{n+1 \\ i}a^{n+1-i}b^{i} [/mm] $
Stimmt das so?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:39 So 27.02.2005 | | Autor: | Marcel |
Hi Jam!
> Dank der Tips der anderen Mitglieder bin ich für mich sehr
> weit gekommen, aber ich würde gerne wissen, ob
> Induktionsschluss komplett ist oder ob noch ein wichtiger
> schritt fehlt, den ich übersehen habe!
> Hier sind meine schritte:
>
> [mm](a+b)^{n+1}=(a+b)\cdot{}(a+b)^n[/mm]
>
> [mm]=a\left[ \summe_{i=0}^{n} \vektor{n \\ i}a^{n-i}b^{i}\right] + b\left[ \summe_{i=0}^{n} \vektor{n \\ i}a^{n-i}b^{i}\right][/mm]
>
> [mm]= \summe_{i=0}^{n} \vektor{n \\ i}a^{n-i+1}b^{i} + \summe_{i=0}^{n} \vektor{n \\ i}a^{n-i}b^{i+1}[/mm]
>
> [mm]=a^{n+1}+ \summe_{i=1}^{n} \vektor{n \\ i}a^{n-i+1}b^{i} + \summe_{i=0}^{n-1} \vektor{n \\ i}a^{n-i}b^{i+1} +b^{n+1}[/mm]
>
> [mm]=a^{n+1}+ \summe_{i=1}^{n} \vektor{n \\ i}a^{n-i+1}b^{i} + \summe_{i=1}^{n} \vektor{n \\ i-1}a^{n-i+1}b^{i} +b^{n+1}[/mm]
>
> [mm]=a^{n+1}+ \summe_{i=1}^{n} \left[ \vektor{n \\ i}+\vektor{n \\ i-1}\right] a^{n+1-i}b^{i} +b^{n+1}[/mm]
>
> [mm]=\summe_{i=0}^{n+1} \vektor{n+1 \\ i}a^{n+1-i}b^{i}[/mm]
Ja, das ist alles korrekt ![[super]](/images/smileys/super.gif "[super]") (vorausgesetzt, ich übersehe nichts  ). Ist dir denn alles klar? Z.B. benutzt du ja nach dem ersten Gleichheitszeichen die Induktionsvoraussetzung, und ganz am Ende benutzt du:
(i) [m]{n \choose i}+{n \choose i-1}={n+1 \choose i}[/m]
(ii) [m]a^{n+1}={n+1 \choose 0} a^{n+1-0}*b^0[/m]
(iii) [m]b^{n+1}={n+1 \choose n+1} a^0*b^{n+1}[/m]
PS: Ich glaube, ich habe deine Quelle entdeckt . Also, wenn du alles verstehst: ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") . Sollten aber noch an irgendeiner Stelle Unklarheiten bestehen (ist dir z.B. diese Gleichheit hier:
[mm]\summe_{i=0}^{n} \vektor{n \\ i}a^{n-i+1}b^{i} + \summe_{i=0}^{n} \vektor{n \\ i}a^{n-i}b^{i+1}=a^{n+1}+ \summe_{i=1}^{n} \vektor{n \\ i}a^{n-i+1}b^{i} + \summe_{i=0}^{n-1} \vektor{n \\ i}a^{n-i}b^{i+1} +b^{n+1}[/mm] klar? Falls nicht, ...), dann frage bitte nach  !
Viele Grüße,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:59 Do 03.03.2005 | | Autor: | Jam |
Hallo Marcel!
mir ist aufgefallen, dass ich die Zeilen vertauscht habe, und zwar die 2. und die 3.. Aber mir sind die Schritte schon im allgemeinen klar, ich will schließlich keine Doktorarbeit darüber schreiben
Aber ich bin verwirrt, ich habe mich nur mit diesen Variablen beschäftigt und mein Lehrer möchte, dass ich es auch im Unterrricht darstelle, und zwar soll ich [mm] \vektor{n(n+1) \\ 2}^{2} [/mm] und zwischen dem n(n+1) und der 2 soll ein Bruchstrich stehen.
Ich kann das Beweisverfahren einfach nicht darauf anwenden...
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:52 Do 03.03.2005 | | Autor: | Marcel |
Hallo Johann!
> Hallo Marcel!
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> mir ist aufgefallen, dass ich die Zeilen vertauscht habe,
> und zwar die 2. und die 3..
Äh, was ![[haee]](/images/smileys/haee.gif "[haee]") ? Seh ich gerade nicht. Naja, egal .
> Aber mir sind die Schritte
> schon im allgemeinen klar, ich will schließlich keine
> Doktorarbeit darüber schreiben
> Aber ich bin verwirrt, ich habe mich nur mit diesen
> Variablen beschäftigt
Nur mit diesen Variablen? Ich versteh gerade nicht, was du mir da eigentlich sagen willst...
> und mein Lehrer möchte, dass ich es
> auch im Unterrricht darstelle, und zwar soll ich
> [mm]\vektor{n(n+1) \\ 2}^{2}[/mm] und zwischen dem n(n+1) und der 2
> soll ein Bruchstrich stehen.
Sorry, aber nochmal: Was ? Was sollst du zeigen? Du sagst mir, du sollst [m]\left(\bruch{n*(n+1)}{2}\right)^2[/m] zeigen??? Das macht doch keinen Sinn...
