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Forum "Induktionsbeweise" - Vollständige Induktion
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Vollständige Induktion: Hilfe bei der Lösung
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:44 Di 12.06.2012
Autor: Ratzka

Aufgabe
Erläutern Sie das Beweisverfahren der vollständigen Induktion und beweisen sie die Summenformel am Beispiel dieser Aufgabe: 1³+2³+3³+...+n³=1/4n²(n+1)²

Ich habe mir die Vollständige Induktion am Beispiel von de Gaußschen Summenformel angesehen, kann es aber nicht auf meine Aufgabe beziehen.

Es wäre net wenn mir das jemand erklären könnte.

Danke schön =D

P.S: Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
Bezug
Vollständige Induktion: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:10 Di 12.06.2012
Autor: Al-Chwarizmi


> Erläutern Sie das Beweisverfahren der vollständigen
> Induktion und beweisen sie die Summenformel am Beispiel
> dieser Aufgabe: 1³+2³+3³+...+n³=1/4n²(n+1)²
>  Ich habe mir die Vollständige Induktion am Beispiel von
> de Gaußschen Summenformel angesehen, kann es aber nicht
> auf meine Aufgabe beziehen.
>  
> Es wäre net wenn mir das jemand erklären könnte.


Hallo Ratzka,
                  [willkommenmr]

es ist sinnvoll, zuerst geeignete Bezeichnungen einzuführen.
Ich würde zum Beispiel vorschlagen:

   $\ [mm] S_n:=1^3+2^3+3^3+...+n^3$ [/mm]

   $\ [mm] T_n:=\frac{1}{4}\,n^2*(n+1)^2$ [/mm]

Zu beweisen ist, dass die Gleichung $\ [mm] S_n\ [/mm] =\ [mm] T_n$ [/mm]  für
alle natürlichen Zahlen n gültig ist. Nach der Methode
der vollständigen Induktion genügt es dabei, zu zeigen,
dass

1.)  [mm] S_1 [/mm] = [mm] T_1 [/mm]   (Verankerung des Beweises)

Dies erledigst du einfach durch Vorführen der entsprechenden
Rechnungen.

2.) falls [mm] S_k [/mm] = [mm] T_k [/mm] ist (für ein beliebiges [mm] k\in\IN), [/mm] dann
    ist auch   [mm] S_{k+1} [/mm] = [mm] T_{k+1} [/mm]

Um dies zu zeigen, zerlegst du die Summe  [mm] S_{k+1} [/mm]  in
[mm] S_{k}+(k+1)^3 [/mm] , wendest dann die Induktionsvoraussetzung,
also die Gleichung [mm] S_k [/mm] = [mm] T_k [/mm]  an, um schließlich die Gleichung
[mm] S_{k+1} [/mm] = [mm] T_{k+1} [/mm]  nachzuweisen.

LG   Al-Chw.

Bezug
                
Bezug
Vollständige Induktion: Weitere Hilfe bei der Lösung
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:43 Do 14.06.2012
Autor: Ratzka

Aufgabe
siehe oben

Hallo, danke erstmal für die hilfe


ich bin jetzt auf die gleichung gekommen:

Sk+(k+1)³=1/4k²(k+1)²+(k+1)³

wie fahre ich nun fort?

Bezug
                        
Bezug
Vollständige Induktion: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:54 Do 14.06.2012
Autor: schachuzipus

Hallo Ratzka,


> siehe oben
>  Hallo, danke erstmal für die hilfe
>  
>
> ich bin jetzt auf die gleichung gekommen:
>  
> Sk+(k+1)³=1/4k²(k+1)²+(k+1)³ [ok]
>  
> wie fahre ich nun fort?

Nun, du musst [mm]\frac{k^2(k+1)^2}{4}+(k+1)^3[/mm] weiter umformen, bis du auf [mm]\frac{(k+1)^2(k+2)^2}{4}[/mm] kommst.

Mache dazu erstmal gleichnamig, schreibe also [mm](k+1)^3=\frac{4(k+1)^3}{4}[/mm]

Dann kannst du alles auf einen Bruchstrich schreiben und ausklammern ...

Mach' mal, das kriegst du hin!

Gruß

schachuzipus


Bezug
                                
Bezug
Vollständige Induktion: Rückfrage
Status: (Frage) reagiert/warte auf Reaktion Status 
Datum: 17:06 Do 14.06.2012
Autor: Ratzka

Aufgabe
siehe oben

> Hallo Ratzka,
>  
>
> > siehe oben
>  >  Hallo, danke erstmal für die hilfe
>  >  
> >
> > ich bin jetzt auf die gleichung gekommen:
>  >  
> > Sk+(k+1)³=1/4k²(k+1)²+(k+1)³ [ok]
>  >  
> > wie fahre ich nun fort?
>
> Nun, du musst [mm]\frac{k^2(k+1)^2}{4}+(k+1)^3[/mm] weiter umformen,
> bis du auf [mm]\frac{(k+1)^2(k+2)^2}{4}[/mm] kommst.
>  
> Mache dazu erstmal gleichnamig, schreibe also
> [mm](k+1)^3=\frac{4(k+1)^3}{4}[/mm]
>  
> Dann kannst du alles auf einen Bruchstrich schreiben und
> ausklammern ...
>  
> Mach' mal, das kriegst du hin!
>  
> Gruß
>  
> schachuzipus
>  


Hallo nochmal,

ich steh gerade wirklich auf dem Schlauch und komm wirklich nicht weiter

Gruß Ratzka

Bezug
                                        
Bezug
Vollständige Induktion: wo klemmt's?
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:14 Do 14.06.2012
Autor: Roadrunner

Hallo Ratzka!


