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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:45 Do 16.09.2010 | | Autor: | mvs |
| Aufgabe | Beweisen Sie folgende Summenformel mittels vollständiger Induktion für alle [mm] n\in \IN_{0}
[/mm]
[mm] \summe_{k=1}^{n}\bruch{1}{\wurzel{k}}\ge \wurzel{n} [/mm] |
Hallo, hab ja schon ein paar Induktion hier gepostet und das hier scheint die einfachste von allen bisher zu sein , doch ich steh bei der etwas aufm Schlauch.
Meine bisherige Lösung:
z.z. [mm] \forall n\in \IN_{0}: p(n):=\summe_{k=1}^{n}\bruch{1}{\wurzel{k}}\ge \wurzel{n}
[/mm]
Induktionsanfang:
[mm] n_{0} [/mm] = 1, z.z. p(1) ist wahr
[mm] p(1):=\summe_{k=1}^{1}\bruch{1}{\wurzel{k}}\ge \wurzel{1}
[/mm]
= [mm] \bruch{1}{\wurzel{1}}\ge [/mm] 1
= [mm] \bruch{1}{1}\ge [/mm] 1
= [mm] 1\ge [/mm] 1
[mm] \Rightarrow [/mm] p(1) ist wahr
Induktionsschritt:
z.z [mm] p(m)\to [/mm] p(m+1)
Induktionsannahme:
[mm] p(m):=\summe_{k=1}^{m}\bruch{1}{\wurzel{k}}\ge \wurzel{m} [/mm]
Induktionsschluss:
z.z. p(m+1) ist wahr.
[mm] p(m+1):=\summe_{k=1}^{m+1}\bruch{1}{\wurzel{k}}\ge \wurzel{m+1}
[/mm]
[mm] \summe_{k=1}^{m+1}\bruch{1}{\wurzel{k}}\ge \summe_{k=1}^{m}\bruch{1}{\wurzel{k}} [/mm] + [mm] \summe_{k=m+1}^{m+1}\bruch{1}{\wurzel{k}}
[/mm]
[mm] \ge \wurzel{m} [/mm] + [mm] \bruch{1}{\wurzel{m+1}}
[/mm]
[mm] \ge \bruch{\wurzel{m}*\wurzel{m+1}}{\wurzel{m+1}} [/mm] + [mm] \bruch{1}{\wurzel{m+1}}
[/mm]
[mm] \ge \bruch{\wurzel{m}*\wurzel{m+1}+1}{\wurzel{m+1}}
[/mm]
so an diesem Punkt hänge ich fest.Kann mir jemand bitte einen Tipp geben, wie ich nu weitermache?
Vielen Dank im voraus.
Gruß,
mvs
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:56 Do 16.09.2010 | | Autor: | fred97 |
Wenn Du gezeigt hast, dass
(*) [mm] \bruch{\wurzel{m}\cdot{}\wurzel{m+1}+1}{\wurzel{m+1}} \ge \wurzel{m+1}
[/mm]
ist, so bist Du fertig. Ist Dir das klar ?
(*) kannst Du mit ganz elementaren Äquivalenzumformungen beweisen.
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:04 Do 16.09.2010 | | Autor: | mvs |
Hallo FRED, danke für deine Antwort.
Mir is es aber nicht so ganz klar.
Hab nun so weitergemacht:
[mm] \summe_{k=1}^{m+1}\bruch{1}{\wurzel{k}}$ \ge \bruch{\wurzel{m}\cdot{}\wurzel{m+1}+1}{\wurzel{m+1}} [/mm] $
[mm] \wurzel{m+1}\ge \bruch{\wurzel{m}\cdot{}\wurzel{m+1}+1}{\wurzel{m+1}}|*\wurzel{m+1}
[/mm]
[mm] \gdw [/mm] m+1 [mm] \ge \wurzel{m}\cdot{}\wurzel{m+1}+1|-1
[/mm]
[mm] \gdw m\ge \wurzel{m}\cdot{}\wurzel{m+1}|:\wurzel{m}
[/mm]
[mm] \gdw \wurzel{m}\ge \wurzel{m+1}
[/mm]
Was herauskommt, stimmt aber nicht. Ich weiß nu nicht, was ich da falsch gemacht habe.
Gruß,
mvs
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Hallo mvs,
> Hallo FRED, danke für deine Antwort.
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> Mir is es aber nicht so ganz klar.
>
> Hab nun so weitergemacht:
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> [mm]\summe_{k=1}^{m+1}\bruch{1}{\wurzel{k}}[/mm] [mm]\ge \bruch{\wurzel{m}\cdot{}\wurzel{m+1}+1}{\wurzel{m+1}}[/mm]
>
> [mm]\wurzel{m+1}\ge \bruch{\wurzel{m}\cdot{}\wurzel{m+1}+1}{\wurzel{m+1}}|*\wurzel{m+1}[/mm]
Hier muss doch gezeigt werden:
[mm]\wurzel{m+1}\le \bruch{\wurzel{m}\cdot{}\wurzel{m+1}+1}{\wurzel{m+1}}[/mm]
>
> [mm]\gdw[/mm] m+1 [mm]\ge \wurzel{m}\cdot{}\wurzel{m+1}+1|-1[/mm]
>
> [mm]\gdw m\ge \wurzel{m}\cdot{}\wurzel{m+1}|:\wurzel{m}[/mm]
>
> [mm]\gdw \wurzel{m}\ge \wurzel{m+1}[/mm]
>
> Was herauskommt, stimmt aber nicht. Ich weiß nu nicht, was
> ich da falsch gemacht habe.
Das Ungleichheitszeichen ist nicht richtig.
>
> Gruß,
> mvs
Gruss
MathePower
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