Vollständige sup-Quasinorm < Integrationstheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Zeigen Sie das [mm] \parallel\cdot\parallel_\infty [/mm] eine vollständige Quasinorm auf [mm] \IL^\infty [/mm] ist. |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hi erstmal und danke im Vorraus!
Zu dieser Aufgabe haben wir einen Hinweis bekommen und zwar:
Der Raum der beschränkten [mm] \IR [/mm] -wertigen Funktionen auf X mit der gewöhnlichen Supremumsnorm ist vollständig.
Desweitern haben wir [mm] \IL^\infty [/mm] wie folgt definiert:
[mm] \IL^\infty \:= \IL^\infty(X; \mathcal{A}; \mu) \:= \{ f| f:X\to\IR\ messbar; \parallel\ f \parallel_\infty < \infty \}
[/mm]
und
[mm] \parallel\cdot\parallel_\infty [/mm] = [mm] \inf\{ c\in [0;\infty]\ |\ |f|\le c\ ;\ \mu-fast-ueberall\}
[/mm]
Und hier meine Idee:
[mm] \parallel\cdot\parallel_\infty [/mm] ist eine vollständige Quasinorm auf [mm] \IL^\infty \gdw (\IL^\infty;d) [/mm] vollständig ist [mm] \gdw [/mm] Jede Cauchy-Folge in [mm] \IL^\infty [/mm] konvergiert.
Wobei d die von [mm] \parallel\cdot\parallel_\infty [/mm] induzierte Metrik ist.
Sei also [mm] f_n [/mm] eine Cauchy-Folge in [mm] \IL^\infty
[/mm]
1.) [mm] \Rightarrow \exists\ \varepsilon>0 [/mm] ; [mm] n_\varepsilon \in \IN [/mm] | [mm] \parallel\ f_m [/mm] - [mm] f_n\parallel_\infty [/mm] < [mm] \varepsilon [/mm] ; [mm] \forall [/mm] m,n > [mm] n_\varepsilon
[/mm]
2.) [mm] \Rightarrow \exists\ c\in [0;\infty]\ [/mm] | [mm] |f_m [/mm] - [mm] f_n|\ <\;c\;\;\mu-fast-ueberall
[/mm]
Und da [mm] |f_m [/mm] - [mm] f_n|\ <\;c [/mm] sich innerhalb des Raumes der beschränkten [mm] \IR [/mm] -wertigen Funktionen auf X bewegt, bin ich auch schon fertig.
Denn wenn [mm] \varepsilon =\;c [/mm] gilt und [mm] \varepsilon [/mm] beliebig war, dann konvergiert [mm] f_n [/mm] dort und somit auch in [mm] \IL^\infty [/mm] .
Allerding geht mir das viel zu schnell, ich habe die Supremumsnorm in diesem Raum nicht verwendet und ich bin mir auch nicht sicher ob das [mm] \varepsilon [/mm] in 1.), dem [mm] \;c [/mm] in 2.) entspricht (ich weiß nichtmal ob das entscheident für die Aufgabe ist).
Andererseits gibt die Aufgabe nicht viele Punkte und der Prof. meinte es sei elementar, naja.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:03 Di 02.02.2010 | | Autor: | SEcki |
> 1.) [mm]\Rightarrow \exists\ \varepsilon>0[/mm] ; [mm]n_\varepsilon \in \IN[/mm]
> | [mm]\parallel\ f_m[/mm] - [mm]f_n\parallel_\infty[/mm] < [mm]\varepsilon[/mm] ;
> [mm]\forall[/mm] m,n > [mm]n_\varepsilon[/mm]
Nein, für alle [m]\varepsilon[/m].
> 2.) [mm]\Rightarrow \exists\ c\in [0;\infty]\[/mm] | [mm]|f_m[/mm] - [mm]f_n|\ <\;c\;\;\mu-fast-ueberall[/mm]
Was hat das mit 1. zu tun? Wo kommt das c her? Das c aus der Def. des Raumes ist für jede Funktion anders.
