Vollständige Induktion < Induktion < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:48 Di 15.10.2013 | | Autor: | colradec |
Hallo Leute, also ich habe viele Tipps schon durch passives Lesen von euch bekommen, dafür danke!!!! Echt tolle Seite.
Aber ich habe da etwas, wo ich einfach keine Idee habe, ich kann mir das nicht zusammenreimen und zwar geht es um das Ausklammern, es wird nirgends beschrieben wieso das so sein muss, Willkür in der Mathematik, meine ehem. Lehrerin würde mich erschlagen :)
Also ich verstehe so weit alles bis eben den Induktionsschritt
[mm] \foralln \in \IN, [/mm] n > 5: [mm] 2^n [/mm] > [mm] n^2
[/mm]
[mm] 2^{n+1} [/mm] > [mm] 2n^2 [/mm] = [mm] (n^2 [/mm] + 2n + 1) + [mm] (n^2 [/mm] - 2n - 1)
[mm] \ge (n+1)^2 [/mm] + (5n - 2n -1) [mm] \ge [/mm] (n + [mm] 1)^2 [/mm] -> So und in der Zeile wirds dann ominös. Da versteh ich das Prinzip nicht mehr. das Auflösen in die zwei Terme, gut irgendwie komisch, aber verständlich, doch hier kommt auf einmal eine 5 her und das ^2 verschwindet und dann verschwindet auf einmal der ganze Term da hinten... Ich habe jetzt schon 2 Stunden verbracht, um es zu verstehen, ich bin zu blöd dafür.
In vielen posts steht einfach, ausklammern! Wohin wird dieser Teil geschickt?der linke Teil [mm] 2^{n+1} [/mm] bleibt doch gleich? Und wieso kommt ein kleinergleich Zeichen?
Die Begründung ist auf einem Zettel und anderem Beispiel weil n - 1 [mm] \ge [/mm] 0. Heißt das so viel wie, der erhöht die rechte Seite, sodass diese größer/zu groß wird?
Sorry für diese Fragen, aber ich kann mir das nicht zusammendenken :)
Wäre um jede Erklärung dankbar.
Mfg
luca
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:24 Di 15.10.2013 | | Autor: | piriyaie |
Könntest du bitte die Aufgabenstellenung besser formatieren und nochmals posten?
Es ist nicht genau zu erkennen, wie die Aufgabe gestellt ist.
Danke.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:44 Di 15.10.2013 | | Autor: | colradec |
Tut mir leid, ich poste mal das ganze Beispiel
[mm] \foralln \in \IN, [/mm] n > 5 : [mm] 2^n [/mm] > [mm] n^2
[/mm]
Induktionsbasis: n = 5 [mm] 2^5 [/mm] > [mm] 5^2
[/mm]
Induktionsvoraussetzung: [mm] \foralln \in \IN, [/mm] n > 5 : [mm] 2^n [/mm] > [mm] n^2
[/mm]
Induktionsbehauptung: [mm] \foralln \in \IN, [/mm] n > 5 : [mm] 2^{n+1} [/mm] > [mm] (n+1)^2
[/mm]
Induktionsschritt:
[mm] \foralln \in \IN, [/mm] n > 5 : [mm] 2^n [/mm] > [mm] n^2 [/mm] (Mit 2 multiplizieren)
[mm] 2^{n+1} [/mm] > [mm] 2n^2 [/mm] = [mm] (n^2 [/mm] + 2n + 1) + [mm] (n^2 [/mm] - 2n -1) [mm] \ge (n+1)^2 [/mm] + (5n - 2n -1) [mm] \ge (n+1)^2
[/mm]
Ja ab dem [mm] \ge [/mm] (inklusive dem [mm] \ge) [/mm] ist bei mir Feierabend mit dem Verstehen. :)
Aber schon mal vielen vielen vielen Dank, dass du dir den ursprünglichen Post angeschaut hast! Echt super, danke!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:03 Di 15.10.2013 | | Autor: | abakus |
> Tut mir leid, ich poste mal das ganze Beispiel
>
