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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:42 Do 31.10.2013 | | Autor: | Ymaoh |
| Aufgabe | Beweisen Sie durch vollständige Induktion:
(i) Die Bernoullische Ungleichung: für alle x [mm] \in \IR [/mm] mit x [mm] \ge [/mm] -1 und
für alle n [mm] \in \IN [/mm] gilt:
(1 + [mm] x)^n \ge [/mm] 1+ nx |
Also, ich habe zunächst 1 für n eingesetzt, um die Ungleichung für ein n zu beweisen. Also habe ich die Induktionsvorraussetzung.
Dann muss ich die Ungleichung für n+1 bilden, also:
[mm] (1+x)^{n+1} \ge [/mm] 1+ (n+1)x
Hab dann erstmal umgeformt zu:
[mm] (1+x)^n [/mm] * (1+x) [mm] \ge [/mm] 1+nx+x
...damit ich den bekannten Term [mm] (1+x)^n [/mm] auf der linken Seite hab.
Aber jetzt weiß ich nicht weiter, Ich muss ja hier irgendwie noch die
Induktionsvorrausetzung "anwenden"
Wäre über einen Tipp sehr dankbar...
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:52 Do 31.10.2013 | | Autor: | Fulla |
Hallo Ymaoh,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Beweisen Sie durch vollständige Induktion:
>
> (i) Die Bernoullische Ungleichung: für alle x [mm]\in \IR[/mm] mit
> x [mm]\ge[/mm] -1 und
> für alle n [mm]\in \IN[/mm] gilt:
> (1 + [mm]x)^n \ge[/mm] 1+ nx
> Also, ich habe zunächst 1 für n eingesetzt, um die
> Ungleichung für ein n zu beweisen. Also habe ich die
> Induktionsvorraussetzung.
>
> Dann muss ich die Ungleichung für n+1 bilden, also:
>
> [mm](1+x)^{n+1} \ge[/mm] 1+ (n+1)x
Diese Ungleichung musst du beweisen.
> Hab dann erstmal umgeformt zu:
>
> [mm](1+x)^n[/mm] * (1+x) [mm]\ge[/mm] 1+nx+x
>
> ...damit ich den bekannten Term [mm](1+x)^n[/mm] auf der linken
> Seite hab.
> Aber jetzt weiß ich nicht weiter, Ich muss ja hier
> irgendwie noch die
> Induktionsvorrausetzung "anwenden"
Fang mit der linken Seite an, forme um und verwende die Induktionsvoraussetzung:
[mm](1+x)^{n+1}=(1+x)^n*(1+x)\stackrel{I.V.}{\ge}(1+nx)*(1+x)=\ldots\ge 1+(n+1)x[/mm]
Wo die Pünktchen stehen ist noch ein kleiner Schritt nötig.
Lieben Gruß,
Fulla
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:34 Do 31.10.2013 | | Autor: | Ymaoh |
Vielen Dank, damit komm ich weiter.... :)
Ist ein super Forum hier, eine große Hilfe fürs Studium :)
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