> Und da [mm]|f_m[/mm] - [mm]f_n|\ <\;c[/mm] sich innerhalb des Raumes der
> beschränkten [mm]\IR[/mm] -wertigen Funktionen auf X bewegt, bin
> ich auch schon fertig.
Aha, und wieso? Wo ist bitte die Grenzfunktion , für die [mm] 8m]f_n\to [/mm] f[/m] gilt?
> Denn wenn [mm]\varepsilon =\;c[/mm] gilt und [mm]\varepsilon[/mm] beliebig
> war, dann konvergiert [mm]f_n[/mm] dort und somit auch in [mm]\IL^\infty[/mm]
Wo ist dort?
> Allerding geht mir das viel zu schnell, ich habe die
> Supremumsnorm in diesem Raum nicht verwendet
Schlecht.
> und ich bin
> mir auch nicht sicher ob das [mm]\varepsilon[/mm] in 1.), dem [mm]\;c[/mm] in
> 2.) entspricht (ich weiß nichtmal ob das entscheident für
> die Aufgabe ist).
Natürlich nicht, die haben ja ganz andere "Aufgaben".
> Andererseits gibt die Aufgabe nicht viele Punkte und der
> Prof. meinte es sei elementar, naja.
Ist auch recht elementar - wenn die Funktionenfolge ne C.F. in dem Raum ist, dann schau dir mal an, was [m]f_n(x)[/m] fast überall ist. Damit definierst du dann die Grenzfunktion, z.z. bleibt dann noch dass die [m]f_n[/m] nicht nur punktweise, sonderm im Supremum dagegen konvergieren.
SEcki
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> > 1.) [mm]\Rightarrow \exists\ \varepsilon>0[/mm] ; [mm]n_\varepsilon \in \IN[/mm]
> > | [mm]\parallel\ f_m[/mm] - [mm]f_n\parallel_\infty[/mm] < [mm]\varepsilon[/mm] ;
> > [mm]\forall[/mm] m,n > [mm]n_\varepsilon[/mm]
>
> Nein, für alle [m]\varepsilon[/m].
Sorry, Schreibfehler.
>
> > 2.) [mm]\Rightarrow \exists\ c\in [0;\infty]\[/mm] | [mm]|f_m[/mm] - [mm]f_n|\ <\;c\;\;\mu-fast-ueberall[/mm]
>
> Was hat das mit 1. zu tun? Wo kommt das c her? Das c aus
> der Def. des Raumes ist für jede Funktion anders.
Gut, wenn ich [mm] \;c [/mm] indiziere und von [mm] n_\varepsilon [/mm] abhängig mache, ist es eindeutiger, aber doch immernoch die selbe Aussage, oder?
Sei also [mm] \;c [/mm] in 2.) [mm] \;=c_\varepsilon
[/mm]
> > Und da [mm]|f_m[/mm] - [mm]f_n|\ <\;c[/mm] sich innerhalb des Raumes der
> > beschränkten [mm]\IR[/mm] -wertigen Funktionen auf X bewegt, bin
> > ich auch schon fertig.
>
> Aha, und wieso? Wo ist bitte die Grenzfunktion , für die
> [mm]8m]f_n\to[/mm] f[/m] gilt?
Nun ja, ich habe es nicht hingeschrieben, aber nennen wir den Raum aus dem Hinweis einfach [mm] \;R, [/mm] dann wissen wir das [mm] \;R [/mm] vollständig ist und wir wissen das [mm]|f_m[/mm] - [mm]f_n|\ <\;c_\varepsilon\ ; \forall c_\varepsilon > 0 [/mm], also ich [mm] f_n [/mm] auch in [mm] \;R [/mm] eine C.F. und somit konvergent. D.h. [mm] \exists\;f\in\;R [/mm] | [mm] f_n \to\;f; \;n \mapsto \infty
[/mm]
>
> > Denn wenn [mm]\varepsilon =\;c[/mm] gilt und [mm]\varepsilon[/mm] beliebig
> > war, dann konvergiert [mm]f_n[/mm] dort und somit auch in [mm]\IL^\infty[/mm]
>
> Wo ist dort?
In [mm] \;R.