> [mm]\foralln \in \IN,[/mm] n > 5 : [mm]2^n[/mm] > [mm]n^2[/mm]
>
> Induktionsbasis: n = 5 [mm]2^5[/mm] > [mm]5^2[/mm]
>
> Induktionsvoraussetzung: [mm]\foralln \in \IN,[/mm] n > 5 : [mm]2^n[/mm] >
> [mm]n^2[/mm]
>
> Induktionsbehauptung: [mm]\foralln \in \IN,[/mm] n > 5 :
> [mm]2^{n+1}[/mm] > [mm](n+1)^2[/mm]
>
> Induktionsschritt:
>
> [mm]\foralln \in \IN,[/mm] n > 5 : [mm]2^n[/mm] > [mm]n^2[/mm] (Mit 2
> multiplizieren)
>
> [mm]2^{n+1}[/mm] > [mm]2n^2[/mm] = [mm](n^2[/mm] + 2n + 1) + [mm](n^2[/mm] - 2n -1) [mm]\ge (n+1)^2[/mm]
> + (5n - 2n -1) [mm]\ge (n+1)^2[/mm]
>
> Ja ab dem [mm]\ge[/mm] (inklusive dem [mm]\ge)[/mm] ist bei mir Feierabend
> mit dem Verstehen. :)
Hallo,
man hat [mm]2n^2[/mm] zerlegt in [mm]n^2+n^2[/mm], woran sich erst mal nichts ändert, wenn man dem ersten Summanden 2n+1 dazugibt und diese Zugabe beim zweiten Summanden wieder abzieht. Klar?
Die 2n+1 hat man dem ersten Summanden zugegeben, um von [mm]n^2[/mm] auf [mm](n+1)^2[/mm] zu kommen.
Kommen wir zum zweiten Summanden: Da ab n=5 der Term [mm]n^2[/mm] größer oder gleich dem Term 5*n ist,
ist dann auch [mm]n^2-2n-1[/mm] größer oder gleich [mm]5n-2n-1[/mm].
Demzufolge ist ab n=5 auch [mm](n^2+2n+1)+(n^2-2n-1)\ge(n+1)^2+(5n-2n-1)[/mm].
Wenn man im letzten Term den positiven (warum?) Summanden (5n-2n-1) weglässt, kommt natürlich weniger raus als mit diesem Summanden. Deshalb steht am Ende "[mm]...\ge(n+1)^2[/mm].
Gruß Abakus
>
> Aber schon mal vielen vielen vielen Dank, dass du dir den
> ursprünglichen Post angeschaut hast! Echt super, danke!
>
>
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:38 Di 15.10.2013 | | Autor: | colradec |
> > + (5n - 2n -1) [mm]\ge (n+1)^2[/mm]
> >
> Kommen wir zum zweiten Summanden: Da ab n=5 der Term [mm]n^2[/mm]
> größer oder gleich dem Term 5*n ist,
> ist dann auch [mm]n^2-2n-1[/mm] größer oder gleich [mm]5n-2n-1[/mm].
> Demzufolge ist ab n=5
> auch [mm](n^2+2n+1)+(n^2-2n-1)\ge(n+1)^2+(5n-2n-1)[/mm].
> Wenn man im letzten Term den positiven (warum?) Summanden
> (5n-2n-1) weglässt, kommt natürlich weniger raus als mit
> diesem Summanden. Deshalb steht am Ende "[mm]...\ge(n+1)^2[/mm].
Also erstmals kann ich mich nur dafür bedanken, klasse Erklärung, die habe sogar ich verstanden, das heißt was. :)
Aber, eine kleine Frage hätte ich dazu noch: ich habe auf der linken und rechten Seite n=5 oder 6 eingesetzt. Auf der linken Seite kam immer mehr raus, als auf der rechten, wieso, wenn dieses Ergebnis auf der rechten Seite sowieso kleiner ist, (muss/soll) ich den positiven Summanden weglassen. Wär ja fast so, wie wenn Bayern 5 Tore schießt und Hannover 96 statt 3 Tore nur eins. Weniger hätten sie so oder so. Deswegen muss es ja nicht bei nur ein Tor sein, 3 sind besser ;) Fußballtechnisch zumindest
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:52 Di 15.10.2013 | | Autor: | leduart |
Hallo
einsetzen von Zahlen ist ja kein Beweis. Aber der Beweis von H:K ist ja auch schöner, und du musst nicht n durch 5 Verkleinern.
