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Forum "Induktionsbeweise" - Vollständige Induktion
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Vollständige Induktion: Ungleichung
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:58 Mi 03.10.2012
Autor: Franhu

Aufgabe
[mm] \summe_{k=1}^{n} \bruch{1}{k^{2}} \le [/mm] 2 - [mm] \bruch{1}{n} [/mm]
n [mm] \in [/mm] IN

Hallo Zusammen!

Die Verankerung mit 1 habe ich bereits gemacht. Nun komme ich nicht mehr weiter beim umformen:

2 - [mm] \bruch{1}{n} [/mm] + [mm] \bruch{1}{{(n+1)}^{2}} \le [/mm] 2 - [mm] \bruch{1}{n+1} [/mm]

Dann mache ich die brüche gleichnennerig.

2 - [mm] \bruch{{(n+1)}^{2} + n}{{n (n+1)}^{2}} \le [/mm] 2 - [mm] \bruch{1}{n+1} [/mm]

Ich muss eigentlich nur das vergleiche, was von 2 abgezogen wird. Darum lasse ich die zwei weg und wechsle das Vorzeichen.

[mm] \bruch{{(n+1)}^{2} + n}{{n (n+1)}^{2}} \ge \bruch{1}{n+1} [/mm]

Nun komme ich nicht mehr weiter. Wie bringe ich das + n weg, damit ich kürzen kann, oder wie gehe ich am besten vor?

Vielen Dank und Gruss

Franhu

        
Bezug
Vollständige Induktion: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:07 Mi 03.10.2012
Autor: Marcel

Hallo Franhu,

> [mm]\summe_{k=1}^{n} \bruch{1}{k^{2}} \le[/mm] 2 - [mm]\bruch{1}{n}[/mm]
> n [mm]\in[/mm] IN
>  Hallo Zusammen!
>  
> Die Verankerung mit 1 habe ich bereits gemacht. Nun komme
> ich nicht mehr weiter beim umformen:

ich würde im I.S. nicht die Behauptung hinschreiben - sondern würde es so
angehen:
[mm] $$\sum_{k=1}^{n+1}1/k^2=(\sum_{k=1}^n 1/k^2)+\frac [/mm] 1 [mm] {(n+1)^2}\le 2-\frac [/mm] 1 [mm] n+\frac [/mm] 1 [mm] {(n+1)^2}$$ [/mm]

Diese Abschätzung folgt alleine aus der Induktionsvoraussetzung. Wenn
Du Dir jetzt überlegst, warum
$$ [mm] 2-\frac [/mm] 1 [mm] n+\frac [/mm] 1 [mm] {(n+1)^2} \le 2-\frac [/mm] 1 {n+1}$$
gilt, hast Du gewonnen!!
(Um die letzte Ungleichung zu begründen würde ich jetzt
Äquivalenzumformungen betreiben. Dann sieht man das sehr schnell!)

P.S.
Mit ein bisschen Grübeln kann man die Aufgabe auch mit folgendem
Wissen lösen:
[mm] $$\sum_{k=1}^n \frac{1}{k(k+1)}=\sum_{k=1}^n \left(\frac{1}{k}-\frac 1 {k+1}\right)=...=1-\frac{1}{n+1}$$ [/mm]
Ich guck' mal gleich, ob, und wenn, wie das dann genau geht!

Gruß,
  Marcel

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Bezug
Vollständige Induktion: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:10 Mi 03.10.2012
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

und um Marcels Antwort noch auf deine zu beziehen:

> (Um die letzte Ungleichung zu begründen würde ich jetzt Äquivalenzumformungen betreiben. Dann sieht man das sehr schnell!)

das geht natürlich auch bei deiner Vorgehensweise :-)
Einfach solange umformen, bis da etwas wahres steht (was bei dir sehr schnell geht, wenn du mit dem Nenner$ n*(n+1)$ multiplizierst und binomische Formeln nutzt).

MFG,
Gono.

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Vollständige Induktion: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 22:34 Mi 03.10.2012
Autor: Marcel

Hallo Gono,

> Hiho,
>  
> und um Marcels Antwort noch auf deine zu beziehen:
>  
> > (Um die letzte Ungleichung zu begründen würde ich jetzt
> Äquivalenzumformungen betreiben. Dann sieht man das sehr
> schnell!)
>
> das geht natürlich auch bei deiner Vorgehensweise :-)
>  Einfach solange umformen, bis da etwas wahres steht (was
> bei dir sehr schnell geht, wenn du mit dem Nenner[mm] n*(n+1)[/mm]
> multiplizierst und binomische Formeln nutzt).

diesen Weg empfehle ich selten. Da muss man sich immer im klaren
sein, ob das wirklich Äquivalenzumformungen sind, und wo man eigentlich
hin will. Es kann passieren, dass jemand die Induktionsvoraussetzung
benutzt, ein [mm] $\gdw$ [/mm] schreibt, aber aus der zu zeigenden Behauptung
dann eine nur dafür notwendige Bedingung folgert - die aber nicht
hinreichend ist - weil er eben unbedachterweise ein [mm] $\gdw$ [/mm] geschrieben
hat, obwohl nur die entsprechende eine Folgerungsrichtung gegolten hat.

Im Forum hatte ich vor ewigen Zeiten dafür auch mal ein Bsp.
hingeschrieben.

