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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:09 Do 20.05.2010 | | Autor: | Adri_an |
| Aufgabe | Für alle reellen Zahlen $x,y$ und alle natürlichen Zahlen $n$ gilt:
[mm] $\vektor{x+y \\ n}=\summe_{k=0}^{n}\vektor{x \\ n-k}\vektor{y \\ k}$. [/mm] |
Mein Lösungsansatz:
Induktionsanfang:
Ann.: [mm] $n=0\Rightarrow\vektor{x+y \\ 0}=1$ [/mm] ; [mm] $\summe_{k=0}^{0}\vektor{x \\ 0-k}\vektor{y \\ k}=\vektor{x \\ 0}\vektor{y \\ 0}=1*1=1$.
[/mm]
Induktionsschritt:
[mm] $\summe_{k=0}^{n+1}\vektor{x \\ (n+1)-k}\vektor{y \\ k}=$
[/mm]
[mm] $\summe_{k=0}^{n}\vektor{x \\ (n+1)-k}\vektor{y \\ k}+\vektor{x \\ (n+1)-(n+1)}\vektor{y \\ n+1}=$
[/mm]
[mm] $\summe_{k=0}^{n}\vektor{x \\ (n+1)-k}\vektor{y \\ k}+\vektor{y \\ n+1}$
[/mm]
Wie geht es weiter? Ich sehe nicht den nächsten Schritt. Bin ich irgendwo falsch abgebogen? Hat jemand einen Tipp (bitte nicht die Lösung verraten) für mich?
Wichtige Anmerkung:
Obige Vektoren sollen soetwas ähnliches wie die Binomialkoeffizienten sein. Als "obere Zahl" ist aber diesesmal eine reelle Zahl erlaubt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:29 Do 20.05.2010 | | Autor: | chrisno |
> Induktionsanfang:
>
zu zeigen: für n = 0 gilt [mm]\summe_{k=0}^{n}\vektor{x \\ n-k}\vektor{y \\ k}= \vektor{x+y \\ n }[/mm].
> [mm]\vektor{x+y \\ 0}=1[/mm] ;
> [mm]\summe_{k=0}^{0}\vektor{x \\ 0-k}\vektor{y \\ k}=\vektor{x \\ 0}\vektor{y \\ 0}=1*1=1[/mm].
>
> Induktionsschritt:
>
Vorausgesetzt wird, dass
[mm]\summe_{k=0}^{n}\vektor{x \\ n-k}\vektor{y \\ k}= \vektor{x+y \\ n }[/mm] gilt
Zu zeigen ist, dass dann
> [mm]\summe_{k=0}^{n+1}\vektor{x \\ (n+1)-k}\vektor{y \\ k}=\vektor{x+y \\ n+1 }[/mm] gilt.
Beweis:
> [mm]\summe_{k=0}^{n+1}\vektor{x \\ (n+1)-k}\vektor{y \\ k}= [/mm]
> [mm]\summe_{k=0}^{n}\vektor{x \\ (n+1)-k}\vektor{y \\ k}+\vektor{x \\ (n+1)-(n+1)}\vektor{y \\ n+1}=[/mm]
>
> [mm]\summe_{k=0}^{n}\vektor{x \\ n+1-k}\vektor{y \\ k}= \vektor{x+y \\ n }[/mm][mm] +\vektor{y \\ n+1}[/mm]
[/mm]
>
So würde ich das auch anfangen. Nun muss die Induktionsvoraussetzung eingesetzt werden:
[mm]\summe_{k=0}^{n}\vektor{x \\ n-k}\vektor{y \\ k}= \vektor{x+y \\ n }[/mm]
Dazu musst Du noch in der Summe [mm]\summe_{k=0}^{n}\vektor{x \\ n+1-k}\vektor{y \\ k}[/mm]
das n+1 in ein n umwandeln. Das sehe ich aber so auf die Schnelle nicht.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:18 Do 20.05.2010 | | Autor: | Adri_an |
Upps!
Kann mir jemand verraten, wie ich einen Artikel nachträglich in das richtige Forum stellen kann?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:55 Sa 22.05.2010 | | Autor: | ullim |
Hi,
schau mal ![[]](/images/popup.gif) hier
Das ganze hat auch einen Namen, Vandermondesche Identität
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