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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:08 Fr 16.10.2009 | | Autor: | robi2 |
Hallo liebe User,
ich komme mit der vollständigen Induktion leider nur begrenzt zurecht..
Erstmal die Aufgabe:
[mm] \summe_{k=0}^{n}q^{k}=q^{0},q^{1},q^{2}+.....+q^{n}=\bruch{q^{n+1}-1}{q-1}
[/mm]
und [mm] (q\not=1)
[/mm]
Nun, was ich nicht verstehte, evtl weil ich dieses Thema erst seit gestern habe, ist die Aussage [mm] (q\not=1) [/mm] denn wenn k=0 ist, dann ist q ja folglich 1 denn eine Zahl n hoch 0 ist 1 und das darf ja laut der Aufgabenstellung nicht sein...wahrscheinlich deute ich die Aussage einfach völlig falsch...kann mir jemand einen Tipp geben?
Würde ich [mm] (q\not=1) [/mm] einfach übersehen wüsste ich natürlich, dass ich
n = 0 setzen kann und dann hätte ich
[mm] q^{0}=\bruch{q^{0+1}-1}{q-1} [/mm] ; also [mm] 1=\bruch{q-1}{q-1} [/mm] => 1=1
damit hätte ich dann beiwiesen, dass [mm] n\mapston+1
[/mm]
bzw. das auf beiden Seiten [mm] q^{n+1} [/mm] zu addieren ist
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Hallo robi2,
> Hallo liebe User,
> ich komme mit der vollständigen Induktion leider nur
> begrenzt zurecht..
> Erstmal die Aufgabe:
>
> [mm]\summe_{k=0}^{n}q^{k}=q^{0},q^{1},q^{2}+.....+q^{n}=\bruch{q^{n+1}-1}{q-1}[/mm] für und [mm](q\not=1)[/mm]
>
> Nun, was ich nicht verstehte, evtl weil ich dieses Thema
> erst seit gestern habe, ist die Aussage [mm](q\not=1)[/mm] denn wenn
> k=0 ist, dann ist q ja folglich 1 denn eine Zahl n hoch 0
> ist 1
Moment, wieso willst du $k=0$ betrachten, das k ist nur ein Hilfsindex, die Induktion läuft über die obere Grenze der Summe, also über n
Und für $n=0$ hast du [mm] $\sum\limits_{k=0}^{0}q^k=q^{0}=1=\frac{q^{0+1}-1}{q-1}=\frac{q-1}{q-1}$
[/mm]
Das passt also.
Allerdings ist die Darstellung rechterhand der Formel nur für [mm] $q\neq [/mm] 1$ erlaubt, denn für $q=1$ stünde im Nenner rechterhand 0, das ist illegal 
bzw. noch schlimmer der unbestimmte Ausdruck [mm] $\frac{0}{0}$
[/mm]
> und das darf ja laut der Aufgabenstellung nicht
> sein...wahrscheinlich deute ich die Aussage einfach völlig
> falsch...kann mir jemand einen Tipp geben?
>
> Würde ich [mm](q\not=1)[/mm] einfach übersehen wüsste ich
> natürlich, dass ich
> n = 0 setzen kann und dann hätte ich
> [mm]q^{0}=\bruch{q^{0+1}-1}{q-1}[/mm] ; also [mm]1=\bruch{q-1}{q-1}[/mm] =>
Diese Darstellungen sind für $q=1$ unsinnig! (Für $q=1$ steht da [mm] $\frac{0}{0}$, [/mm] und das ist ein nicht definierter Ausdruck)
> 1=1
> damit hätte ich dann beiwiesen, dass [mm]n\mapston+1[/mm]
> bzw. das auf beiden Seiten [mm]q^{n+1}[/mm] zu addieren ist
So ganz verstehe ich das nicht ...
Wenn du mal die Summe für $q=1$ hinschreibst, so steht doch da
[mm] $\sum\limits_{k=0}^nq^k=\sum\limits_{k=0}^n1^k=\sum\limits_{k=0}^n1=\underbrace{1+1+1+...+1}_{\text{(n+1)-mal}}=n+1$
[/mm]
Für $q=1$ summierst du also fortlaufend über die 1, da passiert nix spannendes.