[/mm]
>
> > Allerding geht mir das viel zu schnell, ich habe die
> > Supremumsnorm in diesem Raum nicht verwendet
>
> Schlecht.
Hatte ich auch schon erkannt, danke!
>
> > und ich bin
> > mir auch nicht sicher ob das [mm]\varepsilon[/mm] in 1.), dem [mm]\;c[/mm] in
> > 2.) entspricht (ich weiß nichtmal ob das entscheident für
> > die Aufgabe ist).
>
> Natürlich nicht, die haben ja ganz andere "Aufgaben".
Diese Aussage verstehe ich nicht! Welche AufgabEN?
>
> > Andererseits gibt die Aufgabe nicht viele Punkte und der
> > Prof. meinte es sei elementar, naja.
>
> Ist auch recht elementar - wenn die Funktionenfolge ne C.F.
> in dem Raum ist, dann schau dir mal an, was [m]f_n(x)[/m] fast
> überall ist. Damit definierst du dann die Grenzfunktion,
Das ist ja meine Frage. Also das heißt ja, das [m]f(x)[/m] immer endliche Werte annimmt und somit doch element [mm] \IL [/mm] ist, also dem Raum der Elementarfunktionen. Dann weiss man das [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}f_n \in \IL, [/mm] allerdings nur wenn [mm] f_n [/mm] punktweise kgt., nur weis ich nicht wie man das zeigen kann!?!
Kann man sagen das [mm] f_n [/mm] gleichmäßig in [m]R[/m] kgt.?
Und deswegen dann auch punktweise?
Das gilt ja dann auch auf der sup-Norm von [m]R[/m] oder nicht?
> z.z. bleibt dann noch dass die [m]f_n[/m] nicht nur punktweise,
> sonderm im Supremum dagegen konvergieren.
>
> SEcki
Danke
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 02:24 Di 02.02.2010 | | Autor: | SEcki |
> > Aha, und wieso? Wo ist bitte die Grenzfunktion , für die
> > [mm]8m]f_n\to[/mm] f[/m] gilt?
> Nun ja, ich habe es nicht hingeschrieben, aber nennen wir
> den Raum aus dem Hinweis einfach [mm]\;R,[/mm]
1. woher hast du die Grenzfunktion?
2. Welcher Hinweis?
3. Was soll R sein?
> dann wissen wir das
> [mm]\;R[/mm] vollständig ist
[m]\IR[/m]? Darf ich weiterraten?
> und wir wissen das [mm]|f_m[/mm] - [mm]f_n|\ <\;c_\varepsilon\ ; \forall c_\varepsilon > 0 [/mm],
Das wissen wir, da diese eine C.F. bilden.
> also ich [mm]f_n[/mm] auch in [mm]\;R[/mm] eine C.F. und somit konvergent.
Was ist R? Gegen was konvergieren die da?
> > Natürlich nicht, die haben ja ganz andere "Aufgaben".
> Diese Aussage verstehe ich nicht! Welche AufgabEN?
Oder doch die gleichen? Du vermsicht die Notation und ich muss da hinter her kommen - das [m]\varpesilon[/m] ist beliebig, das c ist von einer Funktion abhängig, so dass 8m]|f|<c[/m] f.ü. gilt.
> Das ist ja meine Frage. Also das heißt ja, das [m]f(x)[/m] immer
> endliche Werte annimmt
Das tut es sowieso. Vielleicht deutlicher, welche Menge ich meine: [m]\{f_n(x)|n\in\IN\}[/m]. Bzw. die Folge [m]f_n(x)[/m] für fixiertes x, so dass [m]f_n[/m] für alle n beschränkt ist.
> und somit doch element [mm]\IL[/mm] ist,
[m]f(x)[/m] ist nicht die Funktion, sondern der Funktionswert.
> also
> dem Raum der Elementarfunktionen.
Was ist das denn jetzt wieder?
> Dann weiss man das
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}f_n \in \IL,[/mm]
Und woher weiß man das? Hattet ihr da Sätze zu?
> allerdings nur wenn
> [mm]f_n[/mm] punktweise kgt., nur weis ich nicht wie man das zeigen
> kann!?!