Wenn man eine Ungleichung beweisen will, kann man so grob vorgehen , wie man will, wenn es zum Ziel führt!
das die Ungleichung sehr "grob" ist siehst du schon bei n=10, da steht 1024>100, also reichen grobe Abschätzungen.
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:08 Di 15.10.2013 | | Autor: | colradec |
Zu gut Deutsch, es ist eine Schätzung und ich kann mich zum gewünschten Ergebnis "hinmogeln".
Wenn also [mm] (n+1)^2 [/mm] rauskommt (was ja vorher bereits in der Induktionsbehauptung beschrieben wurde) belasse ich es dabei und hinterfrage das nicht weiter..
mhm.. Ja, ganz genau das wolle ich wissen! DANKE!
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> Hallo Leute, also ich habe viele Tipps schon durch passives
> Lesen von euch bekommen, dafür danke!!!! Echt tolle
> Seite.
>
> Aber ich habe da etwas, wo ich einfach keine Idee habe, ich
> kann mir das nicht zusammenreimen und zwar geht es um das
> Ausklammern, es wird nirgends beschrieben wieso das so sein
> muss, Willkür in der Mathematik, meine ehem. Lehrerin
> würde mich erschlagen :)
>
> Also ich verstehe so weit alles bis eben den
> Induktionsschritt
>
> [mm]\foralln \in \IN,[/mm] n > 5: [mm]2^n[/mm] > [mm]n^2[/mm]
>
> [mm]2^{n+1}[/mm] > [mm]2n^2[/mm] = [mm](n^2[/mm] + 2n + 1) + [mm](n^2[/mm] - 2n - 1)
bis hierher: eine willkürliche Zerlegung, aber verständlich. Jetzt:
> [mm]\ge (n+1)^2[/mm] + (5n - 2n -1)
[mm] (n^2 [/mm] - 2n - 1) wurde ersetzt durch (5n - 2n -1). Erklärung:
Es sollte ja n>5 sein. Es ist [mm] (n^2 [/mm] - 2n - [mm] 1)=(\underline{n}*n [/mm] - 2n - 1), und das erste, unterstrichene n wird nun durch 5 ersetzt, das zweite aber nicht. Da die 5 aber kleiner als das ersetzte n ist, folgt die Ungleichung. Die zweite Klammer gibt nun 3n-1, das ist größer als 0, wird weggelassen, und deshalb nun
[mm] \ge [/mm] (n + [mm]1)^2[/mm]
-> So und in der
> Zeile wirds dann ominös. Da versteh ich das Prinzip nicht
> mehr. das Auflösen in die zwei Terme, gut irgendwie
> komisch, aber verständlich, doch hier kommt auf einmal
> eine 5 her und das ^2 verschwindet und dann verschwindet
> auf einmal der ganze Term da hinten... Ich habe jetzt schon
> 2 Stunden verbracht, um es zu verstehen, ich bin zu blöd
> dafür.
>
> In vielen posts steht einfach, ausklammern! Wohin wird
> dieser Teil geschickt?der linke Teil [mm]2^{n+1}[/mm] bleibt doch
> gleich? Und wieso kommt ein kleinergleich Zeichen?
>
> Die Begründung ist auf einem Zettel und anderem Beispiel
> weil n - 1 [mm]\ge[/mm] 0. Heißt das so viel wie, der erhöht die
> rechte Seite, sodass diese größer/zu groß wird?
>
> Sorry für diese Fragen, aber ich kann mir das nicht
> zusammendenken :)
>
> Wäre um jede Erklärung dankbar.
>
> Mfg
> luca
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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Hier eine schönere Darstellung:
Vorbemerkung: Für [mm] n\ge5 [/mm] ist [mm] n(n-2)\ge5*3=15>1, [/mm] also
[mm] n^2 [/mm] - 2n > 1 oder [mm] n^2 [/mm] > 2n + 1.
Induktionsvoraussetzung: [mm] 2^5=32>25=5^2 [/mm] stimmt.
