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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:43 So 12.09.2010 | | Autor: | mvs |
| Aufgabe | Beweisen Sie mittels vollständiger Induktion, dass für alle n [mm] \in \IN_{0} [/mm] folgende Aussage gilt:
[mm] \summe_{k=0}^{2n+1} (-1)^{k-1}*k^{2} [/mm] = (n+1)*(2n+1) |
Hallo bei dieser Induktion hänge ich irgendwie schon beim Induktionsanfang.
Frage vorab hierzu, wählt man das [mm] n_{0} [/mm] immer gleich k ?
hab zunächst [mm] n_{0} [/mm] = 0 gewählt, z.z. p(0) ist wahr.
p(0) = [mm] \summe_{k=0}^{1} (-1)^{k-1}*k^{2} [/mm] = (n+1)*(2n+1)
= [mm] (-1)^{-1}*0^{2}= [/mm] 0 (0+1)*(2*0+1) = 1*1=1
[mm] \Rightarrow [/mm] p(0) ist nicht wahr.
Das kann doch garnicht stimmen?
Vielen Dank im voraus.
Gruß
mvs
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:55 So 12.09.2010 | | Autor: | abakus |
> Beweisen Sie mittels vollständiger Induktion, dass für
> alle n [mm]\in \IN_{0}[/mm] folgende Aussage gilt:
>
> [mm]\summe_{k=0}^{2n+1} (-1)^{k-1}*k^{2}[/mm] = (n+1)*(2n+1)
> Hallo bei dieser Induktion hänge ich irgendwie schon beim
> Induktionsanfang.
>
> Frage vorab hierzu, wählt man das [mm]n_{0}[/mm] immer gleich k ?
>
> hab zunächst [mm]n_{0}[/mm] = 0 gewählt, z.z. p(0) ist wahr.
>
> p(0) = [mm]\summe_{k=0}^{1} (-1)^{k-1}*k^{2}[/mm] = (n+1)*(2n+1)
>
> = [mm](-1)^{-1}*0^{2}=[/mm] 0 (0+1)*(2*0+1) = 1*1=1
>
> [mm]\Rightarrow[/mm] p(0) ist nicht wahr.
>
> Das kann doch garnicht stimmen?
Hallo,
der letzte Wert des Summationsindexes soll 2n+1 sein.
Wenn du deine Summe von k=0 bis k=1 laufen lasst, bedeutet das, dass 2n+1 den Wert 1 annimmt. Also ist 2n=0, damit auch n=0 und somit n+1=1
Also hat (n+1)(2n+1) den Wert 1*1=1.
Zum Vergleich: Die Summe selbst (Werte für k=0 und k=1 bilden und addieren) lautet 0+1 und somit auch 1.
Gruß Abakus
>
> Vielen Dank im voraus.
>
> Gruß
> mvs
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:20 Mo 13.09.2010 | | Autor: | mvs |
Hallo abakus, danke für deine Antwort.
Hab es nun so gemacht:
p(0) = $ [mm] \summe_{k=0}^{1} (-1)^{k-1}\cdot{}k^{2} [/mm] $ + $ [mm] \summe_{k=1}^{1} (-1)^{k-1}\cdot{}k^{2} [/mm] $ = (n+1)*(2n+1)
= [mm] (-1)^{-1}\cdot{}0^{2} [/mm] + [mm] (-1)^{0}\cdot{}1^{2} [/mm] =1 = (0+1)*(2*0+1) = 1*1=1
$ [mm] \Rightarrow [/mm] $ p(0) ist wahr.
Stimmt das nun so?
Gruss,
mvs
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Hallo mvs,
> Hallo abakus, danke für deine Antwort.
>
> Hab es nun so gemacht:
>
> p(0) = [mm]\summe_{k=0}^{1} (-1)^{k-1}\cdot{}k^{2}[/mm] + [mm]\red{\summe_{k=1}^{1} (-1)^{k-1}\cdot{}k^{2}}[/mm] = (n+1)*(2n+1)
Die rote Summe ist falsch! Und hinten musst du konsequenterweise auch für n=0 schreiben
Nimm dir bei Induktionsbeweisen immer die eine Seite (hier die linke) her und forme um, bis die andere (hier: rechte) Seite dasteht!
