Vollständige Induktion < Induktion < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | [mm] y_1=1 [/mm] und für jedes [mm] n\in\IN [/mm] ist [mm] y_{n+1} [/mm] definiert durch [mm] y_{n+1}= \bruch{3*y_n+4}{4}
[/mm]
1. Beweise durch vollständige Induktion, dass für alle [mm] n\in \IN y_n< [/mm] 4 richtig ist.
2. zeige durch vollständige Induktion das gilt [mm] y_n |
1. Aufgabe
also habe ich vor, die vollständige Induktion für [mm] y_1,y_2 [/mm] und [mm] y_3 [/mm] zu zeigen, denn [mm] y_4 [/mm] geht nicht weil soll ja kleiner sein als 4.
gut...Induktionsanfang: n=1 also [mm] y_1=1 [/mm] (wie vorgegeben.)
[mm] y_{1+1}= \bruch{3*y_1+4}{4}
[/mm]
2= [mm] \bruch{3+4}{4}
[/mm]
aber das stimmt nicht!! Und genau DA ist mein Problem!
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> [mm]y_1=1[/mm] und für jedes [mm]n\in\IN[/mm] ist [mm]y_{n+1}[/mm] definiert durch
> [mm]y_{n+1}= \bruch{3*y_n+4}{4}[/mm]
>
> 1. Beweise durch vollständige Induktion, dass für alle
> [mm]n\in \IN y_n<[/mm] 4 richtig ist.
>
> 2. zeige durch vollständige Induktion das gilt
> [mm]y_n
> 1. Aufgabe
>
> also habe ich vor, die vollständige Induktion für [mm]y_1,y_2[/mm]
> und [mm]y_3[/mm] zu zeigen, denn [mm]y_4[/mm] geht nicht weil soll ja kleiner
> sein als 4.
Hallo,
???
Du sollst nicht "die vollständige Induktion zeigen", sondern die Aussage, daß [mm] y_n\le [/mm] 4 für alle [mm] n\in \IN [/mm] richtig ist.
>
> gut...Induktionsanfang: n=1 also [mm]y_1=1[/mm] (wie vorgegeben.)
>
Es ist
> [mm]y_{1+1}= \bruch{3*y_1+4}{4}[/mm]
> 2= [mm]\bruch{3+4}{4}[/mm]
Was sollte die 2?
Egal. [mm] $\bruch{3+4}{4}$=\bruch{7}{4}, [/mm] und das ist kleiner als 4.
>
> aber das stimmt nicht!! Und genau DA ist mein Problem!
das Problem war selbst erzeugt, weil Du einfach ein 2 hingeschrieben hast, deren Herkunft vermutlich nichtmal Du kennst.
Oh - ich ahne Schlimmes...
Vielleicht wäre es für Dein Verständnis ganz gut, würdest Du mal die ersten 10 Folgengleider von [mm] y_n [/mm] aufschreiben.
Dir ist klar, daß [mm] y_5=5 [/mm] nicht richtig ist?
Gruß v. Angela
Dir ist
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Okay...ich bin davon ausgegangen, weil [mm] y_1=1 [/mm] gegeben war....
Trotzdem verstehe ich nicht wie ich das mit vollständiger Induktion beweisen soll....
okay, die Folgenglieder müssten sein: [mm] \bruch{7}{4},\bruch{5}{2}, \bruch{13}{4},4,....
[/mm]
also was du geschrieben hast " [mm] y_n\le [/mm] n" stimmt nicht ganz...es muss heißen [mm] y_n<4
[/mm]
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Hallo Mathegirl!
Deine Folgenglieder stimmen so nicht. Rechne doch mal bitte vor.
Für den Induktionsschritt beginne mit:
[mm]y_{n+1} \ = \ \bruch{3*\red{y_n}+4}{4} \ \red{\le} \ ...[/mm]
Schätze nun [mm]y_n \ \le \ 4[/mm] ab und setze ein; anschließend zusammenfassen.
Gruß vom
Roadrunner
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dann weiß ich es leider nicht.....ich habe für [mm] y_n [/mm] 1,2,3,4,..eingesetzt und somit die Folgenglieder erhalten.... ich verstehe diese Aufgabe übrhaupt nicht zw so wie ich sie zu verstehen dachte ist es nicht richtig. Mir ist bisher nur ein normaler beweis durch induktion bekannt!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:28 Do 11.11.2010 | | Autor: | fred97 |
Ist das wirklich so schwer ?