Induktionsschritt:
Falls [mm] 2^n [/mm] > [mm] n^2, [/mm] so ist [mm] 2^{n+1}=2*2^n>2*n^2=n^2+n^2>(s.o.)n^2+2n+1 [/mm] = [mm] (n+1)^2. [/mm] - und fertig -
Wie bin ich auf die Vorbemerkung gekommen? Ich habe den Induktionsschritt hingeschrieben und erkannt, dass ich beweisen muss, dass [mm] 2n^2>(n+1)^2 [/mm] ist, also [mm] 2n^2>n^2+2n+1, [/mm] also [mm] n^2>2n+1, [/mm] also [mm] n^2-2n>1, [/mm] also n(n-2)>1. Und das gilt wegen [mm] n\ge5 [/mm] ja.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:02 Di 15.10.2013 | | Autor: | colradec |
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> Wie bin ich auf die Vorbemerkung gekommen? Ich habe den
> Induktionsschritt hingeschrieben und erkannt, dass ich
> beweisen muss, dass [mm]2n^2>(n+1)^2[/mm] ist, also [mm]2n^2>n^2+2n+1,[/mm]
> also [mm]n^2>2n+1,[/mm] also [mm]n^2-2n>1,[/mm] also n(n-2)>1. Und das gilt
> wegen [mm]n\ge5[/mm] ja.
Ich danke vielmals für die Antwort, Sie können sich nicht vorstellen, wie sie mir geholfen haben, das gleiche gilt für den 2. Poster.
Nach dem 4. Mal durchschauen, könnte ich eine Spur haben (Übrigens sehr sehr tolle Aufschlüsselung) , heißt auf gut Deutsch, 3n - 1 [mm] \ge [/mm] 0 und da der Term n(n-2) > 1 vorher schon dasteht muss der positive Summand nicht das gleiche nochmals beweisen und es wird beim 1. Term bereits als wahr gewertet?
Könnte ich auch rein theoretisch das 3n -1 hinschreiben? oder ist das absolut unerwünscht?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:26 Do 17.10.2013 | | Autor: | M.Rex |
> >
> > Wie bin ich auf die Vorbemerkung gekommen? Ich habe den
> > Induktionsschritt hingeschrieben und erkannt, dass ich
> > beweisen muss, dass [mm]2n^2>(n+1)^2[/mm] ist, also [mm]2n^2>n^2+2n+1,[/mm]
> > also [mm]n^2>2n+1,[/mm] also [mm]n^2-2n>1,[/mm] also n(n-2)>1. Und das gilt
> > wegen [mm]n\ge5[/mm] ja.
>
> Ich danke vielmals für die Antwort, Sie können sich nicht
> vorstellen, wie sie mir geholfen haben, das gleiche gilt
> für den 2. Poster.
>
> Nach dem 4. Mal durchschauen, könnte ich eine Spur haben
> (Übrigens sehr sehr tolle Aufschlüsselung) , heißt auf
> gut Deutsch, 3n - 1 [mm]\ge[/mm] 0 und da der Term n(n-2) > 1 vorher
> schon dasteht muss der positive Summand nicht das gleiche
> nochmals beweisen und es wird beim 1. Term bereits als wahr
> gewertet?
>
> Könnte ich auch rein theoretisch das 3n -1 hinschreiben?
> oder ist das absolut unerwünscht?
Sicherlich kannst du das auch in einem Zwischenschritt noch notieren, je mehr nachvollziehbare Zwischenschritte du angibst, desto besser.
