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Forum "Uni-Analysis-Induktion" - Vollständige Induktion
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Vollständige Induktion: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 10:15 Fr 23.01.2009
Autor: Lisa-19

Aufgabe
Beweisen Sie: Die Summe der ersten n positiven Kubikzahlen ist gleich dem Quadrat der Summe der ersten n positiven Zahlen.

Hallo,
ich komme bei der Aufgabe nicht weiter :(

Meine Lösung:
[mm] \summe_{i=1}^{n} i^3 [/mm] = [mm] (\summe_{i=1}^{n} i)^2 [/mm] = (in Vorlesung bewiesen) [mm] ((n(n+1))/2)^2 [/mm]

I-Anfang:
Für n=1 gilt:
[mm] \summe_{i=1}^{1} i^3 [/mm] =1 = [mm] (\summe_{i=1}^{1} i)^2 [/mm]

I-Schritt:
I-Voraussetzung: Für ein beliebiges n [mm] \in [/mm] IN gilt:
[mm] \summe_{i=1}^{n} i^3 [/mm] = [mm] (\summe_{i=1}^{n} i)^2 [/mm] = (in Vorlesung bewiesen) [mm] ((n(n+1))/2)^2 [/mm]

I-Behauptung: Für den Nachfolger n+1 gilt:
[mm] \summe_{i=1}^{n+1} i^3 [/mm] = [mm] (\summe_{i=1}^{n+1} i)^2 [/mm] = (in Vorlesung bewiesen) [mm] (((n+1)(n+1+1))/2)^2 [/mm]

I-Beweis:
[mm] \summe_{i=1}^{n+1} i^3= \summe_{i=1}^{n} i^3 +(n+1)^3 [/mm] = [mm] ((n(n+1))/2)^2 [/mm] + [mm] (n+1)^3 [/mm] = [mm] ((n^2+n)/2)^2 [/mm] + [mm] n^3+3n^2+3n+1 [/mm]

So jetzt komme ich nicht weiter. Ist es wohl bis hier hin richtig?

        
Bezug
Vollständige Induktion: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:22 Fr 23.01.2009
Autor: schachuzipus

Hallo Lisa-19,

> Beweisen Sie: Die Summe der ersten n positiven Kubikzahlen
> ist gleich dem Quadrat der Summe der ersten n positiven
> Zahlen.
>  Hallo,
>  ich komme bei der Aufgabe nicht weiter :(
>  
> Meine Lösung:
>  [mm]\summe_{i=1}^{n} i^3[/mm] = [mm](\summe_{i=1}^{n} i)^2[/mm] = (in
> Vorlesung bewiesen) [mm]((n(n+1))/2)^2[/mm]
>  
> I-Anfang:
>  Für n=1 gilt:
>  [mm]\summe_{i=1}^{1} i^3[/mm] =1 = [mm](\summe_{i=1}^{1} i)^2[/mm]
>  
> I-Schritt:
>  I-Voraussetzung: Für ein beliebiges n [mm]\in[/mm] IN gilt:
>  [mm]\summe_{i=1}^{n} i^3[/mm] = [mm](\summe_{i=1}^{n} i)^2[/mm] = (in
> Vorlesung bewiesen) [mm]((n(n+1))/2)^2[/mm]
>  
> I-Behauptung: Für den Nachfolger n+1 gilt:
>  [mm]\summe_{i=1}^{n+1} i^3[/mm] = [mm](\summe_{i=1}^{n+1} i)^2[/mm] = (in
> Vorlesung bewiesen) [mm](((n+1)(n+1+1))/2)^2[/mm]
>  
> I-Beweis:
>  [mm]\summe_{i=1}^{n+1} i^3= \summe_{i=1}^{n} i^3 +(n+1)^3[/mm] =
> [mm]((n(n+1))/2)^2[/mm] + [mm](n+1)^3[/mm] = [mm]((n^2+n)/2)^2[/mm] + [mm]n^3+3n^2+3n+1[/mm] [ok]
>  
> So jetzt komme ich nicht weiter. Ist es wohl bis hier hin
> richtig?