Es ist [mm]p(0)=\sum\limits_{k=0}^{2\cdot{}0+1}(-1)^{k-1}\cdot{}k^2[/mm]
[mm]=\sum\limits_{k=0}^{1}(-1)^{k-1}\cdot{}k^2 \ = \ (-1)^{0-1}\cdot{}0^2 \ + \ (-1)^{1-1}\cdot{}1^2 \ = 0+1=1[/mm]
Und das ist [mm]=(0+1)\cdot{}(2\cdot{}0+1)[/mm]
>
> = [mm](-1)^{-1}\cdot{}0^{2}[/mm] + [mm](-1)^{0}\cdot{}1^{2}[/mm] =1 =
> (0+1)*(2*0+1) = 1*1=1
>
> [mm]\Rightarrow[/mm] p(0) ist wahr.
>
> Stimmt das nun so?
Ja, ist aber nicht gut aufgeschrieben!
> Gruss,
> mvs
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:08 Mo 13.09.2010 | | Autor: | mvs |
Hallo schachuzipus, danke für deine Antwort,
habs nun so hingeschrieben und darauf geachtet, dass die rechte und linke Seite jeweils untereinander stehen:
$ [mm] p(0)=\sum\limits_{k=0}^{2\cdot{}0+1}(-1)^{k-1}\cdot{}k^2 [/mm] $ = (n+1)*(2n+1)
$ [mm] =\sum\limits_{k=0}^{1}(-1)^{k-1}\cdot{}k^2 [/mm] \ = \ [mm] (-1)^{0-1}\cdot{}0^2 [/mm] \ + \ [mm] (-1)^{1-1}\cdot{}1^2 [/mm] \ = 0+1=1 $ [mm] $=(0+1)\cdot{}(2\cdot{}0+1) [/mm] $ = 1
$ [mm] \Rightarrow [/mm] $ p(0) ist wahr.
Nun ist aber alles korrekt ? :)
Gruß,
mvs
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Huhu,
> [mm]p(0)=\sum\limits_{k=0}^{2\cdot{}0+1}(-1)^{k-1}\cdot{}k^2[/mm] = (n+1)*(2n+1)
> [mm]=\sum\limits_{k=0}^{1}(-1)^{k-1}\cdot{}k^2 \ = \ (-1)^{0-1}\cdot{}0^2 \ + \ (-1)^{1-1}\cdot{}1^2 \ = 0+1=1[/mm]
> [mm]=(0+1)\cdot{}(2\cdot{}0+1)[/mm] = 1
Wieso steht das rotmarkierte dort noch immer? Wenn du für n eine Zahl einsetzt, kann kein n mehr vorkommen...
MFG,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:25 Mo 13.09.2010 | | Autor: | mvs |
Hallo Gonozal_IX, danke für den Hinweis:
$ [mm] p(0)=\sum\limits_{k=0}^{2\cdot{}0+1}(-1)^{k-1}\cdot{}k^2 [/mm] $ = (0+1)*(2*0+1)
$ [mm] =\sum\limits_{k=0}^{1}(-1)^{k-1}\cdot{}k^2 [/mm] \ = \ [mm] (-1)^{0-1}\cdot{}0^2 [/mm] \ + \ [mm] (-1)^{1-1}\cdot{}1^2 [/mm] \ = 0+1=1 $ = 1*1 = 1
$ [mm] \Rightarrow [/mm] $ p(0) ist wahr.
nun ist es aber korrekt, hoffe ich mal.
Gruß,
mvs
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Hallo nochmal,
siehe Mitteilung.
Ohne irgendwelche Äquivalenzpfeile steht das leer im Raum herum und ist vollkommen unsinnig!
> Hallo Gonozal_IX, danke für den Hinweis:
>
>
> [mm]p(0)=\sum\limits_{k=0}^{2\cdot{}0+1}(-1)^{k-1}\cdot{}k^2[/mm]
> = (0+1)*(2*0+1)
> [mm]=\sum\limits_{k=0}^{1}(-1)^{k-1}\cdot{}k^2 \ = \ (-1)^{0-1}\cdot{}0^2 \ + \ (-1)^{1-1}\cdot{}1^2 \ = 0+1=1[/mm]
> = 1*1 = 1
>
> [mm]\Rightarrow[/mm] p(0) ist wahr.