Du willst doch zeigen, dass $ [mm] 2n^2>(n+1)^2 [/mm] $
Noch schneller
[mm] (n+1)^{2}=n^{2}+2n+1
Und da für n>5 gilt [mm] $2n=2\cdot n
[mm] (n+1)^{2}=n^{2}+2n+1
Marius
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> [mm]\forall n \in \IN,[/mm] n > 5: [mm]2^n[/mm] > [mm]n^2[/mm]
>
> [mm]2^{n+1}[/mm] > [mm]2n^2[/mm] = [mm](n^2[/mm] + 2n + 1) + [mm](n^2[/mm] - 2n - 1)
> [mm]\ge (n+1)^2[/mm] + (5n - 2n -1) [mm]\ge[/mm] (n + [mm]1)^2[/mm] -> So und in der
> Zeile wirds dann ominös. Da versteh ich das Prinzip nicht
> mehr. das Auflösen in die zwei Terme, gut irgendwie
> komisch, aber verständlich, doch hier kommt auf einmal
> eine 5 her und das ^2 verschwindet und dann verschwindet
> auf einmal der ganze Term da hinten... Ich habe jetzt schon
> 2 Stunden verbracht, um es zu verstehen, ich bin zu blöd
> dafür.
>
> In vielen posts steht einfach, ausklammern! Wohin wird
> dieser Teil geschickt?der linke Teil [mm]2^{n+1}[/mm] bleibt doch
> gleich? Und wieso kommt ein kleinergleich Zeichen?
>
> Die Begründung ist auf einem Zettel und anderem Beispiel
> weil n - 1 [mm]\ge[/mm] 0. Heißt das so viel wie, der erhöht die
> rechte Seite, sodass diese größer/zu groß wird?
>
> Sorry für diese Fragen, aber ich kann mir das nicht
> zusammendenken :)
Hallo luca,
es zeigt sich an diesem Beispiel wieder einmal
beispielhaft, wie schwierig und irgendwie auch
armselig Mathematik manchmal werden kann,
wenn gewisse (vermeintliche) Puristen am Werk
sind, welche meinen, alles in möglichst kurze
Zeilen mathematischer Zeichen zusammenzu-
quetschen, anstatt ihre Überlegungen auf klar
verständliche Weise in sprachlicher Form an den
Empfänger zu vermitteln.
Worum geht es hier ?
Es soll die Aussage bewiesen werden, dass für
alle natürlichen Zahlen n mit [mm] n\ge{5} [/mm] die Ungleichung
$\ A(n)\ [mm] :\quad 2^n>n^2$ [/mm] erfüllt ist.
Der Beweis soll durch vollständige Induktion mit
Start bei n=5 erfolgen.
Die "Verankerung" für n=5 erfolgt durch Nachrechnen:
es ist [mm] 2^5=32 [/mm] und [mm] 5^2=25. [/mm] Weil 32>25, ist offenbar
[mm] 2^5>5^2 [/mm] und damit die Aussage A(5) gültig.
Für den Induktionsschritt müsste nun gezeigt werden:
"Falls [mm] n\ge [/mm] 5 ist und A(n) gültig ist, dann ist auch A(n+1) gültig."
Gehen wir also mal davon aus, dass uns eine Zahl [mm] n\in\IN [/mm] mit [mm] n\ge [/mm] 5
vorliege mit der Eigenschaft, dass A(n) gültig ist, also [mm] 2^n>n^2 [/mm] .
Wir sollten nun versuchen zu zeigen, dass dann auch A(n+1) gültig
sein muss, also im Klartext: [mm] $\underbrace{2^{n+1}}_{L}>\underbrace{(n+1)^2}_R$ [/mm] .
Nun versuchen wir, diese neue Ungleichung durch
eine Reihe geschickt gewählter Zwischenschritte zu
beweisen, wobei wir uns auf die Voraussetzungen
stützen dürfen, dass [mm] n\ge{5} [/mm] ist und dass A(n) gültig ist.
Starten wir dazu mit dem Term L auf der linken Seite
der zu beweisenden Ungleichung:
$\ L\ =\ [mm] 2^{n+1}$
[/mm]
Dies kann man zerlegen in:
$\ L\ =\ [mm] 2^{n+1}\ [/mm] =\ [mm] 2^n*2^1\ [/mm] =\ [mm] 2^n*2$
[/mm]
Nach Induktionsvoraussetzung ist [mm] 2^n>n^2. [/mm] Wenn wir dies
verwenden, folgt:
$\ L\ =\ [mm] 2^n*2\ [/mm] >\ [mm] n^2*2$
[/mm]
Mit etwas vorausschauender Absicht dürfen wir dies
ergänzen zu:
$\ L\ =\ [mm] 2^n*2\ [/mm] >\ [mm] n^2*2\ [/mm] =\ [mm] n^2+n^2\ [/mm] =\ [mm] \underbrace{(n^2\red{+2*n+1})}_{(n+1)^2}+(n^2\blue{-2*n-1})$
[/mm]
Es ist zu beachten, dass sich die ergänzten rot und
blau geschriebenen Terme gegenseitig aufheben und
deshalb die Gültigkeit der Ungleichung nicht beein-
flussen.