Ja, nur etwas umständlich, wenn du alles ausmultiplizierst, siehst du nicht so gut, wie du auf das Ergebnis kommst

Klammere lieber aus:

[mm] $\sum\limits_{i=1}^{n+1}i^3=...=\left(\frac{n(n+1)}{2}\right)^2+(n+1)^3$ [/mm]

Mit 4 erweitern

[mm] $=\frac{n^2(n+1)^2}{4}+\frac{\blue{4}(n+1)^3}{\blue{4}}$ [/mm]

[mm] $=\frac{n^2(n+1)^2+4(n+1)(n+1)^2}{4}$ [/mm]

Nun [mm] $(n+1)^2$ [/mm] ausklammern und du bist schon fast am Ziel ;-)

LG

schachuzipus


Bezug
                
Bezug
Vollständige Induktion: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 10:40 Fr 23.01.2009
Autor: Lisa-19

Erst mal: Danke :)
Wie komme ich denn dadrauf, mit 4 zu erweitern?

Bezug
                        
Bezug
Vollständige Induktion: gleichnamig machen
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:56 Fr 23.01.2009
Autor: Roadrunner

Hallo Lisa!


Hier wurde mit 4 erweitert, um mit dem 1. Bruch gleichnamig zu machen.


Gruß vom
Roadrunner


Bezug
                                
Bezug
Vollständige Induktion: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:10 Fr 23.01.2009
Autor: Lisa-19

Ich verstehe wohl, dass man die beiden Brüche auf einen Nenner bringen will, aber wie kommt man dabei auf die 4?

Und wenn ich dann [mm] (n+2)^2 [/mm] aus klammere, sieht das dann so aus:

[mm] ((n+1)^2*(n^2+4(n+1))/2 [/mm] ?
Irgendwie finde ich meine Behauptung hier immernoch nicht wieder...

Bezug
                                        
Bezug
Vollständige Induktion: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 11:11 Fr 23.01.2009
Autor: Lisa-19

ich meine /4 nicht /2

Bezug
                                        
Bezug
Vollständige Induktion: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:34 Fr 23.01.2009
Autor: reverend

Hallo Lisa,

es geht ja um die Rechenschritte ab hier:

[mm] \sum\limits_{i=1}^{n+1}i^3=...=\left(\frac{n(n+1)}{2}\right)^2+(n+1)^3 [/mm]

schachuzipus löst erst einmal die linke große Klammer auf:

[mm] \left(\frac{n(n+1)}{2}\right)^2+(n+1)^3=\bruch{n^2(n+1)^2}{\blue{2^2}}+(n+1)^3 [/mm]

Dann bringt er (im gleichen Schritt) auch den rechten Term auf den Nenner [mm] \blue{2^2=4}: [/mm]

[mm] =\frac{n^2(n+1)^2}{4}+\frac{\blue{4}(n+1)^3}{\blue{4}} [/mm]

Auf einen Bruchstrich bringen und ausklammern:

[mm] =\bruch{\red{n^2}(n+1)^2+(\red{4(n+1)}(n+1)^2}{4}=\bruch{\red{(n^2+4(n+1))}(n+1)^2}{4} [/mm]

Und jetzt musst Du "nur noch" die rote Klammer in eine andere Form bringen. Das Ergebnis, das Du im Induktionsschritt haben willst bzw. das zu zeigen ist, wäre dieses:

[mm] \bruch{(n+1)^2(n+2)^2}{4}=\left(\bruch{(n+1)(n+2)}{2}\right)^2 [/mm]

Da bist Du doch nicht mehr weit entfernt...

lg,
reverend

Bezug
                                                
Bezug
Vollständige Induktion: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 11:52 Fr 23.01.2009
Autor: Lisa-19

Ahhh...viele Dank! Jetzt habe ich es verstanden!! Danke :)

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