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| Aufgabe | Beweisen Sie mittels vollständiker Induktion:
Für alle [mm] n\in\IN [/mm] gelte:
[mm] \summe_{k=1}^{n}k*2^{k}=(n-1)*2^{n+1}+2 [/mm] |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Diese Behauptung stimmt (2=2).
Nun ist also die Ind.Voraussetzung [mm] \summe_{k=1}^{n}k*2^{k}=(n-1)*2^{n+1}+2
[/mm]
Nun soll das für alle n+1 gelten:
[mm] \summe_{k=1}^{n+1}k*2^{k}=n*2^{n+2}+2
[/mm]
Wir haben aber : [mm] \summe_{k=1}^{n+1}k*2^{k}=(\summe_{k=1}^{n})+n+1*2^{n+1}
[/mm]
Also steht rechts:
[mm] (n-1)*2^{n+1}+2+(n+1)*2^{n+1}
[/mm]
Wenn man nun [mm] 2^{n+1} [/mm] ausklammert steht:
[mm] 2^{n+2}(n+2)
[/mm]
und damit wäre ich fertig oder?
Besten Gruß
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Die 2 wurde nicht multipliziert oder?
Also müsste es nur heißen [mm] n*2^{n+2}+2 [/mm] ?
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Hallo RockStar!
> Die 2 wurde nicht multipliziert oder?
Nein.
> Also müsste es nur heißen [mm]n*2^{n+2}+2[/mm] ?
Ja, das müsste am Ende herauskommen. Ich bin mir nur nicht ganz sicher, ob Du das auch mit den richtigen Schritten erhalten hast, da Du nur Ergebnisse lieferst.
Gruß vom
Roadrunner
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Ich mir auch nicht ehrlich gesagt ;)
Also der Induktionsanfang wäre ja, dass der erste Beweis stimmt oder? Also in diesem Fall, dass beide Seiten mit k=1 =2 ergeben.
Danach hat man die Induktionsvoraussetzung mit [mm] \summe_{k=1}^{n}k*2^{k}=(n-1)*2^{n+1}+2.
[/mm]
Danach kommt ja die Induktionsbehauptung, dass die Summe für alle n=n+1 gelte, also [mm] \summe_{k=1}^{n+1}k*2^{k}=n*2^{n+2}+2 [/mm] sei.
Nun kommt/en der/die Induktionsschritt/e (?), also das was ich auf der rechten Seite weitergerechnet habe.
Korrigiere mich bitte, wenn ich falsch liege.
Beste Grüße
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Hallo TheRockstar,
> Ich mir auch nicht ehrlich gesagt ;)
>
> Also der Induktionsanfang wäre ja, dass der erste Beweis
> stimmt oder? Also in diesem Fall, dass beide Seiten mit
> k=1 =2 ergeben.
Eher, dass beide Seiten für [mm]\red{n}=1[/mm] denselben Wert (offenbar 2) liefern ...
>
> Danach hat man die Induktionsvoraussetzung mit
> [mm]\summe_{k=1}^{n}k*2^{k}=(n-1)*2^{n+1}+2.[/mm]
für ein beliebiges, aber festes [mm]n\in\IN[/mm]
>
> Danach kommt ja die Induktionsbehauptung, dass die Summe
> für alle n=n+1
Das ist komisch formuliert ...
Besser: ... dass die Beh. dann (also unter der obigen Induktionsvoraussetzung) auch für [mm]n+1[/mm] gilt
> gelte, also
> [mm]\summe_{k=1}^{n+1}k*2^{k}=n*2^{n+2}+2[/mm] sei.
Das ist zu zeigen, ja!
> Nun kommt/en der/die Induktionsschritt/e (?),
Du bist mittendrin 
> also das was
> ich auf der rechten Seite weitergerechnet habe.
Wie zeigt man eine Gleichheit?
Man nimmt sich eine Seite her, formt um, bis man schließlich die andere Seite dastehen hat.
Also [mm]\sum\limits_{k=1}^{n+1}k\cdot{}2^k \ = \ \left( \ \sum\limits_{k=1}^{n}k\cdot{}2^k} \ \right) \ + \ (n+1)\cdot{}2^{n+1}[/mm]
Wie in der anderen Induktion von neulich die Summe aufspalten in eine Summe bis n, auf die man dann die IV anwenden kann und den letzten Summanden, also den für [mm]k=n+1[/mm], das ist [mm](n+1)\cdot{}2^{n+1}[/mm] extra hinten dran tackern
[mm]=\underbrace{\left((n-1)\cdot{}2^{n+1}+2\right)}_{\text{nach IV}} \ + \ (n+1)\cdot{}2^{n+1}[/mm]
Das nun weiter zusammenrechnen bis am Ende [mm]...=n\cdot{}2^{n+2}+2[/mm] herauskommt
Dazu bietet es sich an, [mm]2^{n+1}[/mm] auszuklammern (erstmal umsortieren, die +2 können wir so stehenlassen und schreiben sie ans Ende):
[mm]=\left((n-1)\cdot{}2^{n+1}+(n+1)\cdot{}2^{n+1}\right) \ + \ 2[/mm]
Nun ausklammen: [mm]=2^{n+1}\cdot{}\left[(n-1)+(n+1)\right] \ + 2[/mm]
Nun bekommt du's hin, oder?
>
> Korrigiere mich bitte, wenn ich falsch liege.
>
> Beste Grüße
Gruß
schachuzipus
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