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| Aufgabe | Beweise:
[mm] 2(\wurzel{n+1}-\wurzel{n})<\bruch{1}{\wurzel{n}} [/mm] |
Hallo Leute,
Induktionsanfang für A{n=1} [mm] 2*(\wurzel{2}-1) [/mm] < 1 ist wahr.
Induktionsvoraussetzung ist [mm] 2(\wurzel{n+1}-\wurzel{n})<\bruch{1}{\wurzel{n}}
[/mm]
Induktionsschluss A(n) -> A(n+1)
[mm] 2(\wurzel{n+2}-\wurzel{n+1})<\bruch{1}{\wurzel{n+1}}
[/mm]
Wie aber kann ich jetzt anhand meiner Vorraussetzung A(n+1) = [mm] \bruch{1}{\wurzel{n+1}} [/mm] beweisen? Habt ihr einen Tipp?
Gruß Daniel
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> Beweise:
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> [mm]2(\wurzel{n+1}-\wurzel{n})<\bruch{1}{\wurzel{n}}[/mm]
> Hallo Leute,
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> Induktionsanfang für A{n=1} [mm]2*(\wurzel{2}-1)[/mm] < 1 ist
> wahr.
>
> Induktionsvoraussetzung ist
> [mm]2(\wurzel{n+1}-\wurzel{n})<\bruch{1}{\wurzel{n}}[/mm]
>
> Induktionsschluss A(n) -> A(n+1)
>
> [mm]2(\wurzel{n+2}-\wurzel{n+1})<\bruch{1}{\wurzel{n+1}}[/mm]
>
> Wie aber kann ich jetzt anhand meiner Vorraussetzung A(n+1)
> = [mm]\bruch{1}{\wurzel{n+1}}[/mm] beweisen? Habt ihr einen Tipp?
>
> Gruß Daniel
Hallo Daniel,
muss es denn unbedingt ein Beweis durch vollständige
Induktion sein ? Ich würde es auf andere Weise versuchen,
nämlich durch reine Umformungen, wobei man zweimal
quadrieren muss, um schliesslich alle Wurzeln loszuwerden.
Wenn man dann die wurzelfreie Ungleichung hat, verein-
facht sie sich - schwupps - zu einer ganz simplen und
für [mm] n\in\IN [/mm] offensichtlich gültigen Ungleichung.
LG Al-Chw.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:14 Fr 18.09.2009 | | Autor: | fred97 |
> Beweise:
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> [mm]2(\wurzel{n+1}-\wurzel{n})<\bruch{1}{\wurzel{n}}[/mm]
> Hallo Leute,
>
> Induktionsanfang für A{n=1} [mm]2*(\wurzel{2}-1)[/mm] < 1 ist
> wahr.
>
> Induktionsvoraussetzung ist
> [mm]2(\wurzel{n+1}-\wurzel{n})<\bruch{1}{\wurzel{n}}[/mm]
>
> Induktionsschluss A(n) -> A(n+1)
>
> [mm]2(\wurzel{n+2}-\wurzel{n+1})<\bruch{1}{\wurzel{n+1}}[/mm]
>
> Wie aber kann ich jetzt anhand meiner Vorraussetzung A(n+1)
> = [mm]\bruch{1}{\wurzel{n+1}}[/mm] beweisen? Habt ihr einen Tipp?
>
> Gruß Daniel
Ich kann mich Al nur anschließen: Induktion scheint hier nicht geeignet zu sein.
Eine weitere Möglichkeit: Multiplziere die Ungleichung mit
[mm] \wurzel{n+1}+\wurzel{n}
[/mm]
durch.
FRED
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Okay, bei beiden Lösungswegen schleichen sich Fehler ein, die ich nicht finde.
Erster Ansatz:
[mm] 2(\wurzel{n+1}-\wurzel{n})<\bruch{1}{\wurzel{n}}
[/mm]
[mm] (\wurzel{n+1}-\wurzel{n})^2<\bruch{1}{4n} [/mm] // quadriere und teile durch 4
[mm] n+1-2\wurzel{(n+1)*n}+n<\bruch{1}{4n} [/mm] // wende das 3te Binom an
[mm] -2\wurzel{(n+1)*n}<\bruch{1}{4n}-2n-1
[/mm]
[mm] -2\wurzel{(n+1)*n}<\bruch{1-8n^2-4n}{4n} [/mm] //quadieren wieder
[mm] 4(n+1)^2*n^2<\bruch{(1-8n^2-4n)^2}{16n^2} [/mm] // ausmultipliziert und zusammen gefasst
[mm] 64n^4(n^2+n+1)<9+48n^2+64n^4
[/mm]
ab hier kanns nur noch schlimmer werden ~~ ??