Mehr Kontext bitte.
> Kann man sagen das [mm]f_n[/mm] gleichmäßig in [m]R[/m] kgt.?
Wenn ich wüsste, was R ist. Vielleicht doch Regelfunktionen?
> Und deswegen dann auch punktweise?
Normalerweise impliziert glm. konv. punktweise.
SEcki
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> 1. woher hast du die Grenzfunktion?
Ich weiß das die Folge Cauchy ist und das in einem vollständigen Raum, nämlich hier R genannt. Also weiß ich das die Grenzfunktion existiert. Eine genauere Möglichkeit f zu bestimmen fällt mir nicht ein.
> 2. Welcher Hinweis?
Der Hinweis aus zur Aufgabenstellung, den ich im ersten Beitrag genannt habe. Hier nochmal:
Der Raum der beschränkten $ [mm] \IR [/mm] $ -wertigen Funktionen auf X mit der gewöhnlichen Supremumsnorm ist vollständig.
> 3. Was soll R sein?
Der Raum aus dem Hinweis, wie schon erwähnt.
>
> > dann wissen wir das
> > [mm]\;R[/mm] vollständig ist
>
> [m]\IR[/m]? Darf ich weiterraten?
...
>
> > und wir wissen das [mm]|f_m[/mm] - [mm]f_n|\ <\;c_\varepsilon\ ; \forall c_\varepsilon > 0 [/mm],
>
> Das wissen wir, da diese eine C.F. bilden.
>
> > also ich [mm]f_n[/mm] auch in [mm]\;R[/mm] eine C.F. und somit konvergent.
>
> Was ist R? Gegen was konvergieren die da?
>
> > > Natürlich nicht, die haben ja ganz andere "Aufgaben".
> > Diese Aussage verstehe ich nicht! Welche AufgabEN?
>
> Oder doch die gleichen? Du vermsicht die Notation und ich
> muss da hinter her kommen - das [m]\varpesilon[/m] ist beliebig,
> das c ist von einer Funktion abhängig, so dass 8m]|f|<c[/m]
> f.ü. gilt.
Ich verstehe was du meinst, nur nicht wo das Problem zu meiner Aussage ist. Natürlich ist das [mm] c_\varepsilon [/mm] von der Funktion abhängig. Mir würde nur einfallen, eine neue Funktion zu definieren [m]h_\varepsilon := f_m - f_n[/m] mit [m]n = n_\varepsilon[/m] und [m]m = n_\varepsilon + 1[/m].
Dann gilt [m]\limes_{n\rightarrow\infty}h_n = 0[/m].
Folgt daraus nicht das auch [m]h_n(x) \to 0[/m] gilt?
Und somit pkt.weise kgt.!
>
> > Das ist ja meine Frage. Also das heißt ja, das [m]f(x)[/m] immer
> > endliche Werte annimmt
>
> Das tut es sowieso. Vielleicht deutlicher, welche Menge ich
> meine: [m]\{f_n(x)|n\in\IN\}[/m]. Bzw. die Folge [m]f_n(x)[/m] für
> fixiertes x, so dass [m]f_n[/m] für alle n beschränkt ist.
>
> > und somit doch element [mm]\IL[/mm] ist,
>
> [m]f(x)[/m] ist nicht die Funktion, sondern der Funktionswert.
>
> > also
> > dem Raum der Elementarfunktionen.
>
> Was ist das denn jetzt wieder?
Genauer: [mm] \mathcal{L}^e_+ [/mm] Das ist der Raum der Funktionen [m]f(\Omega)=\{a_1; ... ; a_n\} \subset \bar\IR[/m] die sich als
[m]f=\summe_{i=1}^{n}a_i1_A_i\; \;mit\; A_i = \{f=a_i\} \in \mathcal{A}[/m] paarweise disjunkt, schreiben lassen.
>
> > Dann weiss man das
> > [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}f_n \in \IL,[/mm]
>
> Und woher weiß man das? Hattet ihr da Sätze zu?
>
> > allerdings nur wenn
> > [mm]f_n[/mm] punktweise kgt., nur weis ich nicht wie man das zeigen
> > kann!?!
