Vollständige Induktion die 2. < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:49 So 30.01.2005 | | Autor: | pansen |
Hallo ...
Erst mal die Frage, ist die folgende Vollständige Induktion so richtig ?
[mm] b_{n} [/mm] = [mm] 5^{n} [/mm] -1 ist durch 4 teilbar.
p(n) = [mm] 5^{n} [/mm] -1 = 4k
p(0) = 0 = 4k -> wahr
p(n+1) = [mm] 5^{n+1} [/mm] -1
[mm] 5^{n+1} [/mm] -1 = 5 [mm] \* 5^{n} [/mm] -1
= [mm] 5\*(5^{n}-1+1)-1
[/mm]
= [mm] 5\*4k+4
[/mm]
= [mm] 4\*(5k+1)
[/mm]
Sollte doch eigentlich so richtig sein ?
Naja nun zu meinem Problem:
[mm] c_{n}= n^{3}+5n [/mm] ist durch 6 teilbar.
[mm] c_{n+1} [/mm] = [mm] (n+1)^{3} [/mm] + 5 (n+1)
Könnte mir dazu mal jemand die 1. Zeile des Beweises angeben ?
Ich komme auf
[mm] (n+1)^{3} [/mm] + 5 (n+1) = [mm] n^{3} [/mm] +5n +(n+1)
aber ich befürchte das stimmt nicht(?).
Thx for help ...
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:52 So 30.01.2005 | | Autor: | Hanno |
Hallo!
> Sollte doch eigentlich so richtig sein ?
Ja, das ist alles richtig und gut! ![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
> Könnte mir dazu mal jemand die 1. Zeile des Beweises angeben ?
Ich nehme dich beim Wort:
[mm] $(n+1)^3+5(n+1)=n^3+3n^2+3n+1+5n+5$
[/mm]
Hier kannst du problemlos die Induktionsvoraussetzung anwenden und erhältst das Ergebnis nach wenigen Überlegungen.
Liebe Grüße,
Hanno
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:26 So 30.01.2005 | | Autor: | pansen |
Danke, hätt' ich irgendwie auch selbst drauf kommen können, naja :)
...
=
[mm] =n^{3}+3n^{2}+3n+1+5n+5
[/mm]
[mm] =6k+3n^{2}+3n+6
[/mm]
[mm] =3(n^{2}+n+2+2k)
[/mm]
=6( [mm] \bruch{n^{2}}{2}+ \bruch{n}{2}+1+k)
[/mm]
So richtig ?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:12 So 30.01.2005 | | Autor: | DaMenge |
Hi,
> [mm]=n^{3}+3n^{2}+3n+1+5n+5[/mm]
> [mm]=6k+3n^{2}+3n+6[/mm]
> [mm]=3(n^{2}+n+2+2k)[/mm]
> =6( [mm]\bruch{n^{2}}{2}+ \bruch{n}{2}+1+k)[/mm]
und warum ist der Term in der Klammer jetzt eine natürliche Zahl? n muss doch nicht gerade sein oder sowas...
aber so ähnlich gehts:
$ [mm] =6k+3n^{2}+3n+6=6*(k+1)+3*(n^2+n) [/mm] $
jetzt musst du nur noch zeigen, dass die letzte Klammer auch noch immer durch 2 teilbar ist - dazu mache die Fallunterscheidung: n gerade, n ungerade.
das sollte schnell für dich gehen - dann kannst du halt noch die 2 ausklammern und hast dann sowas wie: $ 6*((k+1)+m) $ wobei $ [mm] 2m=n^2+n [/mm] $
viele Grüße
DaMenge
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