Gruß,
  Marcel

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Vollständige Induktion: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:24 Mi 03.10.2012
Autor: Franhu

Vielen Dank für die schnellen Antworten.
Ich verstehe leider nicht ganz wie das gemeint ist mit dem Nenner n(n+1) multiplizieren?


[mm] \bruch{{(n+1)}^{2} + n}{{n (n+1)}^{2}} \ge \bruch{1}{n+1} [/mm]

Ich fahre hier fort und multipliziere beide Seiten mit n(n+1)? Oder muss Ich nur die linke Seite so verändern, bis Sie besser vergleichbar mit der rechten ist?

Danke und Gruss




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Vollständige Induktion: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:34 Mi 03.10.2012
Autor: reverend

Hallo Franhu,

Deine Frage zeigt eine eklatante Schwäche in der Bruchrechnung auf. Das ist Stoff der 6. oder 7. Klasse. Wenn Du den nicht mehr kannst, dann ist das nicht schlimm, aber du musst ihn unbedingt und so bald wie möglich nachholen.

> Vielen Dank für die schnellen Antworten.
>  Ich verstehe leider nicht ganz wie das gemeint ist mit dem
> Nenner n(n+1) multiplizieren?
>  
>
> [mm]\bruch{{(n+1)}^{2} + n}{{n (n+1)}^{2}} \ge \bruch{1}{n+1}[/mm]
>  
> Ich fahre hier fort und multipliziere beide Seiten mit
> n(n+1)?

Das kannst du machen, aber dann multipliziere doch gleich mit [mm] n(n+1)^2 [/mm] und kürze danach alles, was zu kürzen ist. Bei Ungleichungen muss man allerdings noch im Auge behalten, ob man mit etwas Positivem oder etwas Negativem multipliziert, aber hier entsteht dadurch kein Problem.

> Oder muss Ich nur die linke Seite so verändern,
> bis Sie besser vergleichbar mit der rechten ist?

Umgekehrt. Du kannst auch rechts den Bruch auf den Nenner bringen, der auf der linken Seite steht, indem Du mit n(n+1) erweiterst. Danach kannst Du den Nenner auf beiden Seiten einfach vergessen.
Der Rechenweg (und seine Begründung) ist allerdings identisch mit dem vorigen Vorschlag.

Grüße
reverend


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Vollständige Induktion: Danke
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 23:16 Mi 03.10.2012
Autor: Franhu

Vielen Dank, das sieht so einfach aus, wenns jemand erklärt!

Schönen Abend noch!

Gruss

Bezug
                
Bezug
Vollständige Induktion: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:40 Mi 03.10.2012
Autor: Marcel

Hallo,

> Vielen Dank für die schnellen Antworten.
>  Ich verstehe leider nicht ganz wie das gemeint ist mit dem
> Nenner n(n+1) multiplizieren?
>  
>
> [mm]\bruch{{(n+1)}^{2} + n}{{n (n+1)}^{2}} \ge \bruch{1}{n+1}[/mm]

kam' das bei Dir irgendwo raus? Das sieht irgendwie "umständlich" aus...
  

> Ich fahre hier fort und multipliziere beide Seiten mit
> n(n+1)? Oder muss Ich nur die linke Seite so verändern,
> bis Sie besser vergleichbar mit der rechten ist?

Also ich mach' mal bei mir weiter:
Wie sieht man
$$ [mm] 2-\frac [/mm] 1 [mm] n+\frac [/mm] 1 [mm] {(n+1)^2} \le 2-\frac [/mm] 1 {n+1}$$
ein?

Naja, auf beiden Seiten -2 rechnen:
$$ [mm] -\frac [/mm] 1 [mm] n+\frac [/mm] 1 [mm] {(n+1)^2} \le -\frac [/mm] 1 {n+1}$$

Addiere [mm] $\frac [/mm] 1 n$ auf beiden Seiten
$$ [mm] \frac [/mm] 1 [mm] {(n+1)^2} \le \frac [/mm] 1 n [mm] -\frac [/mm] 1 {n+1}$$

Fasse rechterhand zusammen
$$ [mm] \frac [/mm] 1 [mm] {(n+1)^2} \le \frac [/mm] 1 {n(n+1)}$$

Jetzt ist's doch ziemlich offensichtlich, oder? Schlimmstenfalls
multipliziere die ganze Ungleichung mit [mm] $(n+1)^2*n(n+1) [/mm] > [mm] 0\,.$ [/mm]
Dann MUSS es offensichtlich sein!!

Gruß,
  Marcel

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Vollständige Induktion: Beweis ohne Induktion
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 23:45 Mi 03.10.2012
Autor: Marcel

Hallo,

> [mm]\summe_{k=1}^{n} \bruch{1}{k^{2}} \le[/mm] 2 - [mm]\bruch{1}{n}[/mm]
> n [mm]\in[/mm] IN

man kann die Aussage wunderbar ohne Induktion beweisen:
[mm] $$\sum_{k=1}^n \frac [/mm] 1 [mm] {k^2}=1+\sum_{k=2}^n \frac{1}{k^2} \le 1+\sum_{k=2}^{n} \frac [/mm] 1 {(k-1) [mm] k}=1+\sum_{k=1}^{n-1} \frac [/mm] 1 {k [mm] (k+1)}=1+\left(1-\frac{1}{(n-1)+1}\right)=2-\frac [/mm] 1 [mm] n\,.$$ [/mm]

Gruß,
  Marcel

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