>
> Mehr Kontext bitte.
>
> > Kann man sagen das [mm]f_n[/mm] gleichmäßig in [m]R[/m] kgt.?
>
> Wenn ich wüsste, was R ist. Vielleicht doch
> Regelfunktionen?
>
> > Und deswegen dann auch punktweise?
>
> Normalerweise impliziert glm. konv. punktweise.
>
> SEcki
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 03:57 Di 02.02.2010 | | Autor: | SEcki |
> Ich weiß das die Folge Cauchy ist und das in einem
> vollständigen Raum, nämlich hier R genannt. Also weiß
> ich das die Grenzfunktion existiert. Eine genauere
> Möglichkeit f zu bestimmen fällt mir nicht ein.
> > 2. Welcher Hinweis?
> Der Hinweis aus zur Aufgabenstellung, den ich im ersten
> Beitrag genannt habe.
Ah, jetzt. Dann wird's einfacher ... ich wollt das ja noch von Hand machen und sah als den Knackpunkt an.
> Hier nochmal:
> Der Raum der beschränkten [mm]\IR[/mm] -wertigen Funktionen auf X
> mit der gewöhnlichen Supremumsnorm ist vollständig.
Die Funktionen [m]f_n[/m] liegen nicht in diesem Raum ... du musst aus also ein Folge [m]g_n[/m] basteln, die auch wirklich in dem R liegt! Aber wie kannst du aus einer Funktion in großem Raum eine in R machen? In dem du die Ausnahme-Menge einfach auf 0 setzt. Oder am besten gleich die Ausnahmemenge für alle [m]f_n[/m] vereinigen - dies bleibt ja eine Nullmenge.
> Ich verstehe was du meinst, nur nicht wo das Problem zu
> meiner Aussage ist.
Dir ist shcon klar, dass du abzählbar unendlich viele Funktionen in der Folge hast?
> Natürlich ist das [mm]c_\varepsilon[/mm] von
> der Funktion abhängig. Mir würde nur einfallen, eine neue
> Funktion zu definieren [m]h_\varepsilon := f_m - f_n[/m] mit [m]n = n_\varepsilon[/m]
> und [m]m = n_\varepsilon + 1[/m].
Ich verstehe echt nicht worauf du hinauswillst.
> Dann gilt
> [m]\limes_{n\rightarrow\infty}h_n = 0[/m].
Die [m]f_n[/m] liegen wie gesagt nicht in R.
> Genauer: [mm]\mathcal{L}^e_+[/mm] Das ist der Raum der Funktionen
> [m]f(\Omega)=\{a_1; ... ; a_n\} \subset \bar\IR[/m] die sich als
> [m]f=\summe_{i=1}^{n}a_i1_A_i\; \;mit\; A_i = \{f=a_i\} \in \mathcal{A}[/m]
> paarweise disjunkt, schreiben lassen.
Aber das braucht man gar nicht.
SEcki
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> Die Funktionen [m]f_n[/m] liegen nicht in diesem Raum ... du musst
> aus also ein Folge [m]g_n[/m] basteln, die auch wirklich in dem R
> liegt! Aber wie kannst du aus einer Funktion in großem
> Raum eine in R machen? In dem du die Ausnahme-Menge einfach
> auf 0 setzt. Oder am besten gleich die Ausnahmemenge für
> alle [m]f_n[/m] vereinigen - dies bleibt ja eine Nullmenge.
Also
[mm] g_n(x) [/mm] = [mm] |f_n(x)|, [/mm] falls x [mm] \in N_\mu^c
[/mm]
und
[mm] g_n(x) [/mm] = 0, falls x [mm] \in N_\mu
[/mm]
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:59 Di 02.02.2010 | | Autor: | SEcki |
> Also
> [mm]g_n(x)[/mm] = [mm]|f_n(x)|,[/mm] falls x [mm]\in N_\mu^c[/mm]
Ohne die Betragsstriche - und definiere [mm] N_\mu^c[/mm] genau; wie gesagt - ich würde es als Vereinigung der Ausnahmemengen für alle [m]f_n[/m] nehmen, also eher [m]N:=\cup _{n\in\IN} \{x|f_n(x)> ||f_n|| \}[/m].
