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Forum "Uni-Stochastik" - Vollständigkeit Statistik
Vollständigkeit Statistik < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Vollständigkeit Statistik: Aufgabe
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 14:45 So 29.11.2015
Autor: DerBaum

Aufgabe
Sei [mm] $\mathcal{P}:=\{\mathrm{P}\text{ ist Maß auf }(\mathbb{R}^n,\mathcal{B}^n)\mid \mathrm{P}\text{ hat eine Dichte bezüglich des Lebesgue-Maßes }\lambda\}$, $k\in\mathbb{N}_{>0}$. [/mm] Zeigen Sie, dass die Statistik [mm] $T(x):=[\sum_{i=1}^nx_i,\sum_{i=1}^nx_i^2,\ldots,\sum_{i=1}^nx_i^k]'$ [/mm] vollständig für [mm] $\mathcal{P}$ [/mm] ist.

Hinweis: Betrachte die [mm] $\lambda$-Dichten $p_\theta(x)=A(\theta)\exp(-\sum_{i=1}^nx_i^{2k}+\theta'T(x))$. [/mm] Vollständigkeit von Exponentialfamilien.

Hallo liebe Forenmitglieder,

ich habe ein paar kleine Verständnisprobleme (hauptsächlich wegen des Hinweises) mit dieser Aufgabe. Zu zeigen ist ja, dass für alle messbaren [mm] $g:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^k$ [/mm] mit [mm] $E_P[g(T)]=0$ [/mm] bereits $g(T)=0$ $P$-f.s. für alle [mm] $P\in\mathcal{P}$ [/mm] gilt.
Aber der Hinweis verwirrt mich etwas. Es ist ja nicht so, dass [mm] $\mathcal{P}$ [/mm] eine Exponentialfamilie ist. Oder wo liegt mein Denkfehler?

Würde mich sehr über einen kleinen Denkanstoß freuen.

Vielen Dank und einen schönen Sonntag,

DerBaum

        
Bezug
Vollständigkeit Statistik: Idee
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 19:27 So 29.11.2015
Autor: DerBaum

Also ich habe mir nochmal ein paar Gedanken gemacht:

Ich wähle [mm] $\Theta:=\mathbb{R}^k$ [/mm] und:
[mm] $(\mathcal{P}_\theta)_{\theta\in\Theta}:=\left\{P\in\mathcal{P}\mid P\text{ hat }\lambda\text{-Dichte }p_\theta(x):=A(\theta)\exp\left(-\sum_{i=1}^nx_i^{2k}+\theta'T(x)\right)\text{ für ein }\theta\in\Theta\right\}\subset\mathcal{P}$ [/mm]

Dann ist [mm] $(\mathcal{P}_\theta)_\theta$ [/mm] eine Exponentialfamilie, und da [mm] $\mathrm{int}(\Theta)\neq\emptyset$ [/mm] ist $T(x)$ vollständig  für [mm] $(\mathcal{P}_\theta)_\theta$. [/mm]

Aber wie kann ich hieraus schon die Vollständigkeit für [mm] $\mathcal{P}$ [/mm] schließen?

Vielen Dank
DerBaum

Bezug
                
Bezug
Vollständigkeit Statistik: Idee 2
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 04:17 Mo 30.11.2015
Autor: DerBaum

Ich habe mir nun nochmal Gedanken gemacht:

Ich habe gezeigt, dass [mm] $p_\theta$ [/mm] für alle [mm] $\theta\in\Theta$ [/mm] eine Dichte darstellt, d.h. integrierbar und nicht-negativ.
Nun gilt doch mit Radon-Nikodym, dass [mm] $P_\theta<<\lambda^n$ [/mm] für [mm] $P_\theta\in(\mathcal{P}_\theta)_\theta$ [/mm]
Wenn nun zusätzlich noch gilt, dass [mm] $\lambda^n<

Bezug
                        
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Vollständigkeit Statistik: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 04:20 Fr 04.12.2015
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
Bezug
                
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Vollständigkeit Statistik: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 20:20 Do 03.12.2015
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
Bezug
        
Bezug
Vollständigkeit Statistik: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 15:20 Do 03.12.2015
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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