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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:21 Mi 27.10.2010 | | Autor: | Random |
| Aufgabe | Zeigen Sie, dass für alle [mm] n\in \IN
[/mm]
[mm] \produkt_{k=1}^{n}(1+2/k)=\summe_{k=1}^{n+1}k. [/mm] |
Guten Tag,
Also vollständige Induktion besteht ja aus 2 Schritten:
1) A(1)... Das ergibt 3=3
2) A(n+1) und genau hier komme ich nicht weiter...
Was genau muss ich machen?
Vielen Dank im Voraus,
Ilya
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Hallo Ilya,
> Zeigen Sie, dass für alle [mm]n\in \IN[/mm]
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> [mm]\produkt_{k=1}^{n}(1+2/k)=\summe_{k=1}^{n+1}k.[/mm]
> Guten Tag,
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> Also vollständige Induktion besteht ja aus 2 Schritten:
>
> 1) A(1)... Das ergibt 3=3
> 2) A(n+1) und genau hier komme ich nicht weiter...
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
Du solltest dir (noch) mal das Prinzip der vollst. Induktion ansehen.
2) [mm]A(n)\Rightarrow A(n+1)[/mm] ist der zweite Schritt.
Du musst also zeigen, dass aus der Voraussetzung, dass für bel., aber festes [mm]n\in\IN \ \ \ A(n)[/mm] gilt (Induktionsvoraussetzung) folgern, dass die Aussage gefälligst auch für [mm]n+1[/mm] gilt, dass also [mm]A(n+1)[/mm] wahr ist.
Dazu gib dir ein bel, aber festes [mm]n\in\IN[/mm] vor, für das [mm]A(n)[/mm] gelte, also mit [mm]\red{\prod\limits_{k=1}^{n}\left(1+\frac{2}{k}\right)=\sum\limits_{k=1}^{n+1}k[/mm]
Hieraus musst du folgern, dass gefälligst auch [mm]A(\blue{n+1})[/mm] gilt, dass also
[mm]\prod\limits_{k=1}^{\blue{n+1}}\left(1+\frac{2}{k}\right)=\sum\limits_{k=1}^{\blue{(n+1)}+1}k[/mm]
>
> Was genau muss ich machen?
Nimm dir nun die linke Seite der zu zeigenden Gleichung her und forme so um, dass du die IV anwenden kannst:
[mm]\prod\limits_{k=1}^{\blue{n+1}}\left(1+\frac{2}{k}\right)=\red{\left[ \ \prod\limits_{k=1}^{n}\left(1+\frac{2}{k}\right) \ \right]}\cdot{}\left(1+\frac{2}{n+1\right)[/mm]
Da habe ich einfach den letzten Faktor extra geschrieben. Nun kannst du auf das rote Produkt die IV anwenden.
Mache das mal und forme weiter um, bis du am Ende [mm]\ldots=\sum\limits_{k=1}^{n+2}k[/mm] dastehen hast.
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> Vielen Dank im Voraus,
>
> Ilya
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:54 Mi 27.10.2010 | | Autor: | Random |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
$ \prod\limits_{k=1}^{\blue{n+1}}\left(1+\frac{2}{k}\right)=\red{\left[ \ \prod\limits_{k=1}^{n}\left(1+\frac{2}{k}\right) \ \right]}\cdot{}\left(1+\frac{2}{n+1\right) $
Muss man den roten Ausdruck durch 1/2*n*(n+1) erstezen, um die Annahme zu vollziehen?
Weil ich durch diese Annahme versucht habe die Endgleichung herauszufinden.
Danke nochmal im Voraus.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:58 Mi 27.10.2010 | | Autor: | M.Rex |
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> [mm]\prod\limits_{k=1}^{\blue{n+1}}\left(1+\frac{2}{k}\right)=\red{\left[ \ \prod\limits_{k=1}^{n}\left(1+\frac{2}{k}\right) \ \right]}\cdot{}\left(1+\frac{2}{n+1\right)[/mm]
>
> Muss man den roten Ausdruck durch 1/2*n*(n+1) erstezen, um
> die Annahme zu vollziehen?
