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| Aufgabe | Beweisen Sie mittels vollständiger Induktion
[mm] \summe_{i=1}^{n} i^{³} [/mm] = [mm] \frac{n²(n+1)²}{4} [/mm] |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo : )
Ich beschäftige mich gerade ein bisschen mit der vollständigen Induktion.
Nun bin ich bei meinen Recherchen jedoch immer wieder auf 2 unterschiedliche Ansätze gestoßen, die für mich beide Sinn ergeben ( a und b).
a)
Ich setze auf der rechten Seite einfach für jedes n folgendes: (n+1)
Dann Forme ich so um, dass zum Schluss [mm] \frac{n²(n+1)²}{4} [/mm] + [mm] (n+1)^{3} [/mm] da steht:
[mm] \frac{(n+1)^{2}(n+2)²}{4} [/mm] = [mm] \frac{n^{4}+6n^{3}+13n^{2}+12n+4}{4} [/mm] = [mm] \frac{n^{2}(n+1)^{2}}{4} [/mm] + [mm] \frac{4n^{3}+12n^{2}+12n+4}{4} [/mm] = [mm] \frac{n^{2}(n+1)^{2}}{4} [/mm] + [mm] n^{3} [/mm] + [mm] 3n^{2}+3n+1 [/mm] = [mm] \frac{n^{2}(n+1)^{2}}{4} [/mm] + [mm] (n+1)^{3}
[/mm]
b)
Ich addiere auf der rechten Seite einfach auch [mm] (n+1)^{3} [/mm] und forme dann so um, dass zum Schluss [mm] \frac{(n+1)^{2}((n+1)+1)²}{4} [/mm] da steht:
[mm] \frac{n^{2}(n+1)^{2}}{4} [/mm] + [mm] (n+1)^{3} [/mm] = [mm] \frac{n^{4}+2n^{3}+n^{2}}{4} [/mm] + [mm] \frac{4(n^{3}+3n^{2}+3n+1)}{4} [/mm] = [mm] \frac{n^{4}+6n^{3}+13n^{2}+12n+4}{4} [/mm] = [mm] \frac{(n+1)^{2}(n+2)^{2}}{4} [/mm] = [mm] \frac{(n+1)^{2}((n+1)+1)^{2}}{4}
[/mm]
Ich habe wegen der Lesbarkeit die linke Seite jeweils weggelassen.
Sind beide Methoden richtig oder ist nur eine legitim? Habe ich in diesem konkreten Fall alles richtig gemacht?
Wäre nett wenn jemand die Zeit finden würde sich das anzugucken.
Vielen Dank im Voraus und einen schönen Abend noch : )
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Hallo,
für mich ergibt [mm] \\b) [/mm] Sinn und so ist es auch richtig.
Bei [mm] \\a) [/mm] kenne ich deine Gedanken nicht. Warum solltest du nur (n+1) drauf addieren. In der Summe steht dich [mm] \\i^{\red{3}} [/mm] also musst du si verfahren wie in [mm] \\b) [/mm] 
![[hut]](/images/smileys/hut.gif "[hut]") Gruß
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Danke für Deine schnelle Antwort.
Bei a) addiere ich nicht (n+1) sondern [mm] (n+1)^{3} [/mm] dazu. Habe auf einigen Internetseiten (z.B. ![[]](/images/popup.gif) hier ca. in der Mitte) gesehen, dass dies zumindest dort so gemacht wird.
Ist das unüblich es so zu machen oder einfach falsch?
PS.: Auf der verlinkten Seite ist diese Aufgabe hier nicht zu finden, aber es wird folgendes geschrieben:
> Aus ... folgt durch Addition von ... auf beiden Seiten: ...
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Hallo,
ok jetzt verstehe ich was du meinst:
Beide Möglichkeiten sind richtig und sollten die auf das richtige Ergebnis führen. Wahrscheinlich hast du dich bei [mm] \\a) [/mm] einfach beim ausmultiplizieren irgendwo verechnet.
Die elegantere und der Induktion am nähsten kommende ist allerdings die Variante [mm] \\b) [/mm] denn bei [mm] \\a) [/mm] setzt du voraus dass die Summe gilt
Gruß
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OK, dann werde ich demnächst Variante b) bevorzugen :)
Allerdings verstehe ich nich, wo ich mich bei a) verrechnet habe. Das Ergebnis ist doch richtig oder?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:24 So 18.01.2009 | | Autor: | MacMath |
Also ich sehe nicht welchen Unterschied es machen sollte, da du sowohl in a) als auch in b) schließlich die Identität:
[mm] \bruch{(n+1)^2(n+2)^2}{4}=\bruch{n^2(n+1)^2}{4}+(n+1)^3
[/mm]
zeigst. In dieser steckt bereits alle Aussage wenn man sich überlegt
dass Gültigkeit der Formel für (n+1) damit aus der Gültigkeit der für n
folgt (du kannst entweder die Summe zu einem höheren Index n+1 (anstatt n) laufen lassen oder ebensogut deine Formel anwenden, indem du dort n mit n+1 substituierst.)
Die gültigkeit für den Fall n nimmst du aber in der Induktionsvoraussetzung an,
also gilt auch n+1
Das Induktionsprinip liefert die allgemeine Gültigkeit (Induktionsanfang vorausgesetzt natürlich.)
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![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]"){kind=small}