Der Induktionsanfang ist klar.
Nun setze voraus, dass für ein n [mm] \in \IN [/mm] gilt: [mm] y_n \le [/mm] 4
Dann : $ [mm] y_{n+1}= \bruch{3\cdot{}y_n+4}{4} \le \bruch{3\cdot{}4+4}{4}=4$
[/mm]
FRED
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JA, für mich ist es schwer!! Wer es kann, für den ist das logischerweise kein Problem und leicht mal vorgerechnet! Wer das aber noch nie gemacht hat, der hat damit eventuell seine Probleme.
und warum schreibt jeder [mm] y_n\le [/mm] 4, auf meinem Blatt steht [mm] y_n< [/mm] 4, NICHT [mm] \le [/mm] 4.
Vielleicht kann mir jemand den Anfang mit Induktionsanfang ) aufschreiben damit ich es verstehe, oder mir das an einem sehr ähnlichen Beispiel zeigen! Ich würde das schon ganz gerne verstehen!!
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Hallo,
> JA, für mich ist es schwer!! Wer es kann, für den ist das
> logischerweise kein Problem und leicht mal vorgerechnet!
> Wer das aber noch nie gemacht hat, der hat damit eventuell
> seine Probleme.
>
> und warum schreibt jeder [mm]y_n\le[/mm] 4, auf meinem Blatt steht
> [mm]y_n<[/mm] 4, NICHT [mm]\le[/mm] 4.
Da hst du recht, du kannst alle [mm]\le[/mm] durch [mm]<[/mm] ersetzen, probier's aus, es ändert sich nix.
>
> Vielleicht kann mir jemand den Anfang mit Induktionsanfang
> ) aufschreiben damit ich es verstehe, oder mir das an einem
> sehr ähnlichen Beispiel zeigen! Ich würde das schon ganz
> gerne verstehen!!
Im Induktionsanfang musst du zeigen, dass die Beh. für [mm]\red{n=1}[/mm] gilt.
Zu zeigen ist also: [mm]y_{\red{1}} \ < \ 4[/mm]
Aber [mm]y_1=1[/mm] ist ja vorgegeben und das ist offensichtlich kleiner als 4 ...
Das ist doch auch für jemanden, der ungeübt im Beweisen ist, keine Meisterprüfung, oder? Mal ganz ehrlich!
Schreibe dir immer hin, was Voraussetzung ist und was zu zeigen ist ..
Gruß
schachuzipus
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:48 Do 11.11.2010 | | Autor: | abakus |
> dann weiß ich es leider nicht.....ich habe für [mm]y_n[/mm]
> 1,2,3,4,..
Das solltest du aber nicht.
Du musst [mm] y_1=1 [/mm] einsetzen, um [mm] y_2 [/mm] zu erhalten:
Aus [mm] y_{n+1}=(3y_n+4):4 [/mm] folgt nämlich
[mm] y_2=(3*1+4):4= [/mm] 7/4
Dann muss gelten
[mm] y_3=(3*y_2+4):4, [/mm] also
[mm] y_3=(3*(7/4)+4):4= [/mm] 37/16.
Weiter geht es mit
[mm] y_4=(3*(37/16)+4):4= [/mm] ...
Gruß Abakus
> eingesetzt und somit die Folgenglieder
> erhalten.... ich verstehe diese Aufgabe übrhaupt nicht zw
> so wie ich sie zu verstehen dachte ist es nicht richtig.
> Mir ist bisher nur ein normaler beweis durch induktion
> bekannt!
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Vielen Dank Abacus, Jetzt hab ich es auch verstanden wie es gemeint ist.
[mm] y_4=(3*(37/16)+4):4= [/mm] 64175/16 und das wiederum ist größer als 4!
Aber ist das schon der beweis dazu? also ich meine kann ich das so formulieren, wenn ich das so zeigen will?
Mathegirl
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Hallo Mathegirl!
> [mm]y_4=(3*(37/16)+4):4=[/mm] 64175/16
![[aeh]](/images/smileys/aeh.gif "[aeh]") Nein, das stimmt nicht. Da hast Du Dich arg verrechnet!
> und das wiederum ist größer als 4!
Wieso größer als 4?????????? Du sollst zeigen, dass es kleiner als 4 ist!
> Aber ist das schon der beweis dazu?
Selbstverständlich nicht. Für den Beweis sollst Du die  vollständige Induktion verwenden.
