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Forum "Induktionsbeweise" - Vollständige Induktion
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Vollständige Induktion: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:22 Do 05.12.2013
Autor: Ultramann

Aufgabe
Beweisen Sie:
Für alle n [mm] \in \IN: [/mm]

[mm] \summe_{k=1}^{n} (-1)^{k} k^{2} [/mm] = [mm] (-1)^n \bruch{n(n+1)}{2} [/mm]

Wir haben bereits die Lösung erhalten. Ich verstehe nur nicht ganz wie man darauf kommt. Die entsprechenden Stellen habe ich markiert:

(IA) n = 1 : [mm] \summe_{k=1}^{1} (-1)^k k^2 [/mm] = -1 x [mm] 1^2 [/mm] = -1 [mm] (-1)^1 \bruch{1(1+1)}{2} [/mm]

(IS) [mm] \summe_{k=1}^{n+1} (-1)^k k^2 [/mm] =


[mm] \summe_{k=1}^{n} (-1)^k k^2 [/mm] + [mm] (-1)^{n+1} (n+1)^2 [/mm]

= [mm] (-1)^n \bruch{n(n+1)}{2} [/mm] +  [mm] (-1)^{n+1} (n+1)^2 [/mm]
= (-1) [mm] (-1)^{n+1} [/mm] (n+1) [mm] \bruch{n}{2} [/mm] + [mm] (-1)^{n+1}(n+1)(n+1) [/mm]

...

Ich breche hier mal ab. Eigentlich soll alles vor dem "+"-Zeichen rot sein...

Weiter oben, bei der -1 verstehe ich nicht wo die herkommt.
Und bei dem letzten Schritt verstehe ich nicht ganz wo das alles herkommt.
Also um es für den 2. Fall konkreter zu machen:
Wie kommt man von
[mm] (-1)^n \bruch{n(n+1)}{2} [/mm]
auf
(-1) [mm] (-1)^{n+1} [/mm] (n+1) [mm] \bruch{n}{2} [/mm]

?

        
Bezug
Vollständige Induktion: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:30 Do 05.12.2013
Autor: schachuzipus

Hallo UM,


> Beweisen Sie:
> Für alle n [mm]\in \IN:[/mm]

>

> [mm]\summe_{k=1}^{n} (-1)^{k} k^{2}[/mm] = [mm](-1)^n \bruch{n(n+1)}{2}[/mm]

>

> Wir haben bereits die Lösung erhalten. Ich verstehe nur
> nicht ganz wie man darauf kommt. Die entsprechenden Stellen
> habe ich markiert:

>

> (IA) n = 1 : [mm]\summe_{k=1}^{1} (-1)^k k^2[/mm] = -1 x [mm]1^2[/mm] = -1

Und? [mm](-1)\cdot{}1=-1[/mm], was ist daran unklar?

> = [mm](-1)^1 \bruch{1(1+1)}{2}[/mm]

Damit es in der gewünschten Form dasteht, wurde die [mm]-1[/mm] so umgeschrieben; wenn du diesen Ausdruck vereinfachst, kommt wieder [mm]-1[/mm] heraus ...

>

> (IS) [mm]\summe_{k=1}^{n+1} (-1)^k k^2[/mm] =

>
>

> [mm]\summe_{k=1}^{n} (-1)^k k^2[/mm] + [mm](-1)^{n+1} (n+1)^2[/mm]

>

> = [mm](-1)^n \bruch{n(n+1)}{2}[/mm] + [mm](-1)^{n+1} (n+1)^2[/mm]

Man möchte nun gerne [mm](-1)^{n+1}\cdot{}\frac{n+1}{2}[/mm] ausklammern, da man im Blick hat, dass man am Ende auf [mm]...=(-1)^{n+1}\cdot{}(n+1)(n+2)}{2}[/mm] hinaus will ...

> = (-1)  [color=red][mm](-1)^{n+1}[/mm] (n+1) [mm]\bruch{n}{2}[/mm][/color] + [mm](-1)^{n+1}(n+1)(n+1)[/mm]

Nun, eigentlich wurde geschrieben: [mm](-1)^n=(-1)^{n+1-1}=(-1)^{n+1}\cdot{}(-1)^{-1}=\frac{(-1)^{n+1}}{-1}[/mm]

Aber ob du nun durch [mm]-1[/mm] teilst, oder mit [mm](-1)[/mm] multiplizierst, ist herzlich egal:

[mm]\frac{a}{-1}=(-1)\cdot{}a[/mm] ...

Also schreiben die statt [mm]\frac{(-1)^{n+1}}{-1}[/mm] "schöner" [mm](-1)\cdot{}(-1)^{n+1}[/mm]

Nun kann man wie gewünscht ausklammern ...

>

> ...

>

> Ich breche hier mal ab. Eigentlich soll alles vor dem
> "+"-Zeichen rot sein...

>

> Weiter oben, bei der -1 verstehe ich nicht wo die
> herkommt.
> Und bei dem letzten Schritt verstehe ich nicht ganz wo das
> alles herkommt.
> Also um es für den 2. Fall konkreter zu machen:
> Wie kommt man von
> [mm](-1)^n \bruch{n(n+1)}{2}[/mm]
> auf
> (-1) [mm](-1)^{n+1}[/mm] (n+1) [mm]\bruch{n}{2}[/mm]

>

> ?

Gruß

schachuzipus

Bezug
                
Bezug
Vollständige Induktion: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:55 Do 05.12.2013
Autor: Ultramann

Danke für die Antwort.

Nun ist es aber so, dass beim Induktionsanfang nicht steht
n = 1 : [mm] \summe_{k=1}^{1} (-1)^{k}k^{2} [/mm] = -1 x [mm] 1^{2} [/mm] = -1

sondern es steht in der Lösung:

n = 1 : [mm] \summe_{k=1}^{1} (-1)^{k}k^{2} [/mm] = -1 x [mm] 1^{2} [/mm] = -1 [mm] (-1)^{1} \bruch{1(1+1)}{2} [/mm]

Dass -1 x [mm] 1^{2} [/mm] = -1 ergibt, weiß ich. Aber wieso steht dort -1 [mm] (-1)^{1} \bruch{1(1+1)}{2} [/mm] ??
Diese -1 MAL [mm] (-1)^{1} \bruch{1(1+1)}{2} [/mm] verstehe ich nicht. Wo kommt das her?

Bezug
                        
Bezug
Vollständige Induktion: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:01 Do 05.12.2013
Autor: DieAcht


> Dass -1 x [mm]1^{2}[/mm] = -1 ergibt, weiß ich. Aber wieso steht
> dort -1 [mm](-1)^{1} \bruch{1(1+1)}{2}[/mm] ??
>  Diese -1 MAL [mm](-1)^{1} \bruch{1(1+1)}{2}[/mm] verstehe ich
> nicht. Wo kommt das her?

Da fehlt einfach ein Gleichheitszeichen.



Bezug
                                
Bezug
Vollständige Induktion: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 07:32 Fr 06.12.2013
Autor: Ultramann

Hmm, ok. Ich werde versuchen heute mal den Prof zu fragen. Weil richtig kommt mir das auch nicht vor...

Vielen lieben Dank!
:D

Bezug
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