Die "vorausschauende Absicht" wird auch schon klar:
der erste Klammerausdruck entspricht genau dem
Term R , den wir eigentlich auf der rechten Seite der
Ungleichung als alleinigen Term haben möchten
(siehe oben).
Um zum gewünschten Ziel zu kommen, müsste es
jetzt also nur noch gelingen zu zeigen, dass der
andere Klammerterm größer oder gleich 0 ist (damit
er die Gültigkeit der gewünschten Ungleichung nicht
mehr in Frage stellen kann.
Um nun noch zu zeigen, dass $\ [mm] n^2-2*n-1\ge [/mm] 0$ ist,
dürfen wir uns insbesondere auch noch darauf stützen,
dass wir (für den vorliegenden Beweis) [mm] n\ge [/mm] 5 vorausge-
setzt haben. Dann gilt offenbar
$\ [mm] n^2\ [/mm] =\ n*n\ [mm] \ge\ [/mm] 5*n$
$\ [mm] n^2-2*n\ \ge\ [/mm] 3*n$
$\ [mm] n^2-2*n-1\ \ge\ \underbrace{3*n}_{\ge 15}-1\ \ge\ [/mm] 14$
Genügt hätte uns schon $\ ....\ [mm] \ge [/mm] 0$ , aber umso besser !
Jedenfalls folgt nun aus obigem, dass die für den
Induktionsschritt zu zeigende Ungleichung
$ [mm] \underbrace{2^{n+1}}_{L}>\underbrace{(n+1)^2}_R [/mm] $
aus der Induktionsvoraussetzung $ [mm] 2^n\ [/mm] >\ [mm] n^2 [/mm] $ und der
Voraussetzung [mm] n\ge [/mm] 5 folgt.
Damit ist (zusammen mit der Verankerung für n=5) der
Induktionsbeweis komplett - und nach dem Induktions-
prinzip ist damit die Aussage
[mm] $\forall [/mm] n\ [mm] (n\in\IN\ [/mm] ,\ [mm] n\ge 5)\quad 2^n\ [/mm] >\ [mm] n^2$
[/mm]
bewiesen.
Nun, das Verfassen eines so ausführlich erläuterten
Beweises kostet natürlich Zeit, aber man lernt dabei
auch, alles das im Blickpunkt zu behalten, was für
einen mathematischen Beweis eben zentral ist. Und
man darf dann auch (hoffentlich) erwarten, dass eine
derart kommentierte Gedankenkette auch wirklich
verstanden wird.
LG , Al-Chwarizmi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:13 Mi 16.10.2013 | | Autor: | colradec |
Sehr geehrter Herr Al-Chwarizmi
(Falls Sie nicht so heißen sollten, Sie machen dem Namen auf jeden Fall alle Ehre)!!!!
Ich möchte mich hier für diese auführliche Erklärung 1000x bedanken. Nein, noch öfter! Wie kann ich mich hierfür revanchieren? (Paypal etc) Ich möchte Sie auch fragen, ob ich das eventuell ausdrucken darf und an Studienkollegen weitergeben darf? Natürlich nur wenn Sie einverstanden sind.
Einfach nur klasse, DANKE DANKE DANKE.... (Das ist wie Weihnachten für mich :)
Auch wenn jetzt alles 100 % sitzt.
Eine kleine Frage am Rande:
> Um zum gewünschten Ziel zu kommen, müsste es
> jetzt also nur noch gelingen zu zeigen, dass der
> andere Klammerterm größer oder gleich 0 ist (damit
> er die Gültigkeit der gewünschten Ungleichung nicht
> mehr in Frage stellen kann.