Zweiter Ansatz: Hinweis ich erweitere so um auf das dritte Binom zukommen
[mm] 2(\wurzel{n+1}-\wurzel{n})<\bruch{1}{\wurzel{n}}
[/mm]
[mm] 2(\wurzel{n+1}-\wurzel{n})*(\wurzel{n+1}+\wurzel{n})<\bruch{1}{\wurzel{n}}*\wurzel{n+1}+\wurzel{n}
[/mm]
2 < [mm] \bruch{\wurzel{n+1}+\wurzel{n}}{\wurzel{n}}
[/mm]
So jetzt bin ich von diesem Term aus 2 verschiedene Wege gegangen:
1 Weg:
2 < [mm] \bruch{\wurzel{n+1}}{\wurzel{n}}+1 [/mm]
1 < [mm] \bruch{n+1}{n} [/mm] <-- hier siet man aber schon direkt das für n=1 die Lösung falsch ist...
2 Weg:
2 < [mm] \bruch{\wurzel{n+1}+\wurzel{n}}{\wurzel{n}} [/mm] // hab ich diesmal als ganzes quadriert...
[mm] 2^2 [/mm] < [mm] (\bruch{\wurzel{n+1}+\wurzel{n}}{\wurzel{n}})^2
[/mm]
[mm] 4<\bruch{n+1+2\wurzel{(n+1)*n}+n}{n}
[/mm]
[mm] 2n-1<2\wurzel{(n+1)*n} [/mm] // quadriere wieder und fasse zusammen
[mm] (2n-1)^2<4n(n+1)
[/mm]
[mm] 12n^2-4n+1 [/mm] < 0 hmm jo das stimmt wohl auch nicht :(
Wär total super, wenn ihr beiden Ansätzen kommentieren könntet und zeigt was ich jeweils falsch gemacht habe. Ich bin einfach zu sehr aus der Übung gekommen. Sorry.
Soo, ich hoffe, ich habs ordentlich genug dargestellt und genügend kommentiert damit man sich schnell zurecht finden kann.
Ich freue mich über jede Antwort.
Lg Daniel
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Hallo Daniel,
> Okay, bei beiden Lösungswegen schleichen sich Fehler ein,
> die ich nicht finde.
>
> Erster Ansatz:
> [mm]2(\wurzel{n+1}-\wurzel{n})<\bruch{1}{\wurzel{n}}[/mm]
>
> [mm](\wurzel{n+1}-\wurzel{n})^2<\bruch{1}{4n}[/mm] // quadriere und
> teile durch 4
>
> [mm]n+1-2\wurzel{(n+1)*n}+n<\bruch{1}{4n}[/mm] // wende das 3te
> Binom an
>
> [mm]-2\wurzel{(n+1)*n}<\bruch{1}{4n}-2n-1[/mm]
>
> [mm]-2\wurzel{(n+1)*n}<\bruch{1-8n^2-4n}{4n}[/mm] //quadieren
> wieder
>
> [mm]4(n+1)^2*n^2<\bruch{(1-8n^2-4n)^2}{16n^2}[/mm] // ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
da hast du links statt die Wurzel den Wurzelinhalt quadriert !
> ausmultipliziert und zusammen gefasst
>
> [mm]64n^4(n^2+n+1)<9+48n^2+64n^4[/mm]
da fehlt in der Klammer links ein Faktor 2 beim n,
und rechts müsste auch ein anderer Term stehen
> ab hier kanns nur noch schlimmer werden ~~ ??
wird's eben nicht, wenn man korrekt umformt ...
Zu diesem Weg ist noch anzumerken, dass man beim
Quadrieren nur solche Schritte ausführt, die auch
in der umgekehrten Richtung funktionieren !
Insofern ist der von Fred vorgeschlagene Ansatz
wesentlich eleganter, abgesehen davon, dass er
auch kürzer ist.
> Zweiter Ansatz: Hinweis ich erweitere so um auf das dritte
> Binom zukommen
>
> [mm]2(\wurzel{n+1}-\wurzel{n})<\bruch{1}{\wurzel{n}}[/mm]
>
> [mm]2(\wurzel{n+1}-\wurzel{n})*(\wurzel{n+1}+\wurzel{n})<\bruch{1}{\wurzel{n}}*\wurzel{n+1}+\wurzel{n}[/mm]
vielleicht hast du da noch eine Klammer gemeint,
aber keine geschrieben !
