Vollständige Induktion < Mengenlehre < Logik+Mengenlehre < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:39 Do 04.11.2010 | | Autor: | Maaadin |
| Aufgabe | Im folgenden sei [mm]\IN_+ = \IN_0 \setminus \{0\}[/mm].
Hans und Petra feiern ihren Hochzeitstag. Auf ihrer Party befinden sich [mm]n \in \IN_+[/mm] Paare. Dabei begrüßen sich alle Paare mit Ausnahme des eigenen Partners.
a) Geben Sie die Anzahl der Begrüßungen [mm]x_i[/mm] für [mm]i \in \{1, 2, 3, 4, 5\}[/mm] Paare an.
b) Stellen Sie für [mm]x_n[/mm] eine geschlossene Formel (d.h. einen arithmetischen Ausdruck, in dem nur Zahlen, [mm]n[/mm] und die Grundrechenarten vorkommen) auf.
c) Beweisen Sie Ihre Aussage aus Teilaufgabe b) durch vollständige Induktion. |
Sooo...
Hallo allerseits!
Kurze Antworten zu Teilaufgabe a), b):
zu a)
[mm]x_1 = 1*0*2 =0[/mm]
[mm]x_2=2*1*2=4[/mm]
[mm]x_3 = 3*2*2=12[/mm]
[mm]x_4 = 4*3*2=24[/mm]
[mm]x_5=5*4*2=40[/mm]
Sollte eigentlich so stimmen.
zu b)
Anhand der oberen Rechnung erkennt man eigentlich schnell ein Muster:
[mm]x_n=n(n-1)*2[/mm] bzw. [mm]x_n=2n(n-1)[/mm]
zu c)
Hier habe ich jedoch ein Problem. Ich weiß nicht genau wie ich mit einer Gleichung eine vollst. Induktion durchführen soll.
Hier mal mein Ansatz:
Induktionsanfang:
Für [mm]n=1[/mm]:
[mm]2*1(1-1)=0[/mm], also wahr
Induktionsvoraussetzung:
[mm]x_n = 2n(n-1)[/mm]
Induktionsschritt:
Gilt auch für [mm]n+1[/mm]:
[mm]x_{n+1}=2(n+1)(n+1-1)[/mm] [mm]=[/mm] [mm]2n^2-2n[/mm]
...
Ab hier weiß ich nicht mehr weiter... Irgendwo muss ich meine Induktionsvoraussetzung anwenden, aber ich komme nicht drauf.
Bitte um Tipps!
Vielen Dank!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:46 Do 04.11.2010 | | Autor: | Maaadin |
Bumpy! (Damit der Thread nicht in Vergessenheit gerät =) )
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:32 Do 04.11.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
zu den schon vorhandenen Paaren kommt 1 neues dazu. wievielen Leuten werden die 2 wohl die Hände schütteln? jdem der 2n Leute, gibt insgesamt??
Gruss leduart
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