> und
> [mm]g_n(x)[/mm] = 0, falls x [mm]\in N_\mu[/mm]
Genau. Kannst du jetzt alleine weiteR?
SEcki
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Danke erstmal!
Also ich würde jetzt aus der Cauchy-Eigenschaft von [mm] f_n [/mm] die Cauchy-Eigenschaft von [mm] g_n [/mm] ableiten.
Daraus folgt die gleichmäßige und punktweise Konvergenz von [mm] g_n\; gegen\;g.
[/mm]
Das bedeutet wiederum das [mm] g_n =\; f_n \mu-fast-ueberall [/mm] gegen [mm] \;g [/mm] läuft und somit konvergent ist. Also hat [mm] f_n [/mm] einen Grenzwert und [mm] \IL^\infinity [/mm] ist vollständig?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:47 Di 02.02.2010 | | Autor: | SEcki |
> Also ich würde jetzt aus der Cauchy-Eigenschaft von [mm]f_n[/mm]
> die Cauchy-Eigenschaft von [mm]g_n[/mm] ableiten.
Genau.
> Daraus folgt die gleichmäßige und punktweise Konvergenz
> von [mm]g_n\; gegen\;g.[/mm]
Gegen ein g, genau.
> Das bedeutet wiederum das [mm]g_n =\; f_n \mu-fast-ueberall[/mm]
> gegen [mm]\;g[/mm] läuft und somit konvergent ist.
Ja. Das ist der Zusammenhang der Räume.
> Also hat [mm]f_n[/mm]
> einen Grenzwert und [mm]\IL^\infinity[/mm] ist vollständig?
Genau.
SEcki
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Okay, dann hier nochmal die Zusammenfassung:
$R :=$ vollständiger Raum der beschränkten $ [mm] \IR [/mm] $ -wertigen Funktionen auf X
$ [mm] \IL^\infty \:= \IL^\infty(X; \mathcal{A}; \mu) \:= \{ f| f:X\to\IR\ messbar; \parallel\ f \parallel_\infty < \infty \} [/mm] $
$ [mm] \parallel\cdot\parallel_\infty [/mm] $ := $ [mm] \inf\{ c\in [0;\infty]\ |\ |f|\le c\ ;\ \mu-fast-ueberall\} [/mm] $
Sei [mm] f_n [/mm] eine Cauchy-Folge in [mm] \IL^\infty
[/mm]
[mm] \Rightarrow \forall\ \varepsilon>0 [/mm] ; [mm] n_\varepsilon \in \IN [/mm] | [mm] \parallel\ f_m [/mm] - [mm] f_n\parallel_\infty [/mm] < [mm] \varepsilon [/mm] ; [mm] \forall \;m,n [/mm] > [mm] n_\varepsilon [/mm]
$ [mm] \Rightarrow \exists\ c_\varepsilon\in [0;\infty]\ [/mm] $ | $ [mm] |f_m [/mm] $ - $ [mm] f_n|\ <\;c_\varepsilon\;\;\mu-fast-ueberall [/mm] $
Sei nun
[mm] g_n(x) [/mm] = 0, wenn x [mm] \in [/mm] $ N:= [mm] \bigcup_{n\in \IN}^{\infinity}\{x|f_n(x)> ||f_n|| \} [/mm] $
und
[mm] g_n(x) [/mm] = [mm] f_n(x), [/mm] sonst.