Gruß vom
Roadrunner
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sorry, ich hab mich nur verschrieben, es ist kleiner als 10 (175/16):4
und genau DAS ist mein Problem, das in Form der vollständigen Induktion zu schreiben!
n=1 war ja gegeben, stimmt also.
ich muss nun also n+1, n+2, n+3 und n+4 nachweisen.
und das hab ich ja eigentlich gezeigt, wenn ich das ausdrücke wie abakus oder?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:23 Do 11.11.2010 | | Autor: | fred97 |
> sorry, ich hab mich nur verschrieben, es ist kleiner als 10
> (175/16):4
>
> und genau DAS ist mein Problem, das in Form der
> vollständigen Induktion zu schreiben!
>
> n=1 war ja gegeben, stimmt also.
> ich muss nun also n+1, n+2, n+3 und n+4 nachweisen.
Was soll der Quatsch ? Kannst Du nur bis 4 zählen ? Bei Dir kommt ständig 4 vor ! Nur weil Du zeigen sollst blubla <4 ? Was machst Du dann, wenn Du mal zeigen sollst
blablubber < [mm] -e^{234567890}
[/mm]
>
> und das hab ich ja eigentlich gezeigt, wenn ich das
> ausdrücke wie abakus oder?
Nö.
Nochmal :
I.A.: [mm] y_1=1<4 [/mm] .
I.V: für ein n $ [mm] \in \IN [/mm] $ gelte $ [mm] y_n [/mm] < 4$
n [mm] \to [/mm] n+1: $ [mm] y_{n+1}= \bruch{3\cdot{}y_n+4}{4} [/mm] < [mm] \bruch{3\cdot{}4+4}{4}=4 [/mm] $
Fertig ist der Beweis
FRED
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Sorry Fred, aber die blöden Sprüche muss ich mir nicht anhören!
ich zeige das also lange bis ich bei 4 bzw = 4 angekommen bin?
Falls das wieder ne dämliche Frage ist brauchst du ja nicht mehr zu antworten!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:51 Do 11.11.2010 | | Autor: | fred97 |
> Sorry Fred, aber die blöden Sprüche muss ich mir nicht
> anhören!
>
> ich zeige das also lange bis ich bei 4 bzw = 4 angekommen
> bin?
>
> Falls das wieder ne dämliche Frage ist brauchst du ja
> nicht mehr zu antworten!
Das ist keine Antwort
FRED
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:57 Do 11.11.2010 | | Autor: | fred97 |
> Sorry Fred, aber die blöden Sprüche muss ich mir nicht
> anhören!
>
> ich zeige das also lange bis ich bei 4 bzw = 4 angekommen
> bin?
Wieso nur bis 4 ??????????????????????????????????????????????
>
> Falls das wieder ne dämliche Frage ist brauchst du ja
> nicht mehr zu antworten!
Ich hab Dir doch oben Deine Aufgabe komplett vorgemacht. Was willst Du mehr ?
FRED
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:43 Do 11.11.2010 | | Autor: | fred97 |
> [mm]y_1=1[/mm] und für jedes [mm]n\in\IN[/mm] ist [mm]y_{n+1}[/mm] definiert durch
> [mm]y_{n+1}= \bruch{3*y_n+4}{4}[/mm]
>
> 1. Beweise durch vollständige Induktion, dass für alle
> [mm]n\in \IN y_n<[/mm] 4 richtig ist.
>
> 2. zeige durch vollständige Induktion das gilt
> [mm]y_n
> 1. Aufgabe
>
> also habe ich vor, die vollständige Induktion für [mm]y_1,y_2[/mm]
> und [mm]y_3[/mm] zu zeigen, denn [mm]y_4[/mm] geht nicht weil soll ja kleiner
> sein als 4.
>
> gut...Induktionsanfang: n=1 also [mm]y_1=1[/mm] (wie vorgegeben.)
>
> [mm]y_{1+1}= \bruch{3*y_1+4}{4}[/mm]
> 2= [mm]\bruch{3+4}{4}[/mm]
>
> aber das stimmt nicht!! Und genau DA ist mein Problem!
Dein Problem ist offensichtlich, dass Du der Meinung bist, auf der Welt gibt es nur eine einzige Folge [mm] (y_n), [/mm] nämlich
[mm] y_n=n [/mm] für n [mm] \in \IN
[/mm]
FRED
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:03 Do 11.11.2010 | | Autor: | Mathegirl |
Okay...ich bin davon ausgegangen, weil $ [mm] y_1=1 [/mm] $ gegeben war....
