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Forum "Induktionsbeweise" - Vollständige Induktion
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Vollständige Induktion: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:36 Mo 07.05.2012
Autor: Ichchecksnicht

Aufgabe
[mm] \summe_{k=1}^{n}\bruch{1}{(3k+2)(3k+5)}=\bruch{n}{5(3n+5)} [/mm]

[mm] \summe_{k=1}^{n+1}\bruch{1}{(3k+2)(3k+5)}=\summe_{k=1}^{n}\bruch{1}{(3k+2)(3k+5)}+\bruch{1}{(3n+5)(3n+8)} [/mm]

              [mm] =\bruch{n}{5(3n+5)}+\bruch{1}{(3n+5)(3n+8)} [/mm]

              [mm] =\cdots [/mm]              

              [mm] =\bruch{n+1}{5(3n+8)} [/mm]

Hallo an alle,

ich sitze jetzt schon Stunden an diese Aufgabe und weiß nicht, wie ich zum gewünschten Ergebnis komme. Wenn ich die (3n + 5) da ausklammer und wegkürze, dann muss ich die Gleichungen immer noch auf den selben Nenner bringen, um die zu addieren. Wenn ich das dann aber mache, dann komme ich nicht zum gewünschten Ergebnis. Kann mir einer da weiterhelfen?

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
Bezug
Vollständige Induktion: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:53 Mo 07.05.2012
Autor: Valerie20

Hi!

> [mm]\summe_{k=1}^{n}\bruch{1}{(3k+2)(3k+5)}=\bruch{n}{5(3n+5)}[/mm]
>  
>
>  
> [mm]\summe_{k=1}^{n+1}\bruch{1}{(3k+2)(3k+5)}=\summe_{k=1}^{n}\bruch{1}{(3k+2)(3k+5)}+\bruch{1}{(3n+5)(3n+8)}[/mm]
>  
> [mm]=\bruch{n}{5(3n+5)}+\bruch{1}{(3n+5)(3n+8)}[/mm]
>  
> [mm]=\cdots[/mm]              
>
> [mm]=\bruch{n+1}{5(3n+8)}[/mm]
>  Hallo an alle,
>  
> ich sitze jetzt schon Stunden an diese Aufgabe und weiß
> nicht, wie ich zum gewünschten Ergebnis komme. Wenn ich
> die (3n + 5) da ausklammer und wegkürze, dann muss ich die
> Gleichungen immer noch auf den selben Nenner bringen, um
> die zu addieren. Wenn ich das dann aber mache, dann komme
> ich nicht zum gewünschten Ergebnis. Kann mir einer da
> weiterhelfen?
>  
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.

Hast du daran gedacht, dass [mm]\summe_{k=1}^{n+1}\bruch{1}{(3k+2)(3k+5)}=\bruch{n+1}{5(3(n+1)+5)}[/mm] herauskommen muss? :-)


Bezug
                
Bezug
Vollständige Induktion: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:50 Mo 07.05.2012
Autor: Ichchecksnicht

Danke erstmal für die Antwort.

Ich danke dir für den Tipp. Ich hab eben auch rumprobiert, aber weiß nicht genau, wie ich da bei der Umformung vorgehen soll.

Ich hab auch eine Musterlösung, aber die war nicht hilfreich, da Zwischenschritte ausgelassen worden sind:

[mm] =\bruch{n}{5(3n+5)}+\bruch{1}{(3n+5)(3n+8)} [/mm]

[mm] =\bruch{1}{5(3n+5)}(n+\bruch{5}{3n+8}) [/mm]

[mm] =\bruch{1}{5(3n+5)}\bruch{3n^2+8n+5}{3n+8} [/mm]

[mm] =\bruch{n+1}{5(3n+8)} [/mm]

Mir ist klar, dass hier im 2. Schritt ausgeklammert worden ist, damit n alleine steht. Aber ich weiß nicht woher da dann plötzlich die 5 im Zähler kommt und wo die (3n+5) im Nenner weggezaubert worden sind.

Ich habs auch vorher ohne die Musterlösung probiert, aber leider macht es bei mir nicht Klick. Wäre nett wenn man mir bei der Umformung helfen könnte. Ich bin schon am verzweifeln.

Bezug
                        
Bezug
Vollständige Induktion: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:02 Mo 07.05.2012
Autor: Valerie20

Hallo nochmal,

> Danke erstmal für die Antwort.
>  
> Ich danke dir für den Tipp. Ich hab eben auch rumprobiert,
> aber weiß nicht genau, wie ich da bei der Umformung
> vorgehen soll.

Du musst bei diesen Induktionsaufgaben zuerst mal sehr strukturiert vorgehen. Schreib dir immer den Induktionsanfang, Induktionsschluss und Induktionsschritt auf (Bei uns gab es damals sogar einen Punkt alleine auf dieses Schema ohne jegliche Rechnung).


> Ich hab auch eine Musterlösung, aber die war nicht
> hilfreich, da Zwischenschritte ausgelassen worden sind:
>  
> [mm]=\bruch{n}{5(3n+5)}+\bruch{1}{(3n+5)(3n+8)}[/mm]

Wie du bereits richtig erkannt hast, wird im nächsten Schritt ausgeklammert.
Der ausgeklammerte Term lautet: [mm]\frac{1}{5(3n+5)}[/mm]

Ich mach dir das mal an einem einfachen allgemeinen Beispiel klar:

Angenommen du hast den Term: [mm]\frac{a}{5c}+\frac{1}{c\cdot d}[/mm]

Du möchtest nun [mm] $\frac{1}{5c}$ [/mm] ausklammern. Mach das mal.
Danach überlegst du dir was in deinem Beispiel a,b,c und d sind.

> [mm]=\bruch{1}{5(3n+5)}(n+\bruch{5}{3n+8})[/mm]
>  
> [mm]=\bruch{1}{5(3n+5)}\bruch{3n^2+8n+5}{3n+8}[/mm]
>  
> [mm]=\bruch{n+1}{5(3n+8)}[/mm]
>  
> Mir ist klar, dass hier im 2. Schritt ausgeklammert worden
> ist, damit n alleine steht. Aber ich weiß nicht woher da
> dann plötzlich die 5 im Zähler kommt und wo die (3n+5) im
> Nenner weggezaubert worden sind.
>  
> Ich habs auch vorher ohne die Musterlösung probiert, aber
> leider macht es bei mir nicht Klick. Wäre nett wenn man
> mir bei der Umformung helfen könnte. Ich bin schon am
> verzweifeln.  

Gruß Valerie


Bezug
                                
Bezug
Vollständige Induktion: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 19:08 Di 08.05.2012
Autor: Ichchecksnicht

Ich danke dir. Ich weiß jetzt, wo mein Fehler lag. Ich habe nicht berücksichtigt, dass bei der Ausklammerung auch der zweite Summand beeinflusst wird. Ich werde mich nochmal in Ruhe an die Aufgabe ransetzen. Falls weitere Fragen aufkommen, meld ich mich nochmal. Danke nochmal für die Tipps.

Bezug
        
Bezug
Vollständige Induktion: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:52 Mo 07.05.2012
Autor: chrisno

Du bist ja fast fertig. Bring beide Summanden auf den Hauptnenner. Addiere dann. Den Zähler kannst Du dann als $(3n+5)(n+1)$ schreiben.

Bezug
                
Bezug
Vollständige Induktion: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 19:15 Di 08.05.2012
Autor: Ichchecksnicht

Ich danke dir auch für den Tipp. Darauf muss man erstmal kommen. Ich denk, ich muss noch viel üben. :)

Bezug
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