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:57 Fr 16.10.2009 | | Autor: | robi2 |
Hej danke, deine Antwort kam ja schneller als der Schall...
also wenn dort [mm] (q\not=1) [/mm] steht heißt es im Klartext, dass q in dem Ausdruck [mm] \bruch{q^{n+1}-1}{q-1} [/mm] nicht 1 sein darf, denn ja es stimmt, dann wäre es ja [mm] \bruch{1-1}{1-1} [/mm] also [mm] \bruch{0}{0}
[/mm]
***
Ich habe die Aussage auf [mm] q^{k} [/mm] bezogen.. naja und wenn dort k=0 steht wird aus q, so dachte ich ja ne 1 und das sollte ja nicht sein...nur so am Rande...
***
> [mm]\sum\limits_{k=0}^nq^k=\sum\limits_{k=0}^n1^k=\sum\limits_{k=0}^n1=\underbrace{1+1+1+...+1}_{\text{(n+1)-mal}}=n+1[/mm]
>
> Für [mm]q=1[/mm] summierst du also fortlaufend über die 1, da
Ist das denn bereits die Lösung?
Oder muss ich (n+1) noch addieren also:
[mm] q^{n+1}=\bruch{q^{n+2}-1}{q-1} [/mm] ? :/
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Hallo nochmal,
> Hej danke, deine Antwort kam ja schneller als der
> Schall...
> also wenn dort [mm](q\not=1)[/mm] steht heißt es im Klartext,
> dass q in dem Ausdruck [mm]\bruch{q^{n+1}-1}{q-1}[/mm] nicht 1 sein
> darf, denn ja es stimmt, dann wäre es ja [mm]\bruch{1-1}{1-1}[/mm]
> also [mm]\bruch{0}{0}[/mm]
> ***
> Ich habe die Aussage auf [mm]q^{k}[/mm] bezogen.. naja und wenn
> dort k=0 steht wird aus q, so dachte ich ja ne 1 und das
> sollte ja nicht sein...nur so am Rande...
> ***
Ja, das bekommst du quasi im Induktionsanfang für $n=0$, dort hast du nur den einen Summanden [mm] $q^0=1$ [/mm] und das passt ja dann auch mit der rechten Seite, wie in der anderen Antwort schon steht
> >
> [mm]\sum\limits_{k=0}^nq^k=\sum\limits_{k=0}^n1^k=\sum\limits_{k=0}^n1=\underbrace{1+1+1+...+1}_{\text{(n+1)-mal}}=n+1[/mm]
> >
> > Für [mm]q=1[/mm] summierst du also fortlaufend über die 1, da
>
> Ist das denn bereits die Lösung?
> Oder muss ich (n+1) noch addieren also:
> [mm]q^{n+1}=\bruch{q^{n+2}-1}{q-1}[/mm] ? :/
Hier verstehe ich wieder nicht, was du meinst
Die Formel, die es zu zeigen gilt, gilt nur für (beliebiges, aber dann festes!) [mm] $q\neq [/mm] 1$
Für $q=1$ gilt die Formel nicht.
Für $q=1$ gilt ersichtlich die Formel, die ich oben hingeschrieben habe, also [mm] $\sum\limits_{k=0}^n1^k=n+1$
[/mm]
Das aber nur nebenbei, nun zurück zur eigentlichen Aufgabe, also sei fortan [mm] $q\neq [/mm] 1$
Der Induktionsanfang für n=0 steht nun.
Nun mache mal den Induktionsschritt [mm] $n\to [/mm] n+1$
Nimm dazu ein beliebiges, aber festes [mm] $n\in\IN, [/mm] n>0$ her und setze voraus, dass die Induktionsvoraussetzung gilt, dass also [mm] $\sum\limits_{k=0}^nq^k=\frac{q^{n+1}-1}{q-1}$ [/mm] gilt
Im eigentlichen Induktionsschritt ist nun zu zeigen, dass unter dieser Induktionsvoraussetzung gefälligst auch gilt:
[mm] $\sum\limits_{k=0}^{n+1}q^k=\frac{q^{n+2}-1}{q-1}$
[/mm]
Dazu nimm dir díe linke Seite dieser zu zeigenden Gleichheit her und forme sie so um, dass du die obige Induktionsvoraussetzung darauf loslassen kannst, also
[mm] $\sum\limits_{k=0}^{n+1}q^k [/mm] \ = \ [mm] \left(\sum\limits_{k=0}^{n}q^k\right) [/mm] \ + \ ....$
Den Rest machst du nun mal ...
Gruß
schachuzipus
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