Trotzdem verstehe ich nicht wie ich das mit vollständiger Induktion beweisen soll....
okay, die Folgenglieder müssten sein: $ [mm] \bruch{7}{4},\bruch{5}{2}, \bruch{13}{4},4,.... [/mm] $
also was du (angela) geschrieben hast " $ [mm] y_n\le [/mm] $ n" stimmt nicht ganz...es muss heißen $ [mm] y_n<4 [/mm] $
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:13 Do 11.11.2010 | | Autor: | dfx |
Hallo,
ich hab es etwa so gemacht wie der fred97.
zu 1.)
IA: $n=1$, [mm] $y_1=1<4$
[/mm]
IV: Für [mm] $n\in\IN$ [/mm] beliebig, aber fest, gelte [mm] $y_{n+1}=\bruch{3y_n+4}{4} [/mm] < 4$
IS: [mm] $n\to [/mm] n+1$, [mm] $y_{n+2} [/mm] = [mm] \bruch{3y_{n+1}+4}{4} [/mm] <^{IV} [mm] \bruch{3\cdot 4+4}{4} [/mm] = 4$ [mm] \Box
[/mm]
Wenn du das IV über dem "kleiner als" weglässt, gibt es bis zu einem Punkt Abzug. Ausserdem kann auch die Formulierung "... beliebig, aber fest, ..." einigen Dozenten ein Dorn im Auge sein, welche mit nur [mm] $n\in\IN [/mm] vorlieb nehmen würden.
Allerdings sollte ich wahrscheinlich genauso ansetzen wie fred es tut.
Die zweite Aufgabe ist etwas schwieriger, aber im Grunde auch nicht. Ich habe da aber wieder [mm] y_{n+2} [/mm] am Anfang vom IS. Du könntest übrigens
[mm] $y_{n+1}=\bruch{3y_n + 4}{4}$
[/mm]
auch so schreiben:
[mm] $y_{n+1}=\bruch{3}{4} y_n [/mm] + 1$
Vielleicht siehst du ja so deutlicher, warum [mm] $y_{n+1}$ [/mm] nicht so einfach $4$ ergeben kann. Bei der ersten Aufgabe hat man ja auch gesehen, dass es nur der Fall ist, wenn der Vorgänger bereits $4$ ist.
Bei der zweiten heißt es, der Nachfolger ist immer größer als der Vorgänger. Das sollte sich dir ja schon gezeigt haben, wenn du darüber nachgedacht hast. Bleibt nur die Formulierung der neuen Voraussetzung und zu wissen, wann sie zum tragen kommt, womit man auch schon so ziemlich fertig ist. Im Grunde muss man für die Aufgabe nur das "Prinzip" der vollständigen Induktion verstanden haben und das nochmal zeigen. Also es geht vielmehr um den Kern der Induktion, weniger darum in der Lage zu sein etwas noch stumpf herunterrechnen und entsprechend umformen zu können, wie du dir vielleicht am Anfang vorgestellt hast.
gruesse, dfx
Edit#1: Qed eingefügt, sowie eine Anmerkung zur Formulierung der Voraussetzung.
Edit#2: In der IV zu 1. fehlte das "<4" und wurde hinzugefügt.
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Hallo....DAS verstehe ich doch alles, meine Frage ist hierbei aber schon von anfang an, ob DAS was hier als Beweis steht, oder ob ich das durch Ausführung zeigen muss!
> IA: [mm]n=1[/mm], [mm]y_1=1<4[/mm]
>
> IV: Für [mm]n\in\IN[/mm] beliebig, aber fest, gelte
> [mm]y_{n+1}=\bruch{3y_n+4}{4}[/mm]
>
> IS: [mm]n\to n+1[/mm], [mm]y_{n+2} = \bruch{3y_{n+1}+4}{4} <^{IV} \bruch{3\cdot 4+4}{4} = 4[/mm]
> [mm]\Box[/mm]
Ich habe das Prinzip der Induktion schon verstanden und ich hab auch gewusst das ich das was hier steht zeigen soll....aber so wie es hier steht muss ich das doch noch weiter ausführen oder?
Mathegirl
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Hallo nochmal,
> Hallo....DAS verstehe ich doch alles, meine Frage ist
> hierbei aber schon von anfang an, ob DAS was hier als
> Beweis steht, oder ob ich das durch Ausführung zeigen
> muss!