>
> nun ist es aber korrekt, hoffe ich mal.
Naja, die Rechnung ist schon richtig, aber die Form geht so überhaupt nicht.
Da steht quasi nix 
Da steht sowas wie "linke Seite = rechte Seite = umgeformte linke Seite = umgeformte rechte Seite ..." - das ist formal Käse
Du musst das echt in eine passende Form bringen - siehe die Mitteilung
>
> Gruß,
> mvs
LG
schachuzipus
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Hallo,
nochmal zum Prinzip:
Du musst im Induktionsanfang (und auch nachher im -schritt) eine Gleichheit (Gleichung) zeigen.
Dazu schreibst du die Gleichung hin und machst ausschließlich Äquivalenzumformungen mit Pfeilen und allem Pipapo
ODER (dazu wollte ich dich motivieren - da weniger fehleranfällig)
Nimm die eine Seite der zu zeigenden Gleichung her und forme um, bis die andere dasteht (also eine "Gleichheitskette" - schönes Wort )
Gruß
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:35 Mo 13.09.2010 | | Autor: | mvs |
Werde die komplette Induktion mit Induktionsschritt usw. noch posten.
Mache aber vorher noch andere Aufgaben, kann was dauern.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:09 Mo 13.09.2010 | | Autor: | mvs |
So, hab nun die komplette Induktion versucht:
Induktionsschritt: z.z. p(m) [mm] \Rightarrow [/mm] p(m+1)
Induktionsannahme: p(m):= [mm] \summe_{k=0}^{2m+1} (-1)^{k-1}*k^{2}= [/mm] (m+1)*(2m+1)
Induktionsschluss: z.z. p(m+1) ist wahr
[mm] p(m+1):=\summe_{k=0}^{2*(m+1)+1} (-1)^{k-1}*k^{2}= [/mm] (m+1+1)*(2*(m+1)+1)
= [mm] \summe_{k=0}^{2m+3} (-1)^{k-1}*k^{2}= [/mm] (m+2)*(2m+3)
______________________________________________________________________
$ [mm] \summe_{k=0}^{2m+3} (-1)^{k-1}\cdot{}k^{2} [/mm] = $ $ [mm] \summe_{k=0}^{2m+1} (-1)^{k-1}\cdot{}k^{2} [/mm] $ + $ [mm] \summe_{k=m+1}^{2m+3} (-1)^{k-1}\cdot{}k^{2} [/mm] $
= (m+1)*(2m+1) + [mm] (-1)^{m+1-1}\cdot{}(m+1)^{2}
[/mm]
= (m+1)*(2m+1) + [mm] (-1)^{m}\cdot{}(m+1)^{2}
[/mm]
Heut scheint nicht mein Tag zu sein, nun komme ich hier nicht weiter.
Hab zuerst alles ausmultipliziert und anschliessend per Polynomdivsion versucht (m+2) und (2m+3) auszuklammern, das bringt mich aber nicht zum gewünschten Ergebnis von (m+2)*(2m+3)
Hat jemand einen Tipp, was ich mit dem Term anfangen kann?
Vielen Dank im voraus,
Gruß,
mvs
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:31 Mo 13.09.2010 | | Autor: | Loddar |
Hallo mvs!
> [mm]\summe_{k=0}^{2m+3} (-1)^{k-1}\cdot{}k^{2} =\summe_{k=0}^{2m+1} (-1)^{k-1}\cdot{}k^{2} + \summe_{k=m+1}^{2m+3} (-1)^{k-1}\cdot{}k^{2}[/mm]
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]") Es gilt:
[mm]\summe_{k=0}^{2m+3} (-1)^{k-1}\cdot{}k^{2} \ = \ \summe_{k=0}^{2m+1} (-1)^{k-1}\cdot{}k^{2} + \summe_{k=\red{2m+2}}^{2m+3} (-1)^{k-1}\cdot{}k^{2}[/mm]
[mm]= \ \summe_{k=0}^{2m+1} (-1)^{k-1}*k^2 \ + \ \underbrace{(-1)^{2m+2-1}*(2m+2)^2}_{k \ = \ 2m+2} \ + \ \underbrace{(-1)^{2m+3-1}*(2m+3)^2}_{k \ = \ 2m+3} \ = \ ...[/mm]
Nun zunächst die letzten beiden Terme zusammenfassen und die Induktionsvoraussetzung verwenden (für die vordere Summe).
