Vollständigkeit < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:18 Mo 21.04.2008 | | Autor: | damien23 |
| Aufgabe | | Sei (X,d) ein metrischer Raum, so dass jede abgeschlossene Kugel [mm] B_{r}`(a) [/mm] kompakt ist. Zeige, dass (X,d) vollständig ist. |
Hey,
ich hoffe ihr könnt mir helfen. Stehe leider ziemlich auf dem Schlauch und weiß nicht wie ich es zeigen soll.
Bin für jeden Tipp dankbar.
Damien
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:48 Mo 21.04.2008 | | Autor: | fred97 |
Nimm eine Cauchyfolge in (X,d), diese ist beschränkt (wieso ?), liegt also in einer abgeschlossenen Kugel. Diese Kugel ist nach Vor. kompakt.
Somit enthält die Cauchyfolge eine konvergente Teilfolge. Zeige nun, dass der Limes dieser Teilfolge auch der Limes der ursprünglichen Cauchyfolge ist.
Gruß Fred
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:24 Mo 21.04.2008 | | Autor: | damien23 |
Danke für die schnelle Antwort.
Also ich wähle mir eine Cauchy-Folge. Diese konvergiert gegen ein [mm] x_{n} \varepsilon [/mm] X. Somit hat sie eine obere oder eine untere Schranke.
Oder anders:
Zu jedem [mm] \varepsilon [/mm] > 0 existiert ein N [mm] \varepsilon \IN, [/mm] so dass
[mm] \parallel x_{k}, x_{m}\parallel< \varepsilon [/mm] für alle k,m [mm] \ge [/mm] N
Entspricht dieser Grenzwert nun dem Radius der Kugel? Denn der Zusammenhang zwischen Grenzwert und abgeschlossener Kugel ist mir nicht klar.
Die Teilfolge existiert ja auf Grund der Tatsache, dass es zu jeder Cauchy-folge eine solche Teilfolge gibt
MfG
Damien
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:40 Mo 21.04.2008 | | Autor: | pelzig |
> Also ich wähle mir eine Cauchy-Folge. Diese konvergiert
> gegen ein [mm]x_{n} \varepsilon[/mm] X.
Nein, das folgt nicht einfach so, das ist genau die Behauptung. Fred hat dir ja schon gesagt wie die Struktur des Beweises aussehen muss, schau dir das nochmal an.
Gruß, Robert
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 21:45 Mo 21.04.2008 | | Autor: | damien23 |
Danke für den Tipp hiermal ein versuch um die konvergenz der CF zu zeigen
Zz: Jede Cauchy-Folge in X konvergiert.
Sei [mm] x_{n} [/mm] diese CF.
Sei [mm] F_{n+1} \subseteq F_{n}, F={F_{n}/ n \varepsilon \IN} [/mm] eine Teimenge von X. Sei G [mm] \subseteq [/mm] F , falls dies endlich ist folgt, [mm] \bigcap [/mm] G [mm] \not= \emptyset.
[/mm]
Da X nach vorr. kompakt ist, ist [mm] \bigcap [/mm] F [mm] \not= \emptyset, [/mm] d.h. man kann ein [mm] x_{0} \varepsilon [/mm] X mit [mm] x_{0} \varepsilon \bigcap [/mm] F.
[mm] \forall [/mm] n [mm] \varepsilon \IN: x_{0} \varepsilon F_{n}, [/mm] folgt [mm] x_{n} [/mm] hat in [mm] x_{0} [/mm] einen Häufungspunkt
Somit kann man eine Teilfolge von [mm] x_{n} [/mm] finden: [mm] x_{nk} [/mm] mit lim [mm] x_{nk} [/mm] = [mm] x_{0}
[/mm]
=> [mm] x_{n} [/mm] konvergiert
Mfg
Damien
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 07:22 Di 22.04.2008 | | Autor: | fred97 |
Hallo Damien,
nicht böse sein, aber das was Du zuletzt geschrieben hast , ist völliger Blödsinn.
Schau Dir folgendes nochmal an:
Vollständigkeit, Kompaktheit, Teilfolge. Konvergenz.
Habt Ihr folgendes in der Vorlesung gehabt:
Überdeckungskompakt <=> Folgenkompakt
(in metr. Räumen) ?
Gruß Fred
|
|
|
|