Das ist der komplette Beweis zu Aufgabe 1.
Was wilslt du denn da noch ausführen, das ist ein lupenreiner Induktionsbeweis für die zu zeigende Behauptung.
Er steht nun ein Dutzend mal hier im thread - fast wortwörtlich in Freds Antwort weit oben ...
>
>
> > IA: [mm]n=1[/mm], [mm]y_1=1<4[/mm]
> >
> > IV: Für [mm]n\in\IN[/mm] beliebig, aber fest, gelte
> > [mm]y_{n+1}=\bruch{3y_n+4}{4}[/mm]
> >
> > IS: [mm]n\to n+1[/mm], [mm]y_{n+2} = \bruch{3y_{n+1}+4}{4} <^{IV} \bruch{3\cdot 4+4}{4} = 4[/mm]
> > [mm]\Box[/mm]
>
> Ich habe das Prinzip der Induktion schon verstanden und ich
> hab auch gewusst das ich das was hier steht zeigen
> soll....aber so wie es hier steht muss ich das doch noch
> weiter ausführen oder?
WAS willst du denn ausführen?
Wenn du das Induktionsprinzip WIRKLICH verstanden hättest, würdest du einsehen, dass hier alles gezeigt ist.
Erkläre doch mal kurz mit eigenen Worten das Ind.prinzip ...
Da scheint mir noch was unklar zu sein ...
>
>
> Mathegirl
>
>
>
Gruß
schachuzipus
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okay...aber trotzdem hab ich die 2. Teilaufgabe noch nicht so richtig verstanden.....
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Hallo Mathegirl!
Betrachte [mm] $y_{n+1}-y_n [/mm] \ > \ 0$ und wende wiederum die Methode der vollständigen Induktion an.
Wie weit kommst Du?
Gruß vom
Roadrunner
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| Status: |
(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 19:58 Do 11.11.2010 | | Autor: | Mathegirl |
hmmmm...ich kriegs einfach nicht hin....vielleicht versteh ichs irgendwann mal...aber danke für die Hilfe!
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:02 Do 11.11.2010 | | Autor: | Roadrunner |
Hallo Mathegirl!
Nun beginne doch mal mit dem Rechnen und poste dies hier.
Zumindest den Induktionsanfang solltest Du doch hinbekommen.
Gruß vom
Roadrunner
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wen ich nicht weiß wie es geht, dann kann ich auch nicht beginnen...
IA: n=1, [mm] y_1=1
[/mm]
.....??? keine ahnung..
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Hallo nochmal,
> wen ich nicht weiß wie es geht, dann kann ich auch nicht
> beginnen...
>
> IA: n=1, [mm]y_1=1[/mm]
>
> .....??? keine ahnung..
Meine Güte, meine Güte!
Du willst ernsthaft Mathelehrerin werden??
Au weia!
Im Induktionsanfang ist zu zeigen, dass die Beh. für [mm]n=1[/mm] gilt.
Wie lautet die Beh. allgemein?
Für alle [mm]n\in\IN[/mm] ist [mm]y_n \ < \ y_{n+1}[/mm]
Und du bist nicht einmal in der Lage, diese Beh. für [mm]n=1[/mm] zu formulieren??
Da ist doch nur n durch 1 zu ersetzen. Das ist doch keine hohe Mathematik?!?!?!?
zu zeigen ist im IA also [mm]y_1 \ < \ y_2[/mm]
Kriegst du das hin?
[mm]y_1[/mm] kennst du ja zum Glück, das ist gegeben. Wie man daraus [mm]y_2[/mm] berechnet, steht auch in der Aufgabe ...
Du musst nur prüfen, ob gilt [mm]y_1 \ < \ y_2[/mm]
Das kannst du deinen Schülern später in der 7.Klasse geben ...
Mensch Meier ...
Nun reiß dich mal am Riemen, zeige das eben und mache dich selbständig an den Induktionsschritt.
Nimm an, dass für bel. aber festes [mm]n\in\IN[/mm] die Beh. gelte (also [mm]y_n \ < \ y_{n+1}[/mm])
Zu zeigen ist dann, dass sie auch für [mm]n+1[/mm] gilt, dass also [mm]y_{n+1} < \ y_{n+2}[/mm] gilt.
Das kriegst du nun aber nach dem zugegeben etwas harten Anstoß hin, oder?
Aber das musste mal gesagt werden ...
Gruß
schachuzipus
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