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:33 Do 16.09.2010 | | Autor: | mvs |
so habs nun mal weitergerechnet und bin zur folgenden Lösung gekommen.
Bitte korrigieren, wenn was falsch ist.
(m+1)*(m+2) [mm] +(-1)^{2m+1}*(2m+2)^{2}+(-1)^{2m+2}*(2m+3)^{2}
[/mm]
[mm] \gdw (m+1)*(m+2)+((-1)^{2m}*(-1)^{1})*(2m+2)^{2}+((-1)^{2m}*(-1)^{2})*(2m+3)^{2}
[/mm]
[mm] \gdw (m+1)*(m+2)+((-1)^{2m}*(-1))*(2m+2)^{2}+((-1)^{2m}*1)*(2m+3)^{2}
[/mm]
[mm] \gdw (m+1)*(m+2)-((-1)^{2m})*(2m+2)^{2}+((-1)^{2m})*(2m+3)^{2}
[/mm]
[mm] \gdw (m+1)*(m+2)-(((-1)^{2})^{m})*(2m+2)^{2}+(((-1)^{2})^{m})*(2m+3)^{2}
[/mm]
[mm] \gdw (m+1)*(m+2)-(1^{m})*(2m+2)^{2}+(1^{m})*(2m+3)^{2}
[/mm]
[mm] \gdw (m+1)*(m+2)-1*(2m+2)^{2}+1*(2m+3)^{2}
[/mm]
[mm] \gdw (m+1)*(m+2)-(2m+2)^{2}+(2m+3)^{2}
[/mm]
[mm] \gdw 2m^{2}+3m+1-(4m^{2}+8m+4)+4m^{2}+12m+9
[/mm]
[mm] \gdw 2m^{2}+3m+1-4m^{2}-8m-4+4m^{2}+12m+9
[/mm]
[mm] \gdw 2m^{2}+7m+6
[/mm]
NR: [mm] 2m^{2}+7m+6:(m+2)=2m+3
[/mm]
[mm] -2m^{2}-4m
[/mm]
3m+6
-3m-6
0
[mm] \Rightarrow [/mm] (m+2)*(2m+3)
was ich allerdings nicht verstehe ist [mm] \summe_{k=\red{2m+2}}^{2m+3} (-1)^{k-1}\cdot{}k^{2} [/mm] , warum k = 2m+2 ist?
Vielen Dank im voraus.
Gruß,
mvs
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:47 Do 16.09.2010 | | Autor: | chrisno |
> was ich allerdings nicht verstehe ist
> [mm]\summe_{k=\red{2m+2}}^{2m+3} (-1)^{k-1}\cdot{}k^{2}[/mm] , warum hier
> k = 2m+2 ist?
>
Du hast eine Summe, in der läuft der Index von k=0 bis k=2m+3.
Die zerlegst Du in zwei Summen. In der ersten läuft der Index von k=0 bis k=2m+1.
Damit sind alle Summanden bis zu dem mit k=2m+1 da, den Rest musst Du in die zweite Summe nehmen, aber auch nur den Rest. Der nächste Summand nach dem mit k=2m+1 ist der mit k=2m+2 und mit dem fängt die nächste Summe an.
Deine Umformungen sind richtig, für mein Empfinden zu kleinschrittig. [mm] $(-1)^{2m+1} [/mm] = -1$ Die Äquivalenzpfeile sind falsch. Da stehen keine Aussagen. Es gehören überall Gleichheitszeichen hin.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:01 Fr 17.09.2010 | | Autor: | mvs |
okay danke euch allen für die Hilfe. Hab es nun denk ich verstanden.
Hab die Aufgabe heut noch einmal komplett gemacht und hinbekommen.
In meiner letzten Rechnung , die ich hier gepostet habe, ist ein Fehler, hab als Induktionsannahme [mm] (m+1)\cdot{}(m+2), [/mm] es muss aber (m+1)*(2m+1) sein.
Gruß,
mvs
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![[lupe]](/images/smileys/lupe.gif "[lupe]"){kind=small}