[mm] f_n [/mm] ist Cauchy-Folge [mm] \mu-fast-ueberall \Rightarrow g_n [/mm] ist Cauchy-Folge [mm] \mu-fast-ueberall
[/mm]
[mm] \Rightarrow g_n \to [/mm] g, da [mm] \;R [/mm] vollständig
[mm] \Rightarrow g_n [/mm] = [mm] f_n \to [/mm] g [mm] \mu-fast-ueberall
[/mm]
[mm] \Rightarrow \limes_{n\rightarrow\infty}f_n [/mm] exsistiert
[mm] \Rightarrow \IL^\infty [/mm] ist vollständig
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:26 Di 02.02.2010 | | Autor: | SEcki |
> Sei nun
> [mm]g_n(x)[/mm] = 0, wenn x [mm]\in[/mm] [mm]N:= \bigcup_{n\in \IN}^{\infinity}\{x|f_n(x)> ||f_n|| \}[/mm]
Mir ist aufgefallen, dass wir noch [m]\bigcup_{(n.m)\in \IN\times\IN} \{x | |f_n(x)-f_m(x)|> ||f_n-f_m|| \}[/m] dazu nehmen müssen.
> und
> [mm]g_n(x)[/mm] = [mm]f_n(x),[/mm] sonst.
>
> [mm]f_n[/mm] ist Cauchy-Folge [mm]\mu-fast-ueberall \Rightarrow g_n[/mm] ist
> Cauchy-Folge [mm]\mu-fast-ueberall[/mm]
Die Sache ist die - wir konstruieren [m]g_n[/m] so, dass sie überall eine CF ist, nicht nur fast überall.
> [mm]\Rightarrow g_n \to[/mm] g, da [mm]\;R[/mm] vollständig
Da R vollständig, gibt es ein g mit ... so rum.
> [mm]\Rightarrow g_n[/mm] = [mm]f_n \to[/mm] g [mm]\mu-fast-ueberall[/mm]
Auf was bezieht sich das f.ü.? Es ist [m]f_n=g_n[/m] f.ü. und da [m]g_n\to g[/m] (überall!), gilt [m]f_n\to g[/m] f.ü.
> [mm]\Rightarrow \limes_{n\rightarrow\infty}f_n[/mm] exsistiert
F.ü., nicht überall.
> [mm]\Rightarrow \IL^\infty[/mm] ist vollständig
SEcki
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> > Sei nun
> > [mm]g_n(x)[/mm] = 0, wenn x [mm]\in[/mm] [mm]N:= \bigcup_{n\in \IN}^{\infinity}\{x|f_n(x)> ||f_n|| \}[/mm]
>
> Mir ist aufgefallen, dass wir noch [m]\bigcup_{(n.m)\in \IN\times\IN} \{x | |f_n(x)-f_m(x)|> ||f_n-f_m|| \}[/m]
> dazu nehmen müssen.
Also beide Mengen noch vereinigen?
>
> > und
> > [mm]g_n(x)[/mm] = [mm]f_n(x),[/mm] sonst.
> >
> > [mm]f_n[/mm] ist Cauchy-Folge [mm]\mu-fast-ueberall \Rightarrow g_n[/mm] ist
> > Cauchy-Folge [mm]\mu-fast-ueberall[/mm]
>
> Die Sache ist die - wir konstruieren [m]g_n[/m] so, dass sie
> überall eine CF ist, nicht nur fast überall.
>
> > [mm]\Rightarrow g_n \to[/mm] g, da [mm]\;R[/mm] vollständig
>
> Da R vollständig, gibt es ein g mit ... so rum.
>
> > [mm]\Rightarrow g_n[/mm] = [mm]f_n \to[/mm] g [mm]\mu-fast-ueberall[/mm]
>
> Auf was bezieht sich das f.ü.? Es ist [m]f_n=g_n[/m] f.ü. und da
> [m]g_n\to g[/m] (überall!), gilt [m]f_n\to g[/m] f.ü.
>
> > [mm]\Rightarrow \limes_{n\rightarrow\infty}f_n[/mm] exsistiert
>
> F.ü., nicht überall.
>
> > [mm]\Rightarrow \IL^\infty[/mm] ist vollständig
>
> SEcki
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 01:21 Mi 03.02.2010 | | Autor: | SEcki |
> > Mir ist aufgefallen, dass wir noch [m]\bigcup_{(n.m)\in \IN\times\IN} \{x | |f_n(x)-f_m(x)|> ||f_n-f_m|| \}[/m]
> > dazu nehmen müssen.
> Also beide Mengen noch vereinigen?
Ja. Kalr warum?
SEcki
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