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| Aufgabe | | Zeigen Sie mit vollständiger Induktion: [mm] n!\ge2^{n-1} (n\in\IN) [/mm] |
Hallo.
Ich kann die beiden Erklärungen "denn: (...)" nicht ganz nachvollziehen.
Beim ersten "denn":
Wird rechts vom [mm] \ge [/mm] mit (n+1) multipliziert, weil auch links vom größer-gleich-Zeichen mit (n+1) multipliziert wurde?
Beim zweiten "denn":
Diese Erklärung leuchtet mir wirklich nicht ein, ebenso leuchtet mir das [mm] 2*2^{n-1} [/mm] vor der Klammer nicht ein.
Induktionsanfang: n=1 Es ist [mm] 1!=1\ge1=2^{0}=2^{1-1}
[/mm]
Induktionsschritt n [mm] \mapsto [/mm] n + 1
Induktionsvoraussetzung: Es gelte für ein [mm] n\in\IN, [/mm] dass [mm] n!\ge2^{n-1} [/mm] wahr ist.
Dann ist
(n+1)! = (n+1)*n!
[mm] \ge(n+1)\*2^{n-1} [/mm] (denn: [mm] n!\ge2^{n-1} \Rightarrow (n+1)*n!\ge(n+1)*2^{n-1})
[/mm]
[mm] \ge2*2^{n-1} [/mm] (denn: [mm] n\ge1 \Rightarrow n+1\ge2)
[/mm]
[mm] =2^{n} [/mm] = [mm] 2^{(n+1)-1}
[/mm]
Vielen Dank.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:02 Sa 13.03.2010 | | Autor: | Loddar |
Hallo el_grecco!
> Beim ersten "denn":
> Wird rechts vom [mm]\ge[/mm] mit (n+1) multipliziert, weil auch
> links vom größer-gleich-Zeichen mit (n+1) multipliziert wurde?
Hier wurde nichts mit $(n+1)_$ multipliziert.
Erst wurde die Definition bzw. eine Eigenschaft der Fakultät anwandt mit:
$$(n+1)! \ = \ n!*(n+1) \ = \ (n+1)*n!$$
Anschließend wurde auf den Term $n!_$ die Induktionsvorausetzung $n! \ [mm] \ge [/mm] \ [mm] 2^{n-1}$ [/mm] angewandt.
> Beim zweiten "denn":
> Diese Erklärung leuchtet mir wirklich nicht ein,
Hm, wenn gilt $n \ [mm] \ge [/mm] \ 1$ , da $n \ [mm] \in [/mm] \ [mm] \IN$ [/mm] , folgt draus natürlich auch unmittelbar:
$$n+1 \ [mm] \ge [/mm] \ 1+1 \ = \ 2$$
> ebenso leuchtet mir das [mm]2*2^{n-1}[/mm] vor der Klammer nicht ein.
Es wurde wieder abgeschätzt mit dem o.g.: $(n+1) \ [mm] \ge [/mm] \ 2$ .
Gruß
Loddar
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| Status: |
(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 18:23 Sa 13.03.2010 | | Autor: | el_grecco |
Danke soweit, Loddar.
Mein einziges Problem ist nun das erste "denn".
Vielleicht hilft es, wenn ich schreibe, wie ich die Erklärung verstehe.
Ich setze in die IV n+1 ein.
Auf der linken Seite erhalte ich entsprechend der Fakultätsregel (n+1)*n!.
Ich würde dann aber weiter so vorgehen, dass ich n+1 in [mm] 2^{n-1} [/mm] einsetze und das ergibt nicht das in der Lösung stehende [mm] (n+1)*2^{n-1}
[/mm]
Irgendwie stehe ich hier total auf dem Schlauch...
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> Zeigen Sie mit vollständiger Induktion: [mm]n!\ge2^{n-1} (n\in\IN)[/mm]
>
> Induktionsanfang: n=1 Es ist [mm]1!=1\ge1=2^{0}=2^{1-1}[/mm]
>
> Induktionsschritt n [mm]\mapsto[/mm] n + 1
>
> Induktionsvoraussetzung: Es gelte für ein [mm]n\in\IN,[/mm] dass
> [mm] \red{n!\ge 2^{n-1}} [/mm] wahr ist.
Hallo,
unter dieser Voraussetzung ist nun im Induktionsschluß zu zeigen, daß dann auch gilt
Induktionsschluß: [mm] (n+1)!\ge 2^n.
[/mm]
Beweis:
Es ist
>
> (n+1)! = [mm] (n+1)*\red{n!\qquad \ge}\quad (n+1)\*\red{2^{n-1}}(denn:[/mm] [mm]n!\ge2^{n-1} \Rightarrow (n+1)*n!\ge(n+1)*2^{n-1})[/mm]
Hier wird die Induktionsvoraussetzung verwendet!
Gruß v. Angela
>
> [mm]\ge2*2^{n-1}[/mm] (denn: [mm]n\ge1 \Rightarrow n+1\ge2)[/mm]
> [mm]=2^{n}[/mm] =
> [mm]2^{(n+1)-1}[/mm]
>
> Vielen Dank.
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