Meinst du vielleicht, dass du zeigen sollst, dass:
[m]\sum_{k=0}^n k=\frac{n}{2}*(n+1)[/m] ($n [mm] \in \IN_{\,0}$)? [/mm] Anscheinend nicht, denn bei dir steht da noch ein Quadrat. Tut mir leid, ich versteh dich gerade nicht und weiß nicht, was du meinst ![[keineahnung]](/images/smileys/keineahnung.gif "[keineahnung]") ...
> Ich kann das Beweisverfahren einfach nicht darauf
> anwenden...
Du meinst das Beweisverfahren der vollständigen  Induktion. Naja, erläutere mal, was du zeigen sollst. Aus deinen obigen Sätzen kann ich leider gar nichts erschließen ![[sorry]](/images/smileys/sorry.gif "[sorry]") ...
Viele Grüße,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:57 Sa 05.03.2005 | | Autor: | Jam |
Hallo!
Typisch mein Lehrer, vergisst und/oder verschweigt mir die hälfte, ich habe mich nochmal erkundigt und mein Lehrer meinte ich sollte für die Kubikzahlen aus dem Bereich der speziellen Partialsummen, dieses Beispiel beweisen:
$ [mm] 1^{3}+2^{3}+3^{3}+...+n^{3}=\summe_{i=1}^{n}i^{3}=[n(n+1)/2]^{2} [/mm] $
Nun verstehe ich den ersten schritt, hinter dem ersten gleichheitszeichen auch bis auf dieses $ [mm] i^{2} [/mm] $
Und müsste ich nicht erst $ [mm] ...=[n(n)/2]^{2} [/mm] $ beweisen um überhaupt mit diesem hier anfangen zu können?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:20 Sa 05.03.2005 | | Autor: | Marcel |
Hallo Jam!
> Hallo!
>
> Typisch mein Lehrer, vergisst und/oder verschweigt mir die
> hälfte, ich habe mich nochmal erkundigt und mein Lehrer
> meinte ich sollte für die Kubikzahlen aus dem Bereich der
> speziellen Partialsummen, dieses Beispiel beweisen:
>
>
> [mm]1^{3}+2^{3}+3^{3}+...+n^{3}=\summe_{i=1}^{n}i^{3}=[n(n+1)/2]^{2}[/mm]
>
> Nun verstehe ich den ersten schritt, hinter dem ersten
> gleichheitszeichen auch bis auf dieses [mm]i^{2}[/mm]
Da steht aber nirgends ein [mm] $i^2$...
[/mm]
Hast du Probleme mit dem ![[]](/images/popup.gif) Summenzeichen und daher mit folgender Gleichheit:
[mm] $\sum_{i=1}^n i^3=1^3+2^3+...+n^3$?
[/mm]
Es gilt (für z.B. [mm] $a_1,...,a_n \in \IR$):
[/mm]
[mm] $\sum_{k=1}^1 a_k:=a_1$;[/mm] [m]\sum_{k=1}^{m+1}:=\left(\sum_{k=1}^m a_k\right)+a_{m+1}[/m] (für [m]m=1,...,n-1[/m]).
Bei dir ist dann halt [mm] $a_i:=i^3$ [/mm] ($i [mm] \in \IN$)...
[/mm]
> Und müsste ich nicht erst [mm]...=[n(n)/2]^{2}[/mm] beweisen um
> überhaupt mit diesem hier anfangen zu können?
Da versteh ich deine Frage nicht. Du mußt nachrechnen:
1.) Induktionsanfang: $n=1$:
Nachrechnen, dass diese Gleichheit [mm] $\sum_{i=1}^1 i^3=\left(\frac{1*(1+1)}{2}\right)^2$ [/mm] gilt!
2.) Induktionsschritt:
$n [mm] \mapsto [/mm] n+1:$
(Bemerkung:
Du hast zu zeigen:
[m]\sum_{i=1}^{n+1} i^3=\left(\frac{(n+1)*((n+1)+1)}{2}\right)^2[/m]
Denn genau dieser Ausdruck entsteht ja, wenn du bei:
[mm] $\sum_{i=1}^n i^3=\left(\frac{n(n+1)}{2}\right)^2$ [/mm] überall das $n$ durch $n+1$ ersetzt.)
Nun gehst du das an:
[m]\sum_{i=1}^{n+1}i^3=\underbrace{\left(\sum_{i=1}^n i^3\right)}_{hierauf\;Ind.-Voraussetzung\;anwenden}+(n+1)^3=...[/m]
und mußt nun solange umformen, bis am Ende [m]\left(\frac{(n+1)*(n+2)}{2}\right)^2[/m] da steht. Sorry, aber ich muß mich hier schon extrem beherrschen (und weiß auch gerade nicht, ob ich dir hier nicht schon zu viel helfe bei deiner Facharbeit; ich hoffe, es hält sich im Rahmen...), dir nicht alles vorzurechnen und hoffe, du kommst damit klar.
Andererseits findet man im Internet z.B. auch Quellen [mm] ($\leftarrow$ click me! ;-)), wo der Beweis drinsteht (und er steht ja auch in verschiedenen Büchern) und wüßte eigentlich daher auch keinen Grund, ihn hier nicht vollständig aufzuschreiben. Aber ich belasse es mal dabei, lies dir einfach mal den obigen Link genau durch und geh auf die Suche nach der "Summe der ersten n Kubikzahlen"... ;-)
Viele Grüße,
Marcel
[/mm]
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![[guckstduhier]](/images/smileys/guckstduhier.gif "[guckstduhier]"){kind=small}