> Um nun noch zu zeigen, dass [mm]\ n^2-2*n-1\ge 0[/mm] ist,
> dürfen wir uns insbesondere auch noch darauf stützen,
> dass wir (für den vorliegenden Beweis) [mm]n\ge[/mm] 5 vorausge-
> setzt haben. Dann gilt offenbar
>
> [mm]\ n^2\ =\ n*n\ \ge\ 5*n[/mm]
>
> [mm]\ n^2-2*n\ \ge\ 3*n[/mm]
>
> [mm]\ n^2-2*n-1\ \ge\ \underbrace{3*n}_{\ge 15}-1\ \ge\ 14[/mm]
>
> Genügt hätte uns schon [mm]\ ....\ \ge 0[/mm] , aber umso
> besser !
3n - 1 [mm] \ge [/mm] 0 sollte es sein, ist das nicht schlecht, wenn die Zahl "sehr" groß ist, sodass sich die ungleichung umdreht? Nur rein theoretisch, müsste es ja so sein
[mm] (n^2 [/mm] + 2n + 1) + [mm] (n^2 [/mm] - 2n - 1) - (n + [mm] 1)^2 \ge [/mm] 3n - 1
Das darf 3n -1 maximal haben. [mm] (n^2 [/mm] - 2n - 1) [mm] \ge [/mm] 3n -1
solange das der Fall ist, ist alles ok, wenn die Zahl größer sein sollte, dreht sich doch alles um.
Dass es nicht kleiner werden darf ist klar, sonst wird ja unser Induktionsschritt zunichte gemacht und stimmt nicht mit der Behauptung überein.
ODER da Sie ja (5*n - 2n - 1) eingesetzt haben, das es dem Term unmöglich macht jemals wieder größer als der vorherige zu werden (deswegen ist bei n=5 14 [mm] \ge [/mm] 14), aber kleiner darf der Term (n + [mm] 1)^2 [/mm] nicht werden, da sonst die Behauptung nicht mehr stimmt. Heißt hauptsache positiv, wie groß die Zahl ist, ist egal, da sie immer kleiner sein wird als der vorherige Term mit [mm] n^2. [/mm] Und da es ja egal ist ob 3n-1 dasteht oder nicht, lässt man es einfach weg. hmm..
Sie sind mein persönlicher Held! Danke! Und eine gute Nacht!
PS: Wir hatten sowas in der Schule nicht und im Studium wird alles mit einem Tempo übersprungen, der Kurs hilft den Leuten, die das schon können, den anderen nicht, da ist es besser zu Hause zu lernen..
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> Sehr geehrter Herr Al-Chwarizmi
> (Falls Sie nicht so heißen sollten, Sie machen dem Namen
> auf jeden Fall alle Ehre)!!!!
Naja, ich habe auch noch einen anderen Namen ...
Jedenfalls danke ich für das Kompliment.
Und so nebenbei: hier im Matheraum sind wir
eigentlich alle per Du.
> Ich möchte mich hier für diese auführliche Erklärung
> 1000x bedanken. Nein, noch öfter! Wie kann ich mich
> hierfür revanchieren? (Paypal etc)
Ach nein, wer denkt denn an sowas. Ich beteilige mich
hier wie alle anderen freiwillig und erwarte keine Gegen-
leistungen.
> Ich möchte Sie auch
> fragen, ob ich das eventuell ausdrucken darf und an
> Studienkollegen weitergeben darf? Natürlich nur wenn Sie
> einverstanden sind.
Bitte schön. Eigentlich würde es ja schon genügen, ihnen
den Link anzugeben: https://matheraum.de/read?i=984071
(den Rest deiner Frage muss ich mir nochmals anschauen,
morgen ...)
LG , Al-Chw.
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> Eine kleine Frage am Rande:
> > Um zum gewünschten Ziel zu kommen, müsste es
> > jetzt also nur noch gelingen zu zeigen, dass der
> > andere Klammerterm größer oder gleich 0 ist (damit
> > er die Gültigkeit der gewünschten Ungleichung nicht
> > mehr in Frage stellen kann.
