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Vollständige Induktion: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:57 Do 12.02.2009
Autor: Object-oriented

Aufgabe
Ein Rechteck wird durch n Geraden in Dreiecke, Vierecke, Fünfecke usw. zerlegt. Wie viele Teile entstehen höchstens? Beweisen Sie Ihre Vermutung. Anleitung: Wie viele Schnittpunkte hat eine neu hinzugekommene Gerade höchstens?

Hallo,

komme bei obiger Aufgabe nicht weiter. Eine Vermutung habe ich bereits herausgefunden, aber beim Beweis hängt's:

Behauptung: [mm] Teile_{max}=1+\summe_{i=0}^{n}i [/mm] für [mm] n\in\IN; n\ge0 [/mm]
Beweis: vollständige Induktion
Induktionsanfang: n=0: [mm] Teile_{max}=1+\summe_{i=0}^{0}i=1+0=1 [/mm]
[mm] \to [/mm] Behauptung ist wahr für n=0
Vermutung: [mm] Teile_{max}=1+\summe_{i=0}^{n}i [/mm]
Schluss von n auf n+1: ???

Mein Problem ist, dass meine Behauptung diesmal nur aus einer Formel besteht. Sonst sah die Behauptung immer so aus: Ausdruck1 = Ausdruck2
Beim Beweis habe ich dann einfach in Ausdruck1 und Ausdruck2 für n immer n+1 eingesetzt und Ausdruck1 dann solange umgeformt, bis der Ausdruck2 herauskam. Somit war es bewiesen.

Nur wie soll ich das hier umformen?
[mm] Teile_{max}=1+\summe_{i=0}^{n+1}i=1+\summe_{i=0}^{n}(i)+(n+1) [/mm] ??

Damit wäre es zwar irgendwie bewiesen, weil ich in meiner Tabelle sehe, dass die n-te Gerade immer n+1 zusätzliche Flächen erzeugt. Aber das kann ja nicht die Lösung sein. Ich darf zum Beweisen ja nur meine Behauptung verwenden. Es ist schließlich nicht bewiesen, dass die n-te Gerade max. n+1 zusätzliche Flächen erzeugt.

Wie geht es also sonst weiter?

Die Frage wurde nirgends sonst gestellt.

        
Bezug
Vollständige Induktion: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:17 Do 12.02.2009
Autor: abakus


> Ein Rechteck wird durch n Geraden in Dreiecke, Vierecke,
> Fünfecke usw. zerlegt. Wie viele Teile entstehen höchstens?
> Beweisen Sie Ihre Vermutung. Anleitung: Wie viele
> Schnittpunkte hat eine neu hinzugekommene Gerade
> höchstens?
>  Hallo,
>  
> komme bei obiger Aufgabe nicht weiter. Eine Vermutung habe
> ich bereits herausgefunden, aber beim Beweis hängt's:
>  
> Behauptung: [mm]Teile_{max}=1+\summe_{i=0}^{n}i[/mm] für [mm]n\in\IN; n\ge0[/mm]
>  
> Beweis: vollständige Induktion
>  Induktionsanfang: n=0:
> [mm]Teile_{max}=1+\summe_{i=0}^{0}i=1+0=1[/mm]
>  [mm]\to[/mm] Behauptung ist wahr für n=0
>  Vermutung: [mm]Teile_{max}=1+\summe_{i=0}^{n}i[/mm]
>  Schluss von n auf n+1: ???
>  
> Mein Problem ist, dass meine Behauptung diesmal nur aus
> einer Formel besteht. Sonst sah die Behauptung immer so
> aus: Ausdruck1 = Ausdruck2
>  Beim Beweis habe ich dann einfach in Ausdruck1 und
> Ausdruck2 für n immer n+1 eingesetzt und Ausdruck1 dann
> solange umgeformt, bis der Ausdruck2 herauskam. Somit war
> es bewiesen.
>  
> Nur wie soll ich das hier umformen?
>  
> [mm]Teile_{max}=1+\summe_{i=0}^{n+1}i=1+\summe_{i=0}^{n}(i)+(n+1)[/mm]
> ??
>  
> Damit wäre es zwar irgendwie bewiesen, weil ich in meiner
> Tabelle sehe, dass die n-te Gerade immer n+1 zusätzliche
> Flächen erzeugt. Aber das kann ja nicht die Lösung sein.
> Ich darf zum Beweisen ja nur meine Behauptung verwenden. Es
> ist schließlich nicht bewiesen, dass die n-te Gerade max.
> n+1 zusätzliche Flächen erzeugt.

Wann entsteht eine neue Fläche?
Nimm an, du hast bereits n Geraden (die nicht parallel sind und sich auch alle innerhalb des Rechtecks paarweise schneiden) durch das Rechteck gezogen.
Die nächste Gerade kann alle n Geraden und zweimal die Begrenzung des Rechtecks schneiden.
All diese Schnittpunkte liegen der Reihe nach auf der Geraden . Eine neue Teilfläche entsteht, indem aus einer besteheden Fläche eine Teilfläche ausgeschnitten wird. Zwischen den genannten n+2 Schnittpunkten der neuen Geraden liegen n+1 abgeschnittene Flächen.

Man kann hier wirklich nicht nur mit Formeln arbeiten, sondern muss auch zur geometrischen Sachlage argumentieren.

Gruß Abakus


>  
> Wie geht es also sonst weiter?


>  
> Die Frage wurde nirgends sonst gestellt.


Bezug
                
Bezug
Vollständige Induktion: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 19:51 Do 12.02.2009
Autor: Object-oriented

Hm, okay, ich dachte, man müsste irgendwas rechnen.
Aber danke!


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