> 2 < [mm]\bruch{\wurzel{n+1}+\wurzel{n}}{\wurzel{n}}[/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
so passt's wieder...
> So jetzt bin ich von diesem Term aus 2 verschiedene Wege
> gegangen:
>
> 1 Weg:
>
> 2 < [mm]\bruch{\wurzel{n+1}}{\wurzel{n}}+1[/mm]
>
> 1 < [mm]\bruch{n+1}{n}[/mm] <-- hier siet man aber schon direkt
> das für n=1 die Lösung falsch ist... ![[verwirrt]](/images/smileys/verwirrt.gif "[verwirrt]")
Ach so ... das hätte ich jetzt nicht gesehen !
> 2 Weg:
>
> 2 < [mm]\bruch{\wurzel{n+1}+\wurzel{n}}{\wurzel{n}}[/mm] // hab ich
> diesmal als ganzes quadriert...
>
> [mm]2^2[/mm] < [mm](\bruch{\wurzel{n+1}+\wurzel{n}}{\wurzel{n}})^2[/mm]
>
> [mm]4<\bruch{n+1+2\wurzel{(n+1)*n}+n}{n}[/mm]
>
> [mm]2n-1<2\wurzel{(n+1)*n}[/mm] // quadriere wieder und fasse
> zusammen
>
> [mm](2n-1)^2<4n(n+1)[/mm]
so weit noch ok
> [mm]12n^2-4n+1[/mm] < 0
... aber da scheinst du wieder sagen wir mal "unkonventionelle"
Umformungsregeln angewandt zu haben 
> hmm jo das stimmt wohl auch nicht :(
LG Al-Chw.
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Okay neuer Versuch, nochmals ausführlicher:
$ [mm] -2\wurzel{(n+1)\cdot{}n}<\bruch{1-8n^2-4n}{4n} [/mm] $ //quadriere
$ [mm] 4n(n+1)<\bruch{(1-8n^2-4n)^2}{16n^2} [/mm] $ // auflösen
[mm] 64n^3(n+1)<(1-8n^2-4n)(1-8n^2-4n)
[/mm]
[mm] 64n^4+64n^3<1-8n^2-4n-8n^2+64n^4+32n^3-4n+32n^3+16n^2
[/mm]
[mm] 64n^4+64n^3<1-8n+64n^4+64n^3
[/mm]
0 < 1-8n
arg das sieht zwar schon besser als, aber damit wäre der Beweis hinfällig und falsch...wo ist der dieser Fehlerteufel?
$ [mm] 2(\wurzel{n+1}-\wurzel{n})\cdot{}(\wurzel{n+1}+\wurzel{n})<\bruch{1}{\wurzel{n}}\cdot{}\wurzel{n+1}+\wurzel{n} [/mm] $
Wo fehlt denn dort eine Klammer? Ich denke das ist alles okay bei der Erweiterung!?
2 < $ [mm] \bruch{\wurzel{n+1}}{\wurzel{n}}+1 [/mm] $
folgt $ 1 < [mm] \bruch{n+1}{n} [/mm] $
Ist das nun richtig oder nicht?! Müsste ja laut Aufgabenstellung, von mir falsch gerechnet worden sein oder wenn n > 1,2,... und nich >= 1,2,... bewiesen werden sollte, oder ist das egal?
Dann der 3te Weg von $ [mm] (2n-1)^2<4n(n+1) [/mm] $ aus
bekomme ich das erste mal etwas "gutes" raus...
1 < 8n Also sollte ich es damit das erste Mal bewiesen habe, right?^^
Grüße Daniel
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Hallo Daniel,
> Okay neuer Versuch, nochmals ausführlicher:
>
> [mm]-2\wurzel{(n+1)\cdot{}n}<\bruch{1-8n^2-4n}{4n}[/mm]
> //quadriere
>
> [mm]4n(n+1)<\bruch{(1-8n^2-4n)^2}{16n^2}[/mm] // auflösen
>
> [mm]64n^3(n+1)<(1-8n^2-4n)(1-8n^2-4n)[/mm]
>
> [mm]64n^4+64n^3<1-8n^2-4n-8n^2+64n^4+32n^3-4n+32n^3+16n^2[/mm]
>
> [mm]64n^4+64n^3<1-8n+64n^4+64n^3[/mm]
>
> 0 < 1-8n
>
> arg das sieht zwar schon besser als, aber damit wäre der
> Beweis hinfällig und falsch...wo ist der dieser
> Fehlerteufel?