> > Um nun noch zu zeigen, dass [mm]\ n^2-2*n-1\ge 0[/mm] ist,
> > dürfen wir uns insbesondere auch noch darauf stützen,
> > dass wir (für den vorliegenden Beweis) [mm]n\ge[/mm] 5
> > vorausgesetzt haben. Dann gilt offenbar
> > [mm]\ n^2\ =\ n*n\ \ge\ 5*n[/mm]
> > [mm]\ n^2-2*n\ \ge\ 3*n[/mm]
> > [mm]\ n^2-2*n-1\ \ge\ \underbrace{3*n}_{\ge 15}-1\ \ge\ 14[/mm]
> > Genügt hätte uns schon [mm]\ ....\ \ge 0[/mm] , aber umso
> > besser !
>
>
> 3n - 1 [mm]\ge[/mm] 0 sollte es sein, ist das nicht schlecht, wenn
> die Zahl "sehr" groß ist, sodass sich die ungleichung
> umdreht? Nur rein theoretisch, müsste es ja so sein
>
> $\ [mm] (n^2+ [/mm] 2n + 1) + [mm] (n^2 [/mm] - 2n - 1) - (n + [mm] 1)^2 \ge [/mm] 3n - 1$
>
> Das darf 3n -1 maximal haben. [mm](n^2 - 2n - 1) \ge 3n -1[/mm]
>
> solange das der Fall ist, ist alles ok, wenn die Zahl
> größer sein sollte, dreht sich doch alles um.
>
> Dass es nicht kleiner werden darf ist klar, sonst wird ja
> unser Induktionsschritt zunichte gemacht und stimmt nicht
> mit der Behauptung überein.
>
> ODER da Sie ja (5*n - 2n - 1) eingesetzt haben, das es dem
> Term unmöglich macht jemals wieder größer als der
> vorherige zu werden (deswegen ist bei n=5 14 [mm]\ge[/mm] 14), aber
> kleiner darf der Term (n + [mm]1)^2[/mm] nicht werden, da sonst die
> Behauptung nicht mehr stimmt. Heißt hauptsache positiv,
> wie groß die Zahl ist, ist egal, da sie immer kleiner sein
> wird als der vorherige Term mit [mm]n^2.[/mm] Und da es ja egal ist
> ob 3n-1 dasteht oder nicht, lässt man es einfach weg.
> hmm.. ![[haee]](/images/smileys/haee.gif "[haee]")
Hallo,
es scheint mir, dass du da etwas komplizierter machst,
als es eigentlich ist.
Wir waren doch mit der Ungleichungskette schon soweit,
dass klar wurde, dass (unter den Voraussetzungen [mm] n\ge [/mm] 5
und [mm] 2^n>n^2 [/mm] ) stets
$\ [mm] 2^{n+1} [/mm] > [mm] (n+1)^2\ [/mm] +\ (3*n-1)$
sein muss. Daraus folgt sofort auch die Ungleichung
$\ [mm] 2^{n+1} [/mm] > [mm] (n+1)^2$
[/mm]
ganz einfach, weil für alle in Frage kommenden n-Werte
die Ungleichung $\ 3*n-1\ [mm] \ge\ [/mm] 0$ erfüllt ist.
LG , Al-Chw.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:59 Mi 16.10.2013 | | Autor: | abakus |
> Sehr geehrter Herr Al-Chwarizmi
> (Falls Sie nicht so heißen sollten, Sie machen dem Namen
> auf jeden Fall alle Ehre)!!!!
>
> Ich möchte mich hier für diese auführliche Erklärung
> 1000x bedanken. Nein, noch öfter! Wie kann ich mich
> hierfür revanchieren? (Paypal etc)
Hallo colradec,
wenn du dich unbedingt zu einer materiellen Gegenleistung genötigt siehst, dann kannst du dich an der Spendenaktion zum Weiterbetrieb des Servers beteiligen. Der Spendenaufruf wird meines Wissens ca. aller drei Tage als Bekanntmachung eingeblendet.
Mit dutzenden Kleinbeträgen unserer Besucher haben wir es seit Jahren regelmäßig geschafft, den Betrieb jeweils wieder für ein weiteres Jahr zu sichern.
Im Moment haben wir wieder reichlich 70% des aktuellen Spendenziels erreicht.
Gruß Abakus
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