> ich steh gerade wirklich auf dem Schlauch und komm wirklich
> nicht weiter

Das ist nicht sonderlich konstruktiv. Wo genau hängst Du denn? Bis wohin genau kommst Du denn?


Gruß vom
Roadrunner

Bezug
                                                
Bezug
Vollständige Induktion: Rückfrage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:18 Do 14.06.2012
Autor: Ratzka

Aufgabe
siehe oben

> Hallo Ratzka!
>  
>
> > ich steh gerade wirklich auf dem Schlauch und komm wirklich
> > nicht weiter
>
> Das ist nicht sonderlich konstruktiv. Wo genau hängst Du
> denn? Bis wohin genau kommst Du denn?
>  
>
> Gruß vom
>  Roadrunner


Hallo Roadrunner


ich verstehe nicht wie ich durch umformen von $ [mm] \frac{k^2(k+1)^2}{4}+(k+1)^3 [/mm] $ nach da $ [mm] \frac{(k+1)^2(k+2)^2}{4} [/mm] $ komme

grüße ratzka


Bezug
                                                        
Bezug
Vollständige Induktion: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:24 Do 14.06.2012
Autor: leduart

Hallo
1. [mm] (k+1)^2 [/mm] ausklammern. 2. rest auf den Hauptnenner und solange rechnen, bis da [mm] (k+2)^2/4 [/mm] steht. vielleicht schreibst du dir mal [mm] (k+2)^2 [/mm] ausgerechnet hin?
aber losrechnen, also alles mögliche ausprobieren musst du wirklich selbst. bisher hast du offensichtlich keinerlei Umformungen gemacht!
gruss leduart

Bezug
                                                                
Bezug
Vollständige Induktion: Rückfrage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:48 Do 14.06.2012
Autor: Ratzka

Aufgabe
siehe oben

> Hallo
>  1. [mm](k+1)^2[/mm] ausklammern. 2. rest auf den Hauptnenner und
> solange rechnen, bis da [mm](k+2)^2/4[/mm] steht. vielleicht
> schreibst du dir mal [mm](k+2)^2[/mm] ausgerechnet hin?
>  aber losrechnen, also alles mögliche ausprobieren musst
> du wirklich selbst. bisher hast du offensichtlich keinerlei
> Umformungen gemacht!
>  gruss leduart

so ich hab des jetzt mal getan.

ich komme dann auf

[mm] (k+2)^2=k^2+4k+2 [/mm]

und dann imm gesamten

[mm] (k^2*k^2+2k+1)/4 [/mm] + [mm] k^3+k^2+k+1 [/mm]

dannach verlassen mich wieder meine kuenste

Bezug
                                                                        
Bezug
Vollständige Induktion: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:16 Do 14.06.2012
Autor: schachuzipus

Hallo nochmal,

es verstimmt mich immens, dass du nicht versuchst, was ich dir angedeutet habe.

Ich habe aufgeschrieben, was du machen sollst, du gehst in keiner Weise darauf ein.

Du hattest [mm]\frac{k^2(k+1)^2}{4}+(k+1)^3[/mm] im Induktionsschritt

[mm]=\frac{k^2(k+1)^2}{4}+\frac{4(k+1)^3}{4}[/mm]

Soweit hatte ich dir das vorgekaut und nun gesagt, dass du das auf einen Bruchstrich schreiben sollst und dann [mm](k+1)^2[/mm] ausklammern:

[mm]=\frac{k^2(k+1)^2+4(k+1)^3}{4}[/mm]

[mm]=\frac{(k+1)^2\cdot{}\left[k^2+4(k+1)\right]}{4}[/mm]

Nun ist nur noch die eckige Klammer im Zähler zusammenzufassen.

Denke daran, du willst auf [mm]...=\frac{(k+1)^2(k+2)^2}{4}[/mm] raus ...

Gruß

schachuzipus


Bezug
                                                                                
Bezug
Vollständige Induktion: Rückfrage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:26 Do 14.06.2012
Autor: Ratzka

Aufgabe
siehe oben

Danke schöne

mir war nicht ganz klar wie du es gemeint hattes

aber danke nochmal

so noch eine frage

was meintest du mit gleichnamig???

gruß ratzka

Bezug
                                                                                        
Bezug
Vollständige Induktion: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:31 Do 14.06.2012
Autor: schachuzipus

Hallo nochmal,


> siehe oben
>  Danke schöne
>  
> mir war nicht ganz klar wie du es gemeint hattes
>  
> aber danke nochmal
>  
> so noch eine frage
>
> was meintest du mit gleichnamig???

Ist die Frage ernst gemeint?

Wenn du zwei Brüche addieren willst, musst du sie vorher gleichnamig machen; sie müssen denselben Nenner haben: Das lernt man doch in der Schule weit vor der Induktion, oder nicht?

[mm]\frac{a}{b}+\frac{c}{d}=\frac{ad}{bd}+\frac{bc}{bd}=\frac{ad+bc}{bd}[/mm]

>  
> gruß ratzka

LG

schachuzipus


Bezug
                                                                                                
Bezug
Vollständige Induktion: Danke
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 18:34 Do 14.06.2012
Autor: Ratzka

Hallo

ja du hast schon recht nur bei uns in de Schule haben wir den Begriff nur nicht benutzt

Danke nochmal

und die Induktion ist bei uns in der Büchern ja schon gar nicht mehr drinne.

ICh muss das als Referat morgen vorstellen.

Gruß Ratzka

Bezug
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