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Hallo nochmal,
habe wieder eine Frage unzwar geht es um die vollständige Induktion bei der folgenden Aufgabe:
c) [mm] \produkt_{i=1}^{n}(1+x_{i})\ge [/mm] 1+ [mm] \summe_{i=1}^{n} x_{i}
[/mm]
hier soll man die Ungleichung mit der vollständigen Induktion beweisen, habe leider dazu keine Ansätze und würde mich über jede Hilfe freuen
Ich danke im Voraus
Mfg mathemania
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:39 Sa 20.11.2010 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Du musst hier eldiglich die üblichen Schritte eines Ind-Beweises abarbeiten.
1) Ind. Anfang.
Zeige, dass die Ungleichung für n=1 gilt, also
[mm] $\produkt_{i=1}^{\red{1}}(1+x_{i})\ge1+\summe_{i=1}^{\red{1}}x_{i}$
[/mm]
2. Ind. Voraussetzung: Nehme an, dass für ein n gilt:
$ [mm] \produkt_{i=1}^{n}(1+x_{i})\ge1+\summe_{i=1}^{n} x_{i} [/mm] $
3. Ind-Schritt.
Zeig nun, dass unter der Ind-Voraussetzung gilt:
$ [mm] \produkt_{i=1}^{\red{n+1}}(1+x_{i})\ge1+\summe_{i=1}^{\red{n+1}} x_{i} [/mm] $
Fange mal wie folgt an:
[mm] \produkt_{i=1}^{\red{n+1}}(1+x_{i})
[/mm]
[mm] =\left(\produkt_{i=1}^{\red{n}}(1+x_{i})\right)*\left(\produkt_{\green{i=n+1}}^{\red{n+1}}(1+x_{i})\right)
[/mm]
[mm] =\left(\produkt_{i=1}^{\red{n}}(1+x_{i})\right)*\left(1+x_{n+1}\right)
[/mm]
Auf die erste Klammer kannst du jetzt die Ind-Voraussetzung anwenden, den Restterm musst du dann noch so umformen, dass du am Ende eine Ungleichungskette
[mm] \produkt_{i=1}^{\red{n+1}}(1+x_{i})
[/mm]
[mm] =\left(\produkt_{i=1}^{\red{n}}(1+x_{i})\right)*\left(\produkt_{\green{i=n+1}}^{\red{n+1}}(1+x_{i})\right)
[/mm]
[mm] =\left(\produkt_{i=1}^{\red{n}}(1+x_{i})\right)*\left(1+x_{n+1}\right)
[/mm]
[mm] \ge\ldots=\ldots\ge1+\summe_{i=1}^{\red{n+1}} x_{i}
[/mm]
Marius
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