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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:59 Sa 01.05.2010 | | Autor: | Filiz |
| Aufgabe | Beweisen Sie die folgende Ungleichung mittels vollständiger Induktion:
Für alle [mm] n\in\IN,n\ge3 [/mm] gilt [mm] 2n+1 |
Ich habe den Induktionsanfang mit n=3 schon gemacht, aber ich weiß nichts mit dem Begriff Induktinsvorraussetzung anzufangen, daher habe ich mit dem Induktionsschluss begonnen und komme da aber auch nicht weiter.
zu zeigen wäre doch:
[mm] 2(n+1)+1<(n+1)^{2}\gdw2n+2+1
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo Filiz und herzlich ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") ,
> Beweisen Sie die folgende Ungleichung mittels
> vollständiger Induktion:
> Für alle [mm]n\in\IN,n\ge3[/mm] gilt [mm]2n+1
> Ich habe den Induktionsanfang mit n=3 schon gemacht, aber
> ich weiß nichts mit dem Begriff Induktinsvorraussetzung
> anzufangen, daher habe ich mit dem Induktionsschluss
> begonnen und komme da aber auch nicht weiter.
> zu zeigen wäre doch:
>
> [mm]2(n+1)+1<(n+1)^{2}\gdw2n+2+1
Mache mal besser keine Äquivalenzumformungen, sondern eine Ungleichungskette:
IV: Gelte für festes [mm] $n\ge [/mm] 3$:
[mm] $\blue{2n+1
zz.: [mm] $2(n+1)+1<(n+1)^2$
[/mm]
Nimm dir linke Seite her und schätze ab:
[mm] $2(n+1)+1=2n+3=(\blue{2n+1})+2\underbrace{<}_{\text{nach IV}}\blue{n^2}+2<(n+1)^2$
[/mm]
Letztere Abschätzung ist offensichtlich, zur Sicherheit mache einen [mm] $(\star)$ [/mm] an das "<" und begrünge:
[mm] $(\star)$: [/mm] Für [mm] $\red{n\ge 3}$ [/mm] ist [mm] $(n+1)^2=n^2+2\red{n}+1\red{\ge}n^2+2\cdot{}\red{3}+1=n^2+7>n^2+2$
[/mm]
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:21 Sa 01.05.2010 | | Autor: | Filiz |
| Aufgabe | | Für alle [mm] n\in\IN, n\not=3 [/mm] gilt [mm] n^{2}\le2^{n} [/mm] |
Erst einmal vielen dank Schachuzipus, für deine Hilfe.
Die Aufgabe geht aber noch weiter und deshalb habe ich die nächste jetzt ähnlich versucht, komme aber auch hier nicht mehr weiter.
liege ich denn soweit richtig?
Induktionsanfang: n=4
=> [mm] 4^{2}\le2^{4}\gdw16\le16
[/mm]
Induktionsvorraussetzung:
[mm] 2n\le2^{n}
[/mm]
Induktionsschluss:
[mm] (n+1)^{2}=n^{2}+2n+1\le2^{n}+2n+1\le2^{n}+2^{n}+1=2^{n}\*2+1
[/mm]
wenn diese eins einfach nur weg wäre könnte ich sagen:
[mm] 2^{n}\*2=2^{n+1} [/mm] und damit wäre ich fertig aber ich komm nicht weiter.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:01 Sa 01.05.2010 | | Autor: | Loddar |
Hallo Filiz!
> Induktionsschluss:
>
> [mm](n+1)^{2}=n^{2}+2n+1\le2^{n}+2n+1\le2^{n}+2^{n}+1=2^{n}\*2+1[/mm]
> wenn diese eins einfach nur weg wäre könnte ich sagen:
Verwende die Abschätzung:
$$2n+1 \ < \ [mm] 2^n$$
[/mm]
Gruß
Loddar
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:21 Sa 01.05.2010 | | Autor: | Loddar |
Hallo!
Ich weiß, es ist wohl gemäß Aufgabenstellung so gefordert ... aber es geht hier viel schneller ohne Induktion.
$$2n+1 \ < \ [mm] n^2$$
[/mm]
[mm] $$\gdw [/mm] \ \ 1 \ < \ [mm] n^2-2n$$
[/mm]
[mm] $$\gdw [/mm] \ \ 2 \ < \ [mm] n^2-2n+1$$
[/mm]
[mm] $$\gdw [/mm] \ \ 2 \ < \ [mm] (n-1)^2$$
[/mm]
Und das ist für $n \ [mm] \ge [/mm] \ 3$ offensichtlich.
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:27 Sa 01.05.2010 | | Autor: | MontBlanc |
Hallo Loddar,
hier geht deine Implikation aber in die falsche Richtung. Wolltest du es nicht per Induktion zeigen, so kannst du die Aussage nicht als wahr voraussetzen, du müstest also zeigen, dass
$ [mm] 2n+1\ge n^2 [/mm] $
zu einem Widerspruch führt.
Lg
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:48 Sa 01.05.2010 | | Autor: | Loddar |
Hallo MontBlanc!
Das verstehe ich jetzt nicht. ![[kopfkratz3]](/images/smileys/kopfkratz3.gif "[kopfkratz3]")
Ich habe doch lediglich Äquivalnezumformungen benutzt, und damit auch den Wahrheitsgehalt bestätigt.
Gruß
Loddar
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:36 Sa 01.05.2010 | | Autor: | MontBlanc |
Hi,
was ich meinte war:
angenommen du möchtest zeigen, dass [mm] \bruch{x+y}{2}\ge\wurzel{x*y} [/mm] , dann, so wurde es bei mir zumindest beigebracht bzw. so finde ich es auch logisch, kannst du nicht einfach diesen ausdruck nehmen und umformen um eine wahre Aussage zu erhalten (hier irgendwas wie [mm] (x-1)^2\ge [/mm] 0 ). Denn in diesem Moment gehst du davon aus, dass die Aussage wahr ist, und beweist die "falsche Richtung", denn es soll ja eben gezeigt werden, dass sie wahr ist. Natürlich ist das hier ein Sonderfall mit Äquivalenzumformungen, allerdings wäre es schöner, das Gegenteil anzunehmen und das zu einem Widerpspruch zu führen, um der oft geforderten Strenge eines beweises genüge zu tun!
lg
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:39 Sa 01.05.2010 | | Autor: | Loddar |
Hallo MontBlanc!
Solange ich wirklich ausschließlich Äquivalenzumformungen verwende, sehe ich keine Lücke und keinen Grund, warum ich das nicht so machen dürfte.
Bei Deinem Beispiel würde man ja die Ungleichung quadrieren. Dies ist jedoch keine Äquivalenzumformung, so dass man hier auch evtl. anders vorgehen muss.
Gruß
Loddar
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