Erstmal "nur" durch [mm] \summe_{i=1}^{n}i [/mm] , das ist die Induktionsvoraussetzung. Dass
[mm] \summe_{j=1}^{m}j=\bruch{m(m+1)}{2} [/mm] gilt, steht auf einem anderen Blatt, natürlich darf man das verwenden. (Wenn ihr diese Summe noch nicht behandelt habt, must du dese Zumme natürlich auch noch separat beweisen)
>
> Weil ich durch diese Annahme versucht habe die Endgleichung
> herauszufinden.
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> Danke nochmal im Voraus.
Marius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:03 Mi 27.10.2010 | | Autor: | Random |
Also meine Lösung ist:
[mm] (n\*(n+3))/2
[/mm]
Ist das so in etwa korrekt xD
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:12 Mi 27.10.2010 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Bedenke, du musst am Ende deiner Gleichungskette.
[mm] \summe_{k=1}^{n+1+1}k [/mm] stehen haben.
Und sich sehe nicht, wie man deinen Term dahingehend umformen kann.
Zeig doch mal deine komplette Rechnung, du ja in etwa so aussehen müsste.
[mm] \produkt_{k=1}^{n+1}\left(1+\frac{2}{k}\right) [/mm]
[mm]=\left[\produkt_{k=1}^{n}\left(1+\frac{2}{k}\right)
\right]\cdot{}\left(1+\frac{2}{n+1\right) [/mm]
[mm]=\left[\summe_{k=1}^{n}k\right]\left(1+\frac{2}{n+1\right) [/mm]
[mm] =\ldots [/mm]
[mm] =\summe_{k=1}^{n+1+1}k [/mm]
Also: Ersetze die Punkte durch geeignete Umformungen
Marius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:29 Mi 27.10.2010 | | Autor: | Random |
Ich verstehe das überhaupt nicht... Wärest du villeicht so nett mir die Rechnung zu zeigen und an dieser mir den Verlauf zu erklären, da ich noch 3 weitere Aufgaben diesen Types lösen muss.
Ich stehe nämlich gerade voll auf dem Schlauch,
Vielen Dank im Voraus und mit freundlichen Grüßen,
Ilya
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Hallo nochmal,
> Ich verstehe das überhaupt nicht... Wärest du villeicht
> so nett mir die Rechnung zu zeigen und an dieser mir den
> Verlauf zu erklären,
Nein!
Das kannst du selber!
Ersetze wie schon mehrfach erwähnt das Produkt, das von k=1 bis k=n läuft, gem. IV durch [mm]\sum\limits_{k=1}^{n+1}k[/mm]
Das ist wiederum [mm]=\frac{(n+1)(n+2)}{2}[/mm]
Das gilt es mit der hinteren Klammer zu multiplizieren.
Wo ist da das Problem?
Mache die Klammer gleichnamig und dann ab dafür ...
Schlussendlich solltest du auf [mm]\frac{(n+2)(n+3)}{2}[/mm] kommen, was [mm]\sum\limits_{k=1}^{n+2}k[/mm] entspricht!
> da ich noch 3 weitere Aufgaben diesen
> Types lösen muss.
>
> Ich stehe nämlich gerade voll auf dem Schlauch,
Dann mache einen Schritt nach vorne, runter vom Schlauch! 
>
> Vielen Dank im Voraus und mit freundlichen Grüßen,
>
> Ilya
Dito
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:43 Mi 27.10.2010 | | Autor: | Random |
Vielen Dank für eure Hilfe!!!
Also ich bin jetzt auf (n²+5n+6)/2 gekommen, was ja das gleiche wie ((n+2)*(n+3))/2 ist.
Bin vom Schlauch runter.
Cauu =)
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