Einen Rechenfehler hast du nicht, aber das Quadrieren im ersten Schritt ist keine Äquivalenzumformung:
Beiderseits der Ungleichung stehen negative Terme, wenn du da quadrierst ...
Bsp. $-3<-2$
[mm] $\not\Rightarrow (-3)^2=9<4=(-2)^2$
[/mm]
Besser ist der andere Weg!
>
> [mm]2(\wurzel{n+1}-\wurzel{n})\cdot{}(\wurzel{n+1}+\wurzel{n})<\bruch{1}{\wurzel{n}}\cdot{}\wurzel{n+1}+\wurzel{n}[/mm]
>
> Wo fehlt denn dort eine Klammer? Ich denke das ist alles
> okay bei der Erweiterung!?
>
> 2 < [mm]\bruch{\wurzel{n+1}}{\wurzel{n}}+1[/mm]
>
> folgt [mm]1 < \bruch{n+1}{n}[/mm]
Hier geht das Quadrieren, da auf beiden Seiten positive Ausdrücke stehen
Also [mm] $1<\frac{n}{n}+\frac{1}{n}$
[/mm]
[mm] $\gdw 1<1+\frac{1}{n}$
[/mm]
[mm] $\gdw 0<\frac{1}{n}$
[/mm]
Und das ist doch offensichtlich für alle [mm] $n\in\IN$ [/mm] der Fall
>
> Ist das nun richtig oder nicht?! Müsste ja laut
> Aufgabenstellung, von mir falsch gerechnet worden sein oder
> wenn n > 1,2,... und nich >= 1,2,... bewiesen werden
> sollte, oder ist das egal?
Wie? Wo? Was? ![[bahnhof]](/images/smileys/bahnhof.gif "[bahnhof]")
Das alles gilt für alle [mm] $n\ge [/mm] 1$, also alle [mm] $n\in\IN$
[/mm]
>
> Dann der 3te Weg von [mm](2n-1)^2<4n(n+1)[/mm] aus
>
> bekomme ich das erste mal etwas "gutes" raus...
>
> 1 < 8n
auch eine wahre Aussage für alle [mm] $n\in\IN$
[/mm]
> Also sollte ich es damit das erste Mal bewiesen
> habe, right?^^
Eigentlich ist es schon mit dem "2.Weg" bewiesen, siehe oben, du hattest es nur nicht bis ganz zum Ende durchgezogen
>
>
>
> Grüße Daniel
>
>
LG
schachuzipus
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Hallo nochmal,
eines habe ich vergessen:
> [mm] $2(\wurzel{n+1}-\wurzel{n})\cdot{}(\wurzel{n+1}+\wurzel{n})<\bruch{1}{\wurzel{n}}\cdot{}\red{(}\wurzel{n+1}+\wurzel{n}\red{)}$
[/mm]
> >
> > Wo fehlt denn dort eine Klammer? Ich denke das ist alles
> > okay bei der Erweiterung!?
Dort!
LG
schachuzipus
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Super Antworten von euch! Danke erstmal dafür....
Ich würde gerne auf ersteren Fall nochmal zusprechen kommen
$ [mm] -2\wurzel{(n+1)\cdot{}n}<\bruch{1-8n^2-4n}{4n} [/mm] $
Ich sehe ein, dass man hier nicht einfach quadrieren darf, aber wie sollte man denn dann weiter rechen? Man muss doch schließlich den Wurzelausdruck beseitigen, irgendwie^^?
Grüße Daniel
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Hallo nochmal,
> Super Antworten von euch! Danke erstmal dafür....
> Ich würde gerne auf ersteren Fall nochmal zusprechen
> kommen
>
> [mm]-2\wurzel{(n+1)\cdot{}n}<\bruch{1-8n^2-4n}{4n}[/mm]
>
> Ich sehe ein, dass man hier nicht einfach quadrieren darf,
> aber wie sollte man denn dann weiter rechen? Man muss doch
> schließlich den Wurzelausdruck beseitigen, irgendwie^^?
Teile zunächst durch $-2$
Achtung, dadurch dreht sich das Ungleichheitszeichen um, außerdem "werden" die Terme auf beiden Seiten positiv, also
[mm] $\sqrt{n(n+1)} [/mm] \ [mm] \red{>} [/mm] \ [mm] \frac{8n^2+4n-1}{8n}$
[/mm]
Nun kannst du wieder quadrieren und analog der Rechnung oben zusammenfassen und müsstest auf $8n>1$ kommen ...
>
> Grüße Daniel
LG
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:19 Fr 18.09.2009 | | Autor: | Blaub33r3 |